平拋運動與斜面結合問題的剖析

郝占忠

平拋運動經常和斜面結合起來命題，求解此類問題的關鍵是挖掘隱含的幾何關系。下面舉例說明，供同學們參考。

一、物體從斜面頂端平拋，最終落回到斜面上

解決這類問題的關鍵在于深刻理解通過與斜面的關聯而給出的隱含條件，隱含條件的本質是給出了位移的方向，即位移方向與水平方向間的夾角與斜面的傾角相等，進而已知，則可以利用該式算出物體的運動時間。

1．研究從斜面頂端開始平拋并落回到斜面上的時刻。

（1）全過程中物體的位移方向沿斜面方向，即物體的豎直分位移與水平分位移之比等于斜面傾角的正切值。

（2）物體的豎直分速度與水平分速度之比等于斜面傾角正切值的兩倍。

例1 如圖1所示，在傾角為θ的光滑斜面頂端，以初速度v1水平拋出一個小物體a，同時小物體b以初速度v2沿斜面下滑，兩物體同時到達斜面上的P點，則二者的初速度v1和v2大小之比為（? ? ?）。

A．1：1

B．1：cos θ

C．cos θ：1

D．1：cos2θ

解析：物體b沿光滑斜面下滑，初速度大小為v2，加速度大小為gsinθ。物體a做平拋運動，將其沿斜面方向和垂直于斜面方向進行分解，則沿斜面方向的初速度大小為v1cosθ，加速度大小為gsinθ（與物體6的加速度相同）。兩物體要想在斜面上的某點相遇，則必須保持二者沿斜面方向的初速度大小相等，即v1cosθ=v2，因此v1：v2=1：cosθ。

答案：B

說明：當兩物體同時從同一高度（或同一點）拋出時，兩物體在豎直方向上均做白由落體運動，始終在同一高度上，二者的間距只取決于兩物體的水平分運動。

2．研究速度與斜面平行的時刻。

（1）物體的豎直分速度與水平分速度之比等于斜面傾角的正切值。

（2）該時刻是全運動過程的中間時刻。

（3）該時刻之前與該時刻之后物體沿豎直方向的位移之比為1：3。

（4）該時刻之前與該時刻之后物體沿斜面方向的位移之比不是1：3。

例2如圖2所示，在傾角為臼的斜面頂端以初速度v0水平拋出一小球，該斜面足夠長，則從拋出開始計時，經過多長時間小球離開斜面的距離達到最大，最大距離為多少？

解析：將小球的平拋運動分解為沿斜面向下和垂直于斜面向上的分運動，觀察分運動的情況可以凸顯小球離開斜面距離達到最大的物理本質。取沿斜面向下為x軸的正方

二、物體平拋后垂直撞擊斜面

物體在垂直撞擊斜面的時刻滿足的幾何關系是速度方向與水平方向間的夾角與斜面的傾角互余。

例3 如圖4所示，以初速度v0=10 m/s水平拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角θ=30°的斜面上，取重力加速度g=10 m/s2，則物體完成這段飛行所用的時間是（? ? ）。

答案：C

說明：對于一個做平拋運動的物體來說，如果知道了某一時刻的速度方向，那么往往可以從分解速度的角度來研究問題；如果知道了某一時刻的位移方向，那么往往可以從分解位移的角度來研究問題。

三、物體在斜面上做類平拋運動

平拋運動是一種典型的勻變速曲線運動，如果物體所受的恒力并非重力，但其初速度也與加速度垂直，則該物體的運動也是勻變速曲線運動，其軌跡也是拋物線．其運動規律與平拋運動規律很類似，那么可以將其稱為“類平拋運動”，比如小球在光滑斜面上沿水平方向或沿斜面拋出后在斜面上的運動就是類平拋運動。

例4如圖6所示，光滑斜面的傾角為θ，斜邊長為L，斜面頂端有一小球以平行于底邊的初速度v0水平拋出，則小球滑到斜面底端時，在水平方向上的位移為多大？小球到達斜面底端時的速度為多大？

說明：求解物體在斜面上的類平拋運動問題的關鍵是準確分析物體的運動性質，靈活運用平拋運動的基本規律和方法技巧。

跟蹤訓練 1．如圖7所示，在一同定斜面體的頂點以大小相同的初速度v0同時水平向左與水平向右拋出兩個小球A和B，已知斜面體兩側斜坡的傾角分別為37°和53°，小球均落在坡面上。若不計空氣阻力，則A、B兩小球的運動時間之比為（? ? ）。

A．1：1

B．4：3

C．16：9

D．9：16

2．如圖8所示，一固定斜面的傾角為a，高為h，一小球從斜面頂端沿水平方向拋出，最終落至斜面底端，不計小球運動過程中所受的空氣阻力，設重力加速度為g，則小球從拋出到離開斜面距離最大所經歷的時間為（? ? ?）。

3．一水平拋出的小球落到一傾角為θ的斜面上時，其速度方向與斜面垂直，其運動軌跡如圖9中虛線所示。小球在豎直方向上下落的距離與在水平方向上通過的距離之比為（? ? ）。

4．如圖10所示，A、B兩質點以相同的水平速度從坐標原點O沿x軸正方向拋出，質點A在豎直平面內運動，落地點為P1，質點B緊貼光滑的斜面運動，落地點為P2，P1和P2對應的x軸坐標分別為x1和x2，不計空氣阻力，下列說法中正確的是（? ? ）。

參考答案：

1．D提示：小球A落在左側坡面上時，其位移與水平方向之間的夾角等于左側斜坡的傾角37°；小球B落在右側坡面上時，其位移與水平方向之間的夾角等于右側斜坡的傾角53°。根據位移與水平方向之間的夾角的

2．A 提示：小球從斜面頂端沿水平方向拋出，最終落至斜面底端，將小球的初速度分解為沿斜面向下的分速度vx和垂直于斜面向上的分速度xy，則當小球的豎直分速度vyt=0時，小球離開斜面的距離最大。

3．D提示：做平拋運動的小球垂直撞擊斜面時，其速度與豎直方向之間的夾角等

4．C提示：A、B兩質點的初速度（設為u0）相同，則二者沿x軸方向的分運動均為速度為v0的勻速直線運動，二者沿x軸方向的位移大小取決于運動的時間，因為質點B沿斜面滑行的加速度a（a = gsinθ）小于g，沿斜面方向的分位移比質點A沿豎直方向的分位移大，所以質點B落地所用的時間較長，即x2>x1。