問題解決視角下中美初中數學教材比較
——以“負數四則運算”為例

黃躍琦 張維忠

(浙江師范大學教師教育學院 321004)

20世紀80年代，美國掀起了以數學問題解決為主題的一系列數學教育改革和研究的熱潮[1]，問題解決成為21世紀以來歷次國際數學教育大會探討的重要議題．[2]我國第八次基礎教育課程改革也將培養問題解決能力作為主要目標之一，問題解決成為落實核心素養的重要構成部分貫穿在各科課程標準中．[3-5]教材是發展學生問題解決能力的關鍵性載體，不同國家、不同版本的教材在問題解決編寫上存在較大差異．本文將著眼于負數的四則運算，運用文本分析法對中美不同版本教材進行橫向比較，以期為教材編寫落實核心素養及培養學生問題解決能力提供借鑒與啟示．

1 研究設計

1.1 研究對象

數學教材是“教”與“學”活動的工具，也是實現數學課程目標、培養學生問題解決能力的重要資源．因此，本文選用在中國使用范圍較廣、時間較長，較有代表性的人民教育出版社(以下簡稱人教版)、浙江教育出版社(以下簡稱浙教版)、江蘇科技出版社(以下簡稱蘇科版)2012年出版的初中數學教材以及Mc Graw Hill公司2014年出版的美國中學主流數學教材Glencoe Math(以下簡稱MGH版)四版教材進行文本分析．

負數是具體數學到形式數學的第一次轉折，理解有關負數的運算(以下簡稱負數四則運算)需要有高度的抽象性．鞏子坤的研究指出97%的學生能正確計算負數相乘，但不超過12%的學生能合理解釋負負得正[6]．本文聚焦教材編寫中負數四則運算法則的生成過程，即從情境引入到給出法則，探討四版教材的編寫是否有利于培養學生問題解決能力，深刻把握負數四則運算的實質．

1.2 分析比較的依據與維度

課程標準是教材編寫的重要依據．本次分析的數學教材對應的課程標準分別為中華人民共和國教育部2012年頒布的《義務教育數學課程標準(2011年版)》與全美州長協會于2010年推出的《美國州際核心數學課程標準》．在中國課標中，問題解決作為總目標的關鍵要素之一貫穿整個義務教育階段，強調問題解決思維的經歷、體驗和探索，積累問題解決活動的經驗．[7]在美國課標中，問題解決是數學實踐標準的首要因素，要求學生理解問題并能堅持不懈地解決問題．綜上所述，中美數學課標都強調培養學生理解問題、分析問題并解決問題的能力．所以，從問題解決的角度對中美教材進行分析是可行的．

杜威認為問題解決是一個心智過程，他將問題解決分為五個階段，即問題情境、問題設定、假設形成、推理與假設檢驗．[8]奧蘇伯爾和魯濱遜從人的認知層次出發提出問題解決模式的四個階段，即呈現問題情境命題、明確問題的目標和已知條件、填補空隙、解答后的檢驗．[9]喻平認為問題解決是一個動態的過程，提出了問題解決的認知模式．[10]呂傳漢、汪秉彝等從教學角度出發將問題解決分為四步：設置數學情境(觀察分析)、提出數學問題(猜測探究)、解決數學問題(求解反駁)、注重數學應用(學做學用)．[11]本文從教材編寫角度出發，將問題解決分為情境的創設、問題的呈現、問題的解決三個部分．

2 四版教材在問題解決編寫維度的具體比較

教材編排富有啟發性的問題情境，科學呈現引導思維活動的問題，合理運用策略進行問題解決，是培養學生問題解決能力的關鍵．本文采用文本分析法，從情境創設、問題呈現、問題解決三個角度比較四版教材在問題解決編寫維度的異同．

2.1 問題情境的創設比較

情境學習理論適用于問題解決學習活動[12]．借鑒楊孝曼、汪曉勤提出的負數概念情境引入的分類框架[13]，結合四版教材的具體內容，最終將負數四則運算情境分為以下七種：數學情境、距離情境、氣溫情境、生產情境、海拔情境、負債情境與比賽情境．根據情境分類，對四版教材進行比較(表1)．

表1 四版教材“負數四則運算”情境對比

人教版多用數學情境進行引入，注重數學的內部邏輯，減少生活情境的引入，適當地弱化了學生與具體背景的互動．例如加法法則的引入中，直擊本節課的核心“引入負數之后，怎樣進行加法運算”，讓學生馬上進入問題解決的思考狀態．

浙教版采取的生活情境豐富，每一節的導入都先讓學生經歷生活情境，再脫離情境抽象出數學模型進行解答，符合學生的認知發展規律，重點關注其對生活經驗的深化和拓展．

蘇科版采取的情境與浙教版相似，但浙教版更強調生活數學化，蘇科版強調數學生活化．例如溫度情境下，浙教版先給出廈門與哈爾濱的溫度，讓學生直觀感受溫度的差異后拋出計算溫差問題，使其在體驗生活中產生疑問，而蘇科版先列舉數學中運用減法的例子——溫差，再讓學生計算某天的溫差，使其體會數學中的生活模型．

MGH版采取的情境載體最生動，最能引起學生的興趣.例如減法引入中，另外三版教材情境載體均為某地溫差，但MGH版情景載體為海豚從水下躍出的距離差，同時配上海豚躍出水面的圖，大大增加了情境的趣味性．

綜上所述，在情境創設方面，人教版更關注數學的內部邏輯，多用數學情境引入;浙教版、蘇科版與MGH版更關注數學的外部需求，多用生活情境引入．在生活情境引入中，浙教版更注重生活數學化，蘇科版更注重數學生活化，MGH版更注重情境的趣味性．

2.2 問題呈現的設置比較

在現實情境中，數學問題呈現的過程既是分析情境的過程又是提出任務的過程．分析情境時是否將現實問題數學化、提出任務時采用何種驅動方式，這二者是問題呈現部分教材編寫應該注意的問題．

人教版多從數學情境中產生疑問，因此只討論任務的驅動方式．人教版以問題來驅動學生的學習．例如在負數加法引入中先提出起點問題“如何計算負數的加法運算”，再提供“引入負數后，加法有哪幾種情況”等一系列子問題，將復雜問題拆分成可以操作的子問題，最后提煉問題，得到普遍性的結論，以問題鏈的形式步步引導學生解決問題．

浙教版以現實情境為起點，分析情境時已經將現實問題數學化，具體表現在將現實中表示相反意義的量賦予數學中的正負號，例如“進貨表示正，出貨表示負”，同時浙教版也以問題驅動學生的學習．

蘇科版在加法與乘法中未將問題數學化，需要學生進行主動思考后補充條件才能將現實問題轉化為數學問題進而求解．此外，蘇科版以問題驅動為主、活動驅動并存的形式引導學生的學習，從問題驅動模式來說，難度較低，例如加法的情境引入中已經給出比賽結果，所以重點不在于引導學生怎么計算異號兩數相加，而在于培養學生數學語言翻譯的能力．同時活動驅動作為輔助形式，例如在加法法則的引入中讓學生體驗筆尖左右移動的過程，讓學生在“做”中探索總結數學規律，加深學生對加法運算法則的理解．

MGH版中多呈現原始現實情境，即未將問題數學化．任務的提出多以活動驅動學習，即讓學生在“動手實踐”環節中解決問題．此外，MGH版提出的問題關注方法的總結，例如“思考怎么從正籌碼中移出負籌碼”，這道題實質是讓學生采用正負抵消的思想，用同時移入正籌碼與負籌碼個數相等的一組0籌碼來解決問題，讓學生從籌碼模型來直觀感受正數如何減去負數．

綜上所述，從情境的分析來看，浙教版最為詳實，蘇科版居中，MGH版分析最少，也就是說MGH版留給學生思考的空間更多;從驅動方式來看，人教版與浙教版用問題驅動學生的學習，MGH以活動驅動學生的學習，蘇科版兩種方式并驅．特別地，MGH版問題提出更指向過程而非結果．

2.3 問題解決的策略比較

問題解決是面臨新的問題而又沒有現成對策時尋求處理問題的方法和策略的一種思維活動．[14]策略的使用也可以反映出教材問題解決的編寫風格．減法是加法的逆運算，減法法則生成過程是將減法轉化為加法，除法同理．所以在探討負數四則運算問題解決的策略時，我們主要考慮加法與乘法．

李單對比五國教科書將“負負得正”法則的解釋模型歸納為三類[15]，邵愛娣則對比美國早期教科書并將解釋方式歸為七類[16].參考以上文獻，將四版教材中的加法與乘法法則的解釋策略歸納為五類：數軸分析策略、籌碼分析策略、反意建構策略、相反數建構模型與歸納推理策略．其中，籌碼分析策略指的是在MGH版中用紅色籌碼表示負籌碼，黃色籌碼表示正籌碼，加號表示移入籌碼，減號表示移出，通過移動籌碼來觀察最后的結果，例如(-1)+(-2)表示在一個負籌碼的基礎上移入兩個負籌碼，觀察得出共有三個負籌碼，也就是說結果為-3．根據以上策略分類，對四版教材進行對比(表2)．

表2 四版教材“負數加法乘法運算”策略對比

人教版使用的問題解決策略最少．人教版歸納推理策略使用中利用“保持原有運算律仍然成立”的思想進行合情推理生成乘法法則，為將來學習實數數系的擴充奠定基礎．由此可見，人教版注重學科知識的連貫性．

浙教版先從學生的生活經驗出發，采用反意建構策略;再利用學生的最近發展區——數軸與相反數的相關理論，分別使用數軸分析策略與相反數建構策略．可以看出，浙教版教材注重對學生經驗與已有知識的拓展．

蘇科版在加法和乘法法則的生成過程中都采用反意建構策略，都以現實問題為背景，對正、負號賦予現實意義，從現實角度解釋法則的合理性．可見蘇科版以生活為中心，注重學生的生活經驗．

MGH版采用的策略最多．其中籌碼分析策略貫穿負數四則運算，教材提供不同問題情境讓學生多次使用籌碼分析策略，可見MGH版注重學生使用策略的經驗遷移，從而讓學生達到策略使用的融會貫通．特別地，在使用策略時，教材的左邊提供明確可供遵循的步驟，右邊則是圖示版籌碼模型，幫助學生進行理解．

綜上所述，人教版注重學科知識的連貫性，浙教版注重對已有知識的拓展，蘇科版則關注生活經驗的遷移，MGH版注重策略經驗的遷移．特別地，MGH版教材在策略使用時為學生提供了注釋，讓學生更容易理解．

3 對我國初中數學教材修訂的建議

3.1 教材編寫應適量增加不良結構的情境問題

四版教材從現實情境引入的問題多為結構優良型問題，即條件完整目標清晰，但現實生活中的問題多為結構不良型．結構不良的問題具有條件模糊、解決方法多樣、結果開放等特點[17]，能為學生提供理解問題、分析問題的空間，是學生提高問題解決能力的重要抓手．因此，建議適度增加教科書中不良結構問題，即在呈現問題時提供原始問題，留給學生更多的思考空間．

3.2 教材編寫應適當提供具有思考空間的問題鏈

問題鏈教學倡導通過主干問題驅動學生深入思考、建構知識[18]，因此指向問題解決的教材編寫應通過具有思考空間的主干問題，即設置連貫的、探究的問題鏈，讓新知與學生已有知識產生意義關聯，激發學生求知欲，進而讓其主動參與課堂進行深度思考．

3.3 教材編寫應滲透問題解決策略的多樣性

不同的策略從不同的角度對法則進行闡釋，數軸分析策略從抽象角度、籌碼分析策略從具象角度、反意構建策略從生活實際角度、相反數建構策略從數學內部角度、歸納推理策略從分配律角度分別對法則進行了解釋，讓學生從不同側面理解法則的實際意義．因此教材編寫時可以采用多種策略或在課后思考題中滲透不同策略的使用，既能讓學生意識到問題解決策略的多樣性，又可以讓學有余力的學生從其他角度認識抽象的法則．

3.4 教材編寫應注重策略模型的具象性與操作性

Sfard提出，許多代數中的概念既表現為一種過程操作，又表現為對象、結構．概念的形成往往要從操作過程開始，再轉變為對象的認知．[19]這就是說，初學概念時，要將概念轉變為可以操作的“實體”，學生才能理解概念的本質．所有策略中只有籌碼分析策略將負數轉化為可以操作的實體，一個黃籌碼代表1，一個紅籌碼代表-1，而表示運算符號的“-”則表示“移出”，這讓學生很好地區分運算符號和性質符號．因此，建議我國初中數學教材引入籌碼模型，讓學生在操作中理解四則運算的本質．