基于教材，扎根課堂，發(fā)展學(xué)生的思維能力
——“雙曲線及其標(biāo)準方程”課堂實錄與反思

馮 剛 (江蘇省奔牛高級中學(xué) 213131 江蘇省高中數(shù)學(xué)名師工作室 213001)

1 學(xué)情分析

教學(xué)對象是四星級高中的高二普通班學(xué)生，基礎(chǔ)知識、自主學(xué)習(xí)能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力都為中等．

2 教學(xué)內(nèi)容分析

所用教材為人教A版選擇性必修第二冊[1]，教學(xué)內(nèi)容是“3.2.1雙曲線及其標(biāo)準方程”，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓及其標(biāo)準方程、幾何性質(zhì)之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)的第二種圓錐曲線，也為拋物線的學(xué)習(xí)作鋪墊和方法引導(dǎo)，因此起到了承上啟下的作用．

教學(xué)目標(biāo) (1)經(jīng)歷雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的形狀特征，并歸納其定義；(2)經(jīng)歷雙曲線標(biāo)準方程的推導(dǎo)過程，并能根據(jù)條件求標(biāo)準方程，能解決一些簡單的實際應(yīng)用問題；(3)通過定義及標(biāo)準方程的挖掘與探究，進一步體驗類比、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想方法的運用，提高觀察、歸納、探究等能力．

教學(xué)重點 理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準方程．

教學(xué)難點 雙曲線標(biāo)準方程的推導(dǎo)及變形化簡的等價性問題．

3 過程實錄

3.1 師生共同探究

在直線l上取兩個定點A，B，P是直線l上的動點．在平面內(nèi)，取兩個定點F1,F2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，以點F2為圓心、線段PB為半徑作圓．

·探究1 當(dāng)F1F2

師：(讓學(xué)生自己閱讀前提和探究問題，但是反應(yīng)不明顯，教師給出提示)我們來分析一下這個問題，交點M是需要研究的動點，F(xiàn)1,F2是兩個定點，結(jié)合前面所學(xué)的知識，你能猜想交點M的軌跡嗎？

圖1

生1：我猜想是橢圓．

師：橢圓定義中的確涉及“動點到兩定點的距離”，那這里是不是橢圓呢？

生2：我發(fā)現(xiàn)MF1+MF2是一個定值，這個和等于PA+PB=AB，而且AB是一個常數(shù)．

師：非常棒！但你再想想滿足剛才的條件就能說交點M的軌跡是橢圓了嗎？

生3：還要滿足定值A(chǔ)B>F1F2．

師：這樣根據(jù)橢圓的定義就可以說明交點M的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓(教師用GeoGebra動態(tài)演示，如圖1)．再看第(2)問．

生4：點P在線段AB外運動時，兩圓半徑差的絕對值為AB，大于圓心距F1F2，所以兩圓是內(nèi)含關(guān)系，沒有交點．

·探究2 當(dāng)F1F2>AB時，(1)點P在線段AB上運動時，存在交點軌跡嗎？(2)點P在線段AB外運動時，兩圓交點的軌跡是什么？

生5：點P在線段AB上運動時，兩圓半徑和為AB，小于圓心距F1F2，所以兩圓是外離關(guān)系，沒有交點．

師：(第(2)問學(xué)生不會處理，教師用GeoGebra(下稱GGB)動態(tài)展示，如圖2)交點M的軌跡是雙曲線．而且當(dāng)點P在線段AB的延長線上時，交點M的軌跡是雙曲線的右支，當(dāng)點P在線段BA的延長線上時，交點M的軌跡是雙曲線的左支．兩支合起來叫做雙曲線．

圖2

師：生活中的雙曲線也很常見，如電廠冷卻塔、花瓶、法拉利主題公園的外輪廓線都用到了美麗的雙曲線．本節(jié)課我們的研究對象就是雙曲線．

3.2 建構(gòu)數(shù)學(xué)

·研究曲線的一般過程

師：請回憶解析幾何中研究曲線的一般過程．

生6：先探求曲線的定義，然后根據(jù)定義推導(dǎo)曲線的方程，再根據(jù)方程研究曲線的幾何性質(zhì)．

師：這里體現(xiàn)了解析幾何的基本思想，利用代數(shù)方法研究幾何問題．

·雙曲線的定義

師：你能借助探究2中的第(2)問給雙曲線下個定義嗎？

生7：MF1-MF2是定值，等于PA-PB=AB，且AB是一個常數(shù)．

生8：這只是動點M在雙曲線的右支滿足的條件，動點M在雙曲線的左支時，應(yīng)該是MF2-MF1=PB-PA=AB，且AB是一個常數(shù)．

生9：還要滿足AB

師：大家說得非常好．總的來說，雙曲線的定義是“平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于F1F2)的點的軌跡叫做雙曲線”．兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．

師：若設(shè)定義中的非零常數(shù)為2a(a>0)，則雙曲線用集合的語言可以怎么表示？

生10：P={M||MF1-MF2|=2a,0<2a

·雙曲線的標(biāo)準方程的推導(dǎo)

師：你能類比求橢圓的標(biāo)準方程的過程，求出雙曲線的標(biāo)準方程嗎？

生11：“建設(shè)限代化”：第一步要建系，第二步設(shè)點，第三步列限制條件，第四步代入坐標(biāo)，第五步化簡．

師：很熟練，具體怎么操作？

師：大家動動手，試試看能化簡嗎？

(教師將大部分學(xué)生的兩種化簡方案投屏)

師：上述過程嚴密嗎？

生13：兩次平方，可能會擴大范圍，導(dǎo)致變形不等價．不過第一次對方程①的平方是等價的，因為方程①的左右兩邊都是正數(shù)．第二次對方程②平方就不知道了．

師：方程②主要是左邊式子不知道正負，那只要知道x2或y2的范圍就可以了，哪里可以求出它們的范圍呢？

師：分類平方的確解決了方程①兩邊平方的變形等價性問題，但方程②左邊不知道正負啊？

師：推導(dǎo)雙曲線左支方程還有其他方法嗎？

生16：左支的方程①可以在右支的方程①中“用-x代換x”得到．

生17：可以根據(jù)雙曲線關(guān)于y軸對稱，只需在④式中用-x代換x．

師：那焦點在y軸上的雙曲線呢？

師：根據(jù)雙曲線的兩種標(biāo)準方程，如何判斷焦點的位置？

生20：當(dāng)x2系數(shù)為正數(shù)時，焦點在x軸上；當(dāng)y2系數(shù)為正數(shù)時，焦點在y軸上．

3.3 典型例題講解

例1已知雙曲線的焦點F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到兩焦點的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準方程．(解答過程略)

師：求雙曲線的標(biāo)準方程時，需要關(guān)注什么？

生21：先定位，再定量．

例2已知A,B兩地相距800 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程．(解答過程略)

師：本題讓我們增強了軌跡思想．再思考一下如何準確確定點P的位置？

生22：可以再增加一個觀測點C，利用B,C或A,C測得的時間差，求出另一個雙曲線的方程，然后兩方程聯(lián)立方程組，即可求得點P的位置．

3.4 課堂小結(jié)(略)

4 三個版本教材中重難點處理方式的比較與分析

備課時，參考了三個版本的教科書，除了人教A版外，還有人教B版[2]以及新蘇教版[3]．

4.1 雙曲線情境引入方面

新蘇教版從“拉鏈試驗”引入；人教B版從“聲音時差測定位”實際問題再結(jié)合“拉鏈試驗”引入；人教A版是利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對比引入．

新蘇教版從日常生活問題引入，直觀且可操作性強，提升了學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力，但說明不夠清晰.比如，學(xué)生在實驗中對“兩線段差為定值”的感受性較差，再如實際操作時，學(xué)生根本畫不出完整的一支雙曲線，需要教師“強行補畫”，很是牽強，或者教師會播放拉鏈視頻，硬是將“學(xué)生的真感受”變成了“虛假的視頻學(xué)習(xí)”．這些地方都是需要師生在教與學(xué)中共同思考和加工．建議類比橢圓的引入，仍然用一根定長細繩，加上一個可動的閉合器，實際操作時就可以實現(xiàn)畫出完整的曲線．先將這根細繩折成等長兩段，將其中一部分剪掉一段，這樣學(xué)生對“兩線段差為定值”的感受性就會很強，就是剪掉的那一部分(事實上，人教B版中就明確提出“將拉鏈截去一部分”)．然后將兩端點固定在畫板上的兩定點，再讓學(xué)生把筆尖靠著可動閉合器，畫出拉開或閉合時的軌跡曲線．

人教B版中的“聲音時差測定位”問題雖然是雙曲線的典型應(yīng)用，但閱讀量大，對學(xué)生的抽象能力要求太高，作為情境缺失了“淺顯性”，不利于提升學(xué)生對新知的探究欲望．而這個問題結(jié)束后，又讓學(xué)生做“拉鏈試驗”，顯得有點累贅了．

人教A版利用GGB工具綜合橢圓和雙曲線的定義對比引入的這種方式，樸實而不浮夸，不特意去尋找效果不明顯和晦澀難懂的實例，而是從學(xué)生熟知的橢圓定義這個最近發(fā)展區(qū)入手，類比研究，對比分析，利用GGB作出的雙曲線美觀嚴謹，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡潔與美．而且在明確提出F1F2>AB的前提下，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)“兩線段差就是定值”即線段AB的長度．因此，這樣的情境既有助于概念的產(chǎn)生，又有助于學(xué)生對概念本質(zhì)的理解．

4.2 推導(dǎo)方程難點處理方面

人教A版是先去掉絕對值符號化為兩根式差為±2a，然后類比橢圓方程的推導(dǎo)，將兩個根式移到等式兩邊，最后平方；新蘇教版沒有具體說明如何處理絕對值和兩個根式，直接就化簡到最后第二步；人教B版是先去掉絕對值化為兩根式差為±2a，然后對兩根式進行“有理化”處理，轉(zhuǎn)化為兩根式的和，再聯(lián)立兩根式差的式子求解．

人教A版在定義式的化簡處理上給定了討論的方法，這樣束縛了師生的“手腳”，導(dǎo)致思維缺乏發(fā)散性．人教B版給出了“有理化”處理根式的方法，再結(jié)合解方程組思想進行化簡，思路清晰，方法明確，但這個方法學(xué)生不容易想到，沒有尊重學(xué)生對絕對值處理的第一思維.新蘇教版對于絕對值的處理沒有指明化簡的方向，教與學(xué)施展的空間非常大．事實上，多數(shù)學(xué)生在課上的第一想法是“直接平方”，這種方法并不比“討論去絕對值之后再平方”的方法計算量大，甚至在“平方變形的等價性”問題處理上可以利用雙曲線的標(biāo)準方程彌補，而且“直接平方”的彌補過程也比“討論去絕對值之后再平方”少．因此，在教材難點問題處，少一些限定，多一些空間，才能給師生的思維留足余地，讓思維深入化、高階化，才能逐步提升學(xué)生的關(guān)鍵能力，同時，這樣的“大空間思維模式”教學(xué)也能培養(yǎng)出心胸寬廣的人．

5 教學(xué)感悟

5.1 做負責(zé)任的教師

陳大偉認為[4]：隨時對教學(xué)行為背后的教育假設(shè)提問，能夠清晰地表達教育假設(shè)的教師，是對教育假設(shè)有過思考，對教育有過研究的教師，這樣的教師是負責(zé)任的教師．本節(jié)課在引入部分，開課教師預(yù)設(shè)到如果先進行橢圓定義的回顧以及橢圓研究步驟的歸納，學(xué)生對雙曲線的研究會更自然一些．開課教師也預(yù)設(shè)到了按人教A版引入對學(xué)生要求偏高，可能不利于課堂“熱鬧”氛圍的形成．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)》指出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．提倡獨立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展．”[5]讓學(xué)生自己閱讀、自己分析，再到合作討論解決情境問題，有利于提升學(xué)生的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)抽象能力．不是因為學(xué)生暫時能力不夠，就選擇“低層次弱思維”的情境問題，而是只有在“跳一跳夠得到”的問題中，學(xué)生不斷地自主分析、自我或合作解決問題，才能逐步提升核心素養(yǎng)．

5.2 做個具有較高教學(xué)實踐水平的教師

如果一個教師將基于某些假設(shè)的教學(xué)設(shè)計用于實踐，能被教學(xué)實踐證明其假設(shè)具有合理性和有效性，這樣的教師對教育有比較深刻的認識和理解，就是具有較高教學(xué)實踐水平的教師[4]．在推導(dǎo)標(biāo)準方程的難點處理上，開課教師也預(yù)設(shè)到如果放手讓學(xué)生去嘗試，可能導(dǎo)致一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容完不成，但如果一味地教師引導(dǎo)，會讓學(xué)生感覺一節(jié)課下來思維能力并沒有得到增長，長期以往可能會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生“躺平”心態(tài)．所以開課教師堅持“先讓學(xué)生嘗試，然后投屏，師生邊看邊思、邊優(yōu)化”的方式．事實上，這節(jié)課下來，不僅推導(dǎo)過程被投屏的這幾位學(xué)生增強了自信，其他推導(dǎo)過程一致的學(xué)生也很有信心，就算沒完成的學(xué)生也會在下一節(jié)課的問題中躍躍欲試．所以優(yōu)秀的課堂需要把機會留給學(xué)生，把舞臺留給學(xué)生．

5.3 讓教師生活成為一種研究性的生活

陳大偉認為[4]：教學(xué)之前有假設(shè)、教學(xué)中和教學(xué)后能不斷反思和調(diào)整假設(shè)，不斷提升假設(shè)水平的教師是不斷成長和進步的教師，其教師生活是一種研究性的生活．吳康寧認為信息技術(shù)“進入”教學(xué)的最高類型是“融入”，旨在“創(chuàng)構(gòu)”，包括：教學(xué)內(nèi)容呈現(xiàn)方式的改造或重構(gòu)，學(xué)習(xí)資源獲取方式的改造或重構(gòu)……所有這些改造或重構(gòu)，都是整個教學(xué)系統(tǒng)改造或重構(gòu)的有機組成部分，目的都在于形成一種全新教學(xué)時空，最大限度地聯(lián)結(jié)學(xué)生的經(jīng)驗，最大限度地激發(fā)學(xué)生的興趣，最大限度地挖掘?qū)W生的潛能，最大限度地引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造，最大限度地促使學(xué)生作為一個完整的人去完整地感知盡可能完整的世界．[6]開課教師反思到如果橢圓定義這節(jié)課中教師能當(dāng)場做GGB演示，那雙曲線的定義就可以讓學(xué)生參與進來，讓學(xué)生自己做．這會讓學(xué)生終生難忘，這種課才是最難能可貴的．課堂小結(jié)可以賦予自我評價的功能，從學(xué)生需求出發(fā)，改變以往課堂小結(jié)以教師為主體的一言堂形式，使其變革為在教師指導(dǎo)下的以學(xué)生為主體的課堂自主小結(jié)．[7]因此在小結(jié)方面，要以人為本，要給學(xué)生展示的機會，PPT上只需要有“小結(jié)”兩個字，讓學(xué)生歸納并提出問題．通過一堂又一堂課的自主小結(jié)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生自我評價的習(xí)慣和能力，滿足學(xué)生自我實現(xiàn)的需求，樹立學(xué)習(xí)自信心．