知識結構：“結構化教學”視野下的知識重組

姜紅俠 （江蘇省連云港市東?？h石梁河鎮第一中心小學）

學生的數學學習建基于學生對已有知識的重組。從某種意義上說，學生對已有知識重組得越好，就越利于新知的建構。知識重組的目的是讓知識結構化。知識結構化，不僅要關注知識的前后縱向關聯，更要關注知識的左右橫向聯系。關注知識的縱向關聯，讓學生的數學學習具有一種廣度；關注知識的橫向關聯，讓學生的數學學習具有一種深度。知識重組，讓學生數學學習具有立體性、開放性和生成性。一般來說，學生的數學學習通常經歷兩個階段：其一是“立結構”的階段；其二是“用結構”的階段。通過這樣的結構化教學，不僅優化學生的知識結構，更促進學生認知結構的形成。實踐證明，基于“知識重組”的結構化教學，能有效提升學生學習力，發展學生的數學核心素養。

一、知識結構：“結構化教學”視野下知識重組的原點和歸宿

當下的數學教學，往往是一種單向度的線性化教學。其教學結構形態是“知識點”，其教學組織形態是“課時”。這樣的一種“線性化教學”，往往割裂了數學知識的內在關聯，讓整體性、統一性的數學知識變得支離破碎。單子化、碎片化、割裂化是學生數學知識學習的基本樣態。完善學生的認知結構，一個重要的前提就是“知識結構化”?！爸R結構化”要求教師在教學中必須引導學生進行數學知識的結構化重組。只有通過對數學知識進行結構化重組，才能讓數學知識煥發出應有的生命活力。

（一）從“點狀”到“線狀”

數學知識教學不能停留在知識“點”的層面上，而必須瞻前顧后，把握“知識點”的來龍去脈。只有把握“知識點”的來龍去脈、前世今生，才能將“知識點”串接成“知識鏈”。從“點狀”到“線狀”，是基于知識重組的結構化教學的基礎。如“分數的初步認識（二）”這一部分內容，其知識學習的重點是讓學生建立“整體”的概念。為此，教師有必要引導學生復習“分數的初步認識（一）”中的相關內容，深化學生對“整數1”的理解。因為，“分數的初步認識（一）”中的“關于分數的定義”是“分數的初步認識（二）”相關內容的學習基礎。不僅如此，還要將“一個物體”“一個計量單位”“許多物體組成的整體”串接起來，為后續五年級教學“分數的意義”中的“單位‘1’”的概念奠定基礎，為后續抽象、概括“分數的意義”奠定堅實基礎。同時，教師還要有意識地引導學生將“分數的意義”納入整個的“數的意義”系統之中，對比“整數的計數單位”“分數的計數單位”“小數的計數單位”等，從而深化學生對分數概念的本質內涵的理解。從“點狀”到“線狀”，要自覺地叩問知識的本源。

（二）從“線狀”到“網狀”

知識重組，不僅需要進行縱向的追溯、伏脈，更要進行橫向關聯?！皺M向關聯”要求教師在數學教學中要善于“左顧右盼”，從而將相關的“知識鏈”“知識串”等集結成“知識網”。將數學的“線狀”知識勾連成“網狀”知識，不僅有助于學生建構完整的知識體系，更有助于學生對數學知識的理解、應用能“舉一反三”“觸類旁通”。如教學蘇教版五年級下冊“異分母分數加減法”這部分內容時，教師不僅要引導學生追溯知識的操作本源，從“異分母分數加減法”追溯“通分”，從“通分”追溯“最小公倍數”等，更要引導學生將“整數加減法”“小數加減法”的法則進行對比，從而幫助學生建構它們之間的內在關聯，幫助學生提煉“大概念”——“計數單位相同”，讓學生認識到“無論是整數加減法、小數加減法還是分數加減法，都是要求只有計數單位相同才能直接相加或相減”。這種對整數、小數、分數加減法法則的概括、提煉、抽象，對于學生今后學習有理數的加減法乃至于無理數的加減法都具有重要的意義和價值。

（三）從“網狀”到“體狀”

對數學知識的重組，不僅要勾線成面，更要積面成體。相對于“知識網”，“知識體”更具有一種遷移、應用的價值。當學生能夠厘清數學“知識點”“知識線”“知識網”時，教師要著力引導學生建構“知識群”“知識塊”“知識體”。在數學學科知識中，只有“知識體”才是一個有機的知識整體。知識體是一個知識系統、知識結構，它具有整體性、調整性、轉換性，是相對穩定的一種知識結構形態?？梢赃@樣說，“知識體”的構成形態表征著學生數學學習結構力的高低，表征著學生數學學習結構力的品質。如很多教師在教學“多邊形的面積”時，往往關注到“各個多邊形面積推導過程的關聯”；在推導圓柱體積時，往往關注到“圓柱的體積”與“長方體、正方體體積之間的關聯”。換言之，教師在教學中往往僅關注“平面圖形面積關聯”以及“立體圖形體積關聯”，卻很少關注“平面圖形與立體圖形之間的關聯”。事實上，教師在教學“立體圖形的體積”時，可以引導學生回顧“平面圖形的面積推導過程”，從而激發學生的類比性、合理性地猜想：既然“圓的面積”可以轉化成“長方形的面積”，那么，“圓柱的體積”是否可以轉化成“長方體的體積”呢？這樣的引導，會助推學生將“知識網”搭建成“知識體”。

二、結構發生：“結構化教學”視野下知識重組的依據和條件

對數學知識進行重組，意味著教師在結構化教學中，無論是哪一個環節都要以“結構化思想”“結構化觀念”“結構化思維”，去考量教材、數學知識本體等。教材、生活以及數學知識本體是學生展開結構化學習的源泉，也是學生展開結構化學習的重要依托。課時、單元以及數學知識本體是學生展開結構化學習的組織載體、組織媒介。它們共同構成了學生結構化學習的依據和條件。深入研究學生的結構化學習的依據和條件，有助于學生將相關數學知識“勾連成體”。

（一）課時知識：知識重組的“發源地”

課時知識是學生展開結構化學習的基本單位，學生的結構化學習就是在一個個“課時知識”基礎上累積而成的。從這個意義上說，“課時知識”是學生對數學知識進行重組的“發源地”。對課時知識的把握其實就是對數學知識要素的把握。課時知識的教學，不能僅停留在“陳述化”的水平上，而必須通過“程序化”的過程體驗，促進學生對數學知識本質的理解。如“長方形的面積”這一部分內容，涉及“面積和周長”“面積單位和長度單位”“面積計算公式與周長計算公式”等，當這些基礎性的知識與情境相結合，就成為較為復雜的問題。面對這樣的一些問題，教師應當充分引導學生經歷用“面積單位”度量“面積對象”的過程。在教學中，教師要避免過早地將相關的數學知識“形式化”，而是要讓學生充分經歷“擺方格”“數方格”“算方格”的過程。經歷了這樣的過程，學生就能建立“面積計算”的基本模型，這種模型能為學生后續學習相關的“多邊形的面積”奠定堅實的基礎。

（二）單元知識：知識重組的“集散地”

“單元”是一個有意義的組織集合。數學教材中的“單元”往往是一類數學知識的“集散地”，不善于結構化教學的教師往往只是看到一個個“知識點”，而善于結構化教學的教師看到的是“知識群”“知識塊”。以“單元知識”為載體，不僅可以依賴于教材的單元編排，而且可以重組單元、創生單元。換言之，盡管教材單元呈現的知識是一種客觀性的形態，但不同的教師“眼中的單元”是不同的。在小學數學教學中，教師還要善于打破單元的壁壘，將相關的單元知識集結，從而以諸多個“小單元”構建一個“大單元”，或者構建一個“主題單元”。如教學“分數乘法”這一單元時，教師要著力引導學生尋找關鍵句中的單位“1”的量，著力引導學生畫圖分析數量關系；同樣，在“分數除法”這一單元教學中，教師還是要引導學生尋找關鍵句中的單位“1”的量，引導學生畫圖分析數量關系。因此，在教學這部分內容時，教師應當引導學生比較，尤其是要讓學生抓住“分數乘法”和“分數除法”單元學習中的“共同點”，進而引導學生在“分數的四則運算”這一單元，對“稍復雜的分數乘除法應用題”進行自主分析。不僅如此，教師在教學中還要將學生已經學習的相關內容對比，凸顯這一類問題的共同的分析思路、數學方法與思想等。

（三）本體知識：知識重組的“生發地”

無論是課時知識還是單元知識，都是由編者有意編排而成的。對于學生的數學結構化學習來說，數學學科的本體性知識才是知識重組的“生發地”“生長地”，也是“生成地”。從數學學科的本體性知識出發，要求教師引導學生“面向數學學科本身”，以“陌生化”的眼光來打量。關注數學知識本體，要注重結構、體系等的完善。關注數學知識本體，不僅要讓知識呈現出“結構態”，更要讓數學的思想方法等也呈現出“結構態”。如“認識厘米”“角的度量”“時分秒”這樣的一些內容，就分屬于不同的知識領域、單元。面向數學知識本身，這些有關“量與計量”方面的內容，都有一個共同的特征，即“都屬于包含除”?！坝嬃俊睆谋举|上來說，都是“看計量對象中包含有多少個計量單位”。為此，在教學中，教師先引導學生復習已學習內容，然后讓學生猜想，引導學生將已經學習的“測量”方面的知識、方法、思想等進行遷移、應用。這樣的一個過程，其實也就是教師引導學生“學知識結構”“立知識結構”“用知識結構”的過程。

三、發生實踐：“結構化教學”視野下知識重組的路徑和策略

建構知識結構，從根本上說就是為了改變知識“碎片化”“重復化”“無序化”的低效弊病。結構化的教學要通過對知識的重組，通過建構數學知識結構，來建構、完善、優化學生的認知結構。通過認知結構的優化、完善，促進學生發展數學知識遷移、應用的能力。在這個過程中，自然能提升學生的學習品質，提升學生的數學學習力。

（一）梳理與統整

對數學知識的重組，首先要對相關數學知識進行梳理，在梳理的基礎上進行整合，即所謂的“知識統整”。知識統整不是知識的簡單加減，而是一種深度的融合。梳理側重于引導學生把握數學知識的本質與關聯，而統整側重于引導學生的遷移和應用。只有通過梳理與統整，數學知識才能具有一種內在的“活性”。如在教學“小數的認識”這一部分內容時，在引導學生認識小數的計數單位以及小數的數位、位數等相關概念之后，筆者引導學生將“整數的數位順序表”引入其中，從而將“整數的數位順序表”與“小數的數位順序表”進行整合，建構了一個全新的“數位順序表”。在“數位順序表”中，整數、小數的數位、計數單位以及各個計數單位之間的進率一目了然。梳理與統整，不僅溝通了數學知識之間的關聯，更培養了學生分析、推理、綜合等思維能力，讓學生感受、體驗到數學知識的和諧之美、統一之美。

（二）勾連與突破

勾連相關的數學知識，旨在促進學生數學認知的突破。在數學教學中，勾連相關的數學知識，不僅要依據數學知識本身的特質，更要關照學生的具體學情，包括學生的認知、年齡、心理等特征、特質。勾連相關的數學知識，要站在不同的視角，讓知識結構成為一個開放性、立體性、生成性的動態結構。勾連相關的數學知識能助推學生突破固有的認知慣習。如教學“多邊形的面積”之后，很多教師都用“梯形的面積”來統攝其他圖形，如長方形、正方形、平行四邊形、三角形等的面積。如“三角形可以看成是上底為0的梯形的面積”“平行四邊形可以看成上下底相等的梯形的面積”，等等。有了這樣的勾連，學生在比較“圓”與“多邊形”的面積時，能形成認知的突破。有學生認為，圓環可以看成是上底為內圓周長、下底為外圓周長、高位兩圓之間的距離的梯形。這樣的一種認知，顯然突破了曲線圖形與直線圖形的天然鴻溝，將相關的數學知識整合起來。

（三）拓展與延伸

對數學知識進行重組要進行適度地拓展與延伸。一直以來，很多教師的數學教學往往局限于教材、鎖定于課堂，從而導致數學知識教學狹窄。拓展與延伸，就是要教師通過知識重組，打破一些知識壁壘、生活壁壘、經驗壁壘，從而拓展、延伸學生的認知觸須。如教學“圓柱的側面積”“圓柱的體積”這一部分內容時，筆者就將“長方體和正方體的側面積”“長方體和正方體的體積”等相關知識引入其中，從而引導學生建構“直柱體的側面積”“直柱體的體積”。借助多媒體課件對直柱體的側面積、直柱體的體積等的直觀生成演示，讓學生深刻感悟“底面周長乘高”“底面積乘高”。通過數學知識重組、提煉、升華，將學生的數學認知拓展、延伸至“三棱柱”“四棱柱”等的側面積、體積計算。這樣的一種知識重構，讓學生在更為一般性的意義上建構了直柱體的側面積、體積計算等相關知識。

數學知識結構是數學學科的“骨架”，也是“血肉”。作為教師，必須秉持一種“結構化視角”，對相關的數學課時知識、單元知識，以及數學本體性知識等進行整理、集結。結構化教學有助于學生掌握結構化知識，結構化知識能有效助推學生的結構化學習。