張弛皆有度 動(dòng)靜總相宜
——圓錐曲線中的調(diào)和平均問(wèn)題初探

馮廣軍 郭琳芳

(廣東省深圳科學(xué)高中 518129)

圓錐曲線中蘊(yùn)藏著豐富的規(guī)律，如定點(diǎn)與定值問(wèn)題等.這些規(guī)律大多都反映了圓錐曲線中的一種動(dòng)態(tài)而和諧的平衡，正是“張弛皆有度，動(dòng)靜總相宜”，比如低調(diào)而絕妙的調(diào)和平均問(wèn)題.

1 研教材，啟示多從教材來(lái)

(人教A版教材2019版第45頁(yè))如圖1，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a，BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連結(jié)AD，BD.你能利用這個(gè)圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？

圖1

圖2 圖3

事實(shí)上，如果作出圓的另一條切線AM，易知點(diǎn)E即為過(guò)圓心的割線AC與切點(diǎn)弦DM的交點(diǎn)，一個(gè)自然的想法是：如果割線AC不過(guò)圓心，AE是否仍然是a，b的調(diào)和平均？結(jié)論是肯定的.

圖4

結(jié)論1 過(guò)圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)P任作圓O的一條割線，交圓O于C，D兩點(diǎn)，交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q，則PQ為PD，PC的調(diào)和平均.

2 善變通，味道盡在類(lèi)比中

圖5

該結(jié)論在雙曲線和拋物線中仍然成立，證明略.

結(jié)論2 過(guò)圓錐曲線E外一點(diǎn)P作E的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)P任作E的一條割線，交E于C，D兩點(diǎn)，交切點(diǎn)弦AB于點(diǎn)Q，則PQ為PD，PC的調(diào)和平均.

3 再尋覓，沿途處處有驚喜

圖6

對(duì)于雙曲線(交于同一支時(shí)的情形)和拋物線，可通過(guò)類(lèi)似的證明過(guò)程得到這一結(jié)論，不再一一給出.

結(jié)論3 圓錐曲線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的調(diào)和平均是其通經(jīng)的一半.(雙曲線中的焦點(diǎn)弦是指過(guò)焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于同一支的情形)

圖7

調(diào)和平均原本是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的術(shù)語(yǔ)，是一種某一特定條件下的平均量，我們能在圓錐曲線中不斷發(fā)現(xiàn)它的存在，這為我們從多個(gè)角度去理解調(diào)和平均又打開(kāi)了一扇門(mén).或許數(shù)學(xué)的魅力也正在于此，而更多的美正等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)！