高階思維下高中數學比較大小的方法探究

符曉燕

(江蘇省如東高級中學，江蘇南通，226400)

2022年高考數學全國Ⅰ卷有許多亮點題型，其中比較大小更值得我們關注.高中數學比較大小除了傳統意義的作差、作商、介值、特值、基本不等式、初等函數的單調性等方法外，還可以利用導數的切線、飄帶不等式、構造函數、二項式定理、泰勒展開式等比較大小.通過研究近幾年的高考試卷，得出如下結論.

1 利用切線不等式比較大小

又y=xex-e(x≥1)單調增,所以xex-e≥0，所以h(x)≥0.

2 利用切線不等式的變形比較大小

證明：先證，當a>0時，f(x)min=f(a)=lna+1.

例4已知函數f(x)=aex-1-lnx-1.證明：當a≥1時，f(x)≥0.

證明：∵a≥1，∴aex-1≥ex-1，∴f(x)≥ex-1-lnx-1.

∵x+1≤ex,∴x≤ex-1,∴ex-1-lnx-1≥x-lnx-1≥0，當且僅當x=1時取等號.

對于指數式、對數式、分式這一類問題常利用切線不等式的一些變形、放縮能很快解決一些不等式的比較大小問題，提高效率.

3 利用飄帶不等式比較大小

( )

A.a

C.c

∴c

證明：可證得當x>-1時，函數f(x)單調增，

由于這些函數在同一直角坐標系中畫出來的圖象，像飄帶，故稱為飄帶不等式.飄帶不等式使用時要注意自變量的取值范圍，在不同的范圍內，不等式的不等方向可能不同.

4 通過構造函數比較大小

例7(八省聯考)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則

( )

A.c

C.a

所以f(3)

兩種構造方法，異曲同工，效果甚佳.

( )

A.a

C.b

當00,∴h(x)單調遞增，

∵h(0)=0,h(0.01)>h(0),∴a>c.

( )

A.e-1B.1 C.eD.e2

解析：由x>0,ax>0?a>0，

② 若ax>1，令f(x)=xlnx，f′(x)=1+lnx>0在(1,+∞)恒成立，

5 通過二項式定理放縮比較大小

對于一些指數式，有時可以用二項式展開式放縮，進而可以比較大小.

再結合飄帶不等式比較a與c得正確答案C.

對于指數式中的指數為正整數時，可選取二項式定理放縮.值得注意的是盡量要多寫幾項，得出的值更逼近原數.

6 利用泰勒展開式比較大小

這種方法適用于指數式、對數式、分式的混合式.要對泰勒展開式熟悉的情況下使用，不能對所有的學生適用.

高中階段對分式、指數式、對數式的混合型比較，在近幾年的高考試卷中頻繁出現，所以必須要對各種方法熟練掌握，才能自由發揮.