數(shù)制轉(zhuǎn)換改進(jìn)方法

周全興，李秋賢，吳冬妮

（凱里學(xué)院，貴州 凱里 556011）

0 引 言

數(shù)制[1]即進(jìn)位計(jì)數(shù)制，是基于統(tǒng)一規(guī)則用一組固定的數(shù)字符號(hào)表示數(shù)值的方法[2]，數(shù)制包括兩個(gè)重要概念——基數(shù)和位權(quán)。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，常見的數(shù)制有二進(jìn)制（Binary）、八進(jìn)制（Octal）、十進(jìn)制（Decimal）和十六進(jìn)制（Hexadecimal）。如表1 所示，二進(jìn)制有2 個(gè)數(shù)字符號(hào)（0、1），其基數(shù)為2；十六進(jìn)制有16個(gè)數(shù)字符號(hào)（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E 和F），A 表示十進(jìn)制數(shù)10，B 表示十進(jìn)制數(shù)11，以此類推，其基數(shù)為16。位權(quán)，表示數(shù)碼在不同位置上的權(quán)值[3]，即數(shù)制中某一位上的“1”所表示數(shù)值的大小，如十進(jìn)制中第2 位位權(quán)為10、第3 位位權(quán)為100，二進(jìn)制中第2 位位權(quán)為2、第3 位位權(quán)為4。

表1 常見數(shù)制的基數(shù)與位權(quán)

數(shù)值在計(jì)算機(jī)中是用二進(jìn)制數(shù)表示的，為便于書寫、表示和學(xué)習(xí)，引入了八進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制，如在《匯編語言》中，計(jì)算機(jī)指令代碼即是用十六進(jìn)制數(shù)表示的。各進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換是所有計(jì)算機(jī)類相關(guān)課程中需要掌握的知識(shí)，由于內(nèi)容復(fù)雜、課時(shí)較少，學(xué)生掌握起來有一定困難。筆者通過教學(xué)研究，總結(jié)出各進(jìn)制數(shù)之間轉(zhuǎn)換的高效方法，與傳統(tǒng)方法相比，本文方法對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果有很大的幫助。參考全國計(jì)算機(jī)等級(jí)考試，本文重點(diǎn)探討數(shù)制轉(zhuǎn)換中的整數(shù)部分。

1 各進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換方法

教科書中，從數(shù)制轉(zhuǎn)換的基本原理出發(fā)進(jìn)行梳理和講解。為便于比較研究，對(duì)教科書中數(shù)制轉(zhuǎn)換的方法進(jìn)行介紹。

1.1 非十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)

對(duì)于N進(jìn)制數(shù)，每個(gè)位置上數(shù)據(jù)所代表的大小等于數(shù)據(jù)本身乘以位權(quán)[4]，二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)即按照位權(quán)展開多項(xiàng)式求和的方法。

如：將二進(jìn)制數(shù)1010 轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，（1010）B=（ ）D。

同理可以實(shí)現(xiàn)八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)。

1.2 十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為非十進(jìn)制數(shù)

對(duì)于十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為非十進(jìn)制數(shù)，采用“除基取余法[5]”，即十進(jìn)制數(shù)不斷除以基數(shù)，取每一次余數(shù)，直至商為0，然后將余數(shù)“自下而上”排列即可[6]。

如：（25）D=（ ）B。

（25）D=（11001）B。

如：（125）D=（ ）O。

（125）D=（175）O。

如：（125）D=（ ）H。

（125）D=（7D）H。

1.3 二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

23等于8，24等于16，二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)有倍數(shù)關(guān)系[7]，在將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，采用3 位二進(jìn)制數(shù)換1 位八進(jìn)制數(shù)（簡(jiǎn)稱：3 位換1 位）、4 位二進(jìn)制數(shù)換1 位十六進(jìn)制數(shù)（簡(jiǎn)稱：4 位換1 位）的方法。反之即采用1 位換3 位或1 位換4 位的方法。

如：（1101011）B=（ ）O=（ ）H。

（1101011）B=（ 153 ）O=（ 6B ）H。

如：（E06D）H=（ ）B=（ ）O。

（E06D）H=（1110000001101101）B=（160155）O。

采用此方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程中，位數(shù)不夠的，在對(duì)應(yīng)數(shù)前面加“0”，要注意例4 中加“0”可以省略（因?yàn)闆]有意義），但例5 中加“0”是不可以省略的，要注意二者之間的區(qū)別。

2 存在的問題

通過第1 節(jié)中對(duì)數(shù)制轉(zhuǎn)換方法的梳理發(fā)現(xiàn)，二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)八進(jìn)制數(shù)、二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)十六進(jìn)制數(shù)是比較容易的，學(xué)生只需掌握相應(yīng)數(shù)制的基數(shù)對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換關(guān)系（或掌握一些特定數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系），即可輕松掌握這部分知識(shí)。對(duì)于十進(jìn)制與各進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，雖然方法較為簡(jiǎn)單，但是由于計(jì)算比較復(fù)雜，計(jì)算的步驟也比較多，很容易混淆。例如在進(jìn)行除基取余時(shí)，是自下而上還是自上而下？十進(jìn)制與各進(jìn)制的轉(zhuǎn)換中，轉(zhuǎn)換的數(shù)值較小，當(dāng)數(shù)值較大時(shí)，采用除基取余計(jì)算，計(jì)算的復(fù)雜度與所花費(fèi)的時(shí)間都會(huì)大大增加，如將十進(jìn)制數(shù)2 049 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，甚至是32 769 呢，將要短除多次，同時(shí)在短除過程中也難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。教學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，通過一定的技巧和方法改進(jìn)，可以解決以上難題，幫助學(xué)生在考試計(jì)算過程中節(jié)省寶貴時(shí)間。

3 改進(jìn)方法

基于1.3 節(jié)知識(shí)，二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制數(shù)或十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，目前通過3 位換1 位與4 位換1 位（或1 位拆3位與1 位拆4 位）的方法，比較快速直接，暫無改進(jìn)方法。本文主要研究二進(jìn)制與十進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換，八進(jìn)制、十進(jìn)制與十六進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換的改進(jìn)方法。研究總結(jié)的改進(jìn)方法主要以二進(jìn)制為媒介，實(shí)現(xiàn)各進(jìn)制之間的便捷轉(zhuǎn)換，如圖1 所示。

圖1 各進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換方法圖

3.1 二進(jìn)制與十進(jìn)制相互轉(zhuǎn)換

在這兩種進(jìn)制的轉(zhuǎn)換過程中，我們需要熟記表2 中“2的冪”與“十進(jìn)制數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如表2 所示。

表2 2 的冪與二進(jìn)制和十進(jìn)制數(shù)關(guān)系對(duì)照表

續(xù)表

3.1.1 二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制，由左向右從0 開始標(biāo)記序號(hào)（或根據(jù)其位權(quán)冪次），忽略0 累加即可。

此方法的關(guān)鍵是從左側(cè)開始數(shù)位數(shù)，忽略“0”的位數(shù)。數(shù)值大的時(shí)候，即可充分體現(xiàn)出此改進(jìn)方法的優(yōu)勢(shì)。

如此，在計(jì)算時(shí)不需要寫如式（1）繁雜的“1”與“0”，提高運(yùn)算效率。

3.1.2 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制

十進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制，我們需要熟記表2 中的內(nèi)容，根據(jù)需要計(jì)算的十進(jìn)制數(shù)大小，進(jìn)行逐值遞減，具體算法[8]如下，以式（4）中的值為例。

STEP 1：判斷（25）D與2n（n=1，2，3，4，…）值的大小關(guān)系

OUTPUT 1：24＜（25）D＜25

VALUE 1：24，余25-16=9

STEP 2：判斷（9）D與2n的大小

OUTPUT 2：23＜（9）D＜24

VALUE 2：23，余9-8=1

STEP 3：當(dāng)余值為（1）D時(shí)，OUTPUT AND VALUE：20

RETURN：24+23+20=（11001）B

注意：2n表示二進(jìn)制數(shù)“1”及后面n個(gè)“0”。如24表示1 及后面0000，值（10000）B。

當(dāng)需要計(jì)算的值較大時(shí)，采用如上算法，即可快速計(jì)算出結(jié)果，如計(jì)算（2023）D。

3.2 八進(jìn)制、十進(jìn)制與十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換

主要是以二進(jìn)制為中介，進(jìn)行快速轉(zhuǎn)換。

綜上，改進(jìn)方法重點(diǎn)掌握二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換。通過以二進(jìn)制為媒介，八進(jìn)制、十進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)換，便于記憶和掌握，同時(shí)也提高了轉(zhuǎn)換的速度。

4 改進(jìn)方法分析

通過第1 節(jié)與第3 節(jié)對(duì)轉(zhuǎn)換方法的闡述，將原轉(zhuǎn)換方法與改進(jìn)轉(zhuǎn)換方法總結(jié)整理成對(duì)比表，便于分析和理解，如表3 所示。

表3 轉(zhuǎn)換方法對(duì)比表

二進(jìn)制（B）、八進(jìn)制（O）與十六進(jìn)制（H）的相互轉(zhuǎn)換，暫無改進(jìn)方法，其他進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換主要以二進(jìn)制（B）為媒介。

4.1 二進(jìn)制與十進(jìn)制轉(zhuǎn)換分析

通過表3 中第1 行、第4 行的方法對(duì)比，式（1）與式（9）計(jì)算數(shù)值一樣，忽略基數(shù)為0 的位權(quán)計(jì)算，轉(zhuǎn)換速度明顯提高。當(dāng)數(shù)值較大時(shí)，我們只需掌握表2 中“2 的冪”與“十進(jìn)制數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，甚至更大“2 的冪”的數(shù)值，即可快速計(jì)算出結(jié)果，如式（10）所示。

式（4）在短除過程中，短除5 次；式（11）中需要判斷2 次（OUTPUT 1 和2），計(jì)算3 次（VALUE 1 和2，以及STEP 3），合計(jì)5 次；雖然次數(shù)差不多，但短除法更容易；我們?cè)谵D(zhuǎn)換計(jì)算前，列出表2 中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則2 次判斷可以忽略，計(jì)算的速度也將大大提高。忽略判斷的情況下，在式（12）中需要計(jì)算8 次；通過短除法，需要短除11 次。當(dāng)需要轉(zhuǎn)換的數(shù)值更大時(shí)，如（32 769）D=（ ）B，采用短除法需要短除16 次，采用改進(jìn)方法只需短除2 次，即215+20。如（65 535）D=（ ）B，采用短除法需要短除16 次，采用改進(jìn)方法只需短除2 次，即216-20。

綜上，改進(jìn)方法能有效提升二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換速度，特別是當(dāng)計(jì)算數(shù)值較大時(shí)，更能顯現(xiàn)出其較快的轉(zhuǎn)換速度。

4.2 八進(jìn)制與十進(jìn)制轉(zhuǎn)換分析

對(duì)比式（2）與式（13）（15），式（2）中在忽略基數(shù)為0 的情況下，主要需要計(jì)算83 的值；式（13）（15）式主要是用“一位拆散位”的方法，先將八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，再依據(jù)3.1.1 節(jié)的方法轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。相較于計(jì)算8 的冪，通過將八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制、再由二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的計(jì)算難度小了很多，速度也相應(yīng)提高。當(dāng)計(jì)算數(shù)值變大時(shí)，效果將更加明顯。

對(duì)比式（5）與式（16）/（17）+（18），采用式（5）的除基取余法需要短除3 次，采用式（16）+（18）的改進(jìn)方法需要短除7 次，采用式（17）+（18）的方法需要短除4 次，短除法計(jì)算次數(shù)更少。但短除8 這樣較大的數(shù)值時(shí)，在計(jì)算過程中，難免需要進(jìn)行分步的計(jì)算。總體而言，改進(jìn)方法更加有效、便于記憶和掌握。如4.1 節(jié)所舉例的較大的數(shù)值計(jì)算時(shí)，改進(jìn)方法的效果更加顯著。

4.3 十六進(jìn)制與十進(jìn)制轉(zhuǎn)換分析

與八進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制一樣，如式（3）中十六進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制，要計(jì)算16 的冪，是比較困難的。通過式（14）+（15）以二進(jìn)制為媒介的轉(zhuǎn)換改進(jìn)方法將更易于掌握，計(jì)算起來也更加快速。十進(jìn)制轉(zhuǎn)十六進(jìn)制，對(duì)比式（6）與式（16）/（17）+（19），與4.2節(jié)分析一樣，采用改進(jìn)方法不容易出錯(cuò)，而且容易掌握，當(dāng)計(jì)算數(shù)值較大時(shí)，轉(zhuǎn)換計(jì)算速度更快。

5 結(jié) 論

本文在研究總結(jié)傳統(tǒng)數(shù)制轉(zhuǎn)換方法的基礎(chǔ)上，提出了以二進(jìn)制為媒介的數(shù)制相互轉(zhuǎn)換方法，研究分析轉(zhuǎn)換改進(jìn)方法并證明其優(yōu)勢(shì)。實(shí)踐表明，改進(jìn)方法能夠統(tǒng)一數(shù)制之間相互轉(zhuǎn)換的計(jì)算方式，提高轉(zhuǎn)換速度，易于學(xué)習(xí)和掌握，當(dāng)轉(zhuǎn)換計(jì)算數(shù)值較大時(shí)，其優(yōu)勢(shì)更加明顯。下一步將探索小數(shù)部分轉(zhuǎn)換方法，以及通過計(jì)算機(jī)程序算法實(shí)現(xiàn)常見數(shù)制之間的高效轉(zhuǎn)換。