讓聯想成為習慣 讓解題更為自然
——以一道三角形中的最值問題為例

周子晰，郭建華

(1.南京市第二十九中學高三(13)班，江蘇南京，210036 2.南京市金陵中學，江蘇南京，210005)

聯想，是數學解題的一種基本能力，在數學解題中，聯想指由某概念而引起其他相關的概念.在數學解題中，通過對問題多角度地分析可以引發學生廣泛地聯想，包括對新、舊知識的關聯，數學三種語言(自然語言、圖形語言、符號語言)之間的關聯，以及在顯性條件下探索隱性條件的過程中對數學思想方法等的聯想.

三角形中的最值問題是一個難點，它不僅涉及到解三角形、三角函數、三角恒等變換等相關知識，而且在解題中滲透數形結合、轉化與化歸等多種數學思想.下面，通過一道試題的深入分析，談談聯想在解題中的應用.

1 試題呈現

例1設△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則cosC的最小值為.

分析：題目條件涉及到三角形重心的概念以及重心所滿足的位置關系，所求結論是角C的余弦值.重心是求解問題的突破口，首先要聯想與重心相關的性質，其次要將AG⊥BG轉化為三角形的邊、角關系，進而表達cosC，再結合向量、函數、不等式、平面幾何、解析幾何等知識求解.

2 思路探索

圖1

思路1 聯想余弦定理

評注：解法1充分利用中線CD的長及∠ADC+∠BDC=π這一隱含條件，采用“算兩次”的思想探尋三角形三邊的關系；解法2結合重心的性質，采取“設而不求”的方法探尋三角形三邊的關系.解法2的處理方式較為簡捷.

思路2 聯想“向量”

思路3 聯想“圓”

該題以三角形為背景，結合要求解的目標cosC，思考如下問題：能否從平面幾何的視角考慮問題?它涉及到哪些幾何量?它們之間存在怎樣的關聯?還可以聯想到哪些與之相關的幾何量？自然聯想到正弦定理和三角形的外接圓.

圖2

思路4 聯想“坐標系”

根據思路3的分析和求解，可以再作進一步的聯想，由AG⊥BG，很容易聯想到建坐標系求解，將幾何問題轉化為代數問題求解，合理地建立坐標系可以減少繁瑣的運算.

圖3

評注：用坐標法處理(根據解題的需要適當建立平面直角坐標系)很容易表達目標.采用“解析”法處理問題則讓學生更容易著手分析和解決問題.以上兩種想法有異曲同工之妙.對于填空題我們應該追求“小題小做，小題巧做”的目標，以上分析求解中均涉及到兩個變量，可否將目標化為單變量問題?也可以作如下特殊化處理，即令n=-1，簡化了表達的運算形式.

3 變式探究

例2設銳角△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則cosC的取值范圍為.

通過以上解題思路的探索，對原題設條件進行加強，思考兩道題的區別和聯系，新增加一個條件會為解題帶來怎樣的變化?會產生怎樣的聯想?讓聯想成為解題的一種習慣，讓聯想為解題思路的獲得提供很多的可能.

思維的拓展離不開豐富的聯想，聯想為創造性解題提供了一把金鑰匙.在處理典型問題時盡可能地從多個角度分析和思考，挖掘問題的各個方面，使得通過一道題，不僅讓學生獲得具體的解法，而且讓學生體驗問題解決過程中所滲透的數學思想和方法，從而溝通知識間的內在聯系，深刻理解問題的本質.通過聯想，讓每一個“好題”變成一個充滿無窮魅力的“世界”；通過聯想，探究問題的縱橫聯系，將孤立的問題“串”起來，讓學生的思維“活”起來，真正發揮解題的功能，發展學生的數學核心素養.