方程組有解問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題的思考*

俞杏明

(江蘇省興化中學(xué) 225700)

數(shù)學(xué)問題解決過程中，經(jīng)常需要把方程組有解問題，轉(zhuǎn)化為方程有解問題，這必須考慮轉(zhuǎn)化是否等價(jià).

1 解答質(zhì)疑引發(fā)思考

2 溯源而上挖掘隱含

所以方程7x2+8mx+4(m2-3)=0若有解，則解一定在[-2,2]內(nèi).

3 提煉升華生成結(jié)論

同理有：

例2若2x2-2xy+y2=1，求x+2y的最小值與最大值.

類似地，

4 隱含對應(yīng)一一兼顧

方程組有解問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)意想不到的錯(cuò)誤.

例4若曲線C1：y2=2x與曲線C2：(x-m)2+y2=2有交點(diǎn)，求m的取值范圍.

這個(gè)答案顯然是錯(cuò)誤的，當(dāng)m取較小負(fù)數(shù)時(shí)，兩曲線處于相離狀態(tài)，沒有交點(diǎn).那么，錯(cuò)誤的根源是什么？如何避免這樣的錯(cuò)誤？下面先從簡單事例入手進(jìn)行探討.

對剛才的例子進(jìn)行一般化，有如下結(jié)論：

同理有：

更一般地，有以下結(jié)論：

下面我們重新求解例4.

把例4改編為下面兩道例題，體現(xiàn)推導(dǎo)出的結(jié)論的效力.

例5若曲線C1：y2=2x與曲線C2：(x-m)2+y2=2有四個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.

例6已知曲線C1：y2+4y=2x與曲線C2：(x-m)2+y2+4y=2有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍.

5 一點(diǎn)說明

代入消元法是處理方程組最基本、最常用的辦法.有些方程組盡管需要特殊技巧整理，但最終仍回歸到代入消元法軌道上.至于更多元(二元以上)的方程組，可以在文中理念下等價(jià)轉(zhuǎn)化為二元方程組，進(jìn)而用文中結(jié)論求解.