用裂項(xiàng)相消法求幾種數(shù)列的前n項(xiàng)和

呂雙海

(鎮(zhèn)江崇實(shí)女子中學(xué)，江蘇鎮(zhèn)江，212002)

2022年全國新高考數(shù)學(xué)試卷第17題第(2)問中，考查了“裂項(xiàng)相消法”.數(shù)列求和的題型很多，什么時(shí)候用裂項(xiàng)相消法，這與題目條件的結(jié)構(gòu)有關(guān).下面談?wù)勅绾斡谩傲秧?xiàng)相消法”解決數(shù)列求和的幾種題型.

【題型1】

顯然對(duì)于n=1也成立，

【題型2】

【題型3】

例3若Sn=12+22+32+…+n2，求Sn.

解：(方法一) ∵(n+1)3-n3=(n+1)2+(n+1)n+n2=3n2+3n+1，3n2=(n+1)3-n3-3n-1，

【題型4】

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解得a1=1，d=2.

∴an=1+2(n-1)=2n-1.

根據(jù)(a+b)2≤2(a2+b2)，a，b>0，a≠b.

【題型5】

例5已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}中，2a2，a6，a9成等比數(shù)列，且a3=3.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

即(a1+5d)2=2(a1+d)·(a1+8d)，

整理可得a1=-9d或a1=d，

而a3=a1+2d=3，且an>0，所以a1=d，解得a1=d=1，

所以an=1+(n-1)×1=n，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n；

【題型6】

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

所以(an+1+an)(an+1-2an)=0，因?yàn)閍n>0，所以an+1+an>0，所以an+1=2an，

又a1=2，所以{an}成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an=2n(n∈N*).

(2)由(1)知an=2n(n∈N*)，

【題型7】

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：本題通項(xiàng)bn中含(-1)n，所以裂項(xiàng)時(shí)，不能化為兩項(xiàng)的差，而是轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)的和.

且a3為a1與a11的等比中項(xiàng).

解得a1=2，d=3，

則an=2+3(n-1)=3n-1，n∈N*；

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn