基于可分離字典的稀疏和低秩表示圖像去噪

張雷，劉叢

（上海理工大學，上海 200093）

在圖像采集、傳輸等過程中，由于采集設備和傳感設備的影響，不可避免地會產生噪聲圖像。這嚴重影響了圖像分割、圖像識別等后續的圖像解譯工作[1]。圖像質量的下降會影響人們對圖像的視覺觀察效果，同時后續也會阻礙對圖像提取有用的信息[2]。圖像去噪是一種基本的圖像處理技術，其通過對噪聲圖像處理以恢復原始的清晰圖像。該技術廣泛地應用于圖像處理、信號處理以及計算機視覺等諸多領域。

傳統的圖像去噪研究利用圖像的先驗信息進行去噪，如梯度模型[3]、低秩模型[4]和稀疏模型[5]。在稀疏表示去噪中，原始圖像通過一個過完備字典和一組稀疏系數矩陣的線性組合映射到低維空間以去除噪聲。在該模型中，每個子圖像都是獨立的，沒有考慮到相似子圖像間的相關性。針對該問題，低秩表示（LRR）[6-7]可以挖掘不同系數之間的相關性。LRR將整個圖像分為多個子向量，每個子向量對應一個系數，并對系數矩陣添加低秩約束以更好地捕捉數據的全局結構。LRR 在圖像去噪中獲得了成功，但其自身仍存在一些問題。首先，它在去噪過程中仍然將整個圖像劃分為多個圖像塊或者向量操作，不可避免地會帶來巨大的計算量。其次，該模型通常將圖像自身作為字典而缺乏有效的字典表示。針對上述問題，Bahri等[8-9]采用了一種具有Kronecker 結構的低秩可分離字典（SeDiL）。一方面，低秩可分離字典可以克服LRR 中無結構良好的字典的問題，可以很好地反映整幅圖像的低秩性。另一方面，在文獻[8-9]中，它可以出色地完成高水平噪聲下的去噪任務。針對該改進，文中進一步結合可分離字典的學習和低秩表示的優點，設計了一種高效的去噪模型以應對高強度噪聲圖像去噪，稱為基于可分離字典的稀疏和低秩表示（SLRR-SD）。該模型首先使用可分離字典代替LRR中的過完備字典，以解決LRR 無法尋找合適字典的問題。其次，使用Frobenius 范數對2 個分離字典約束，以尋找字典內部的低秩性。進一步，受Zhang 提出的結構化低秩表示（SLRR）[10-11]的啟發，為了獲得更有效的表示，使用SLRR 以增加系數矩陣的稀疏性。大量的實驗結果表明，提出的算法在面對高強度噪聲時，獲得了較好的去噪效果。

1 相關工作

1.1 低秩表示

雖然LRR 可以在一定程度上緩解SR 的行列信息丟失問題，但并沒有從根本上解決這個問題。在實際操作中，圖像的表示是從矩陣變為列向量。

1.2 結構化低秩表示

SLRR 是LRR 的改進模型，它在LRR 的基礎上增加了稀疏表示來建立新的模型。

從這個新模型中可以看出，低秩分量揭示了全局信息，而稀疏性決定了圖像屬于哪一類[7]。此外，SLRR 還提出了一種學習字典的方法，解決了LRR沒有較好結構字典的問題。與LRR 類似，SLRR 仍然不能解決數據的維度問題。

1.3 可分離字典學習

圖1 基于可分離字典表示的二維數據Fig.1 Two-dimensional data based on separable dictionary representation

2 基于可分離字典的稀疏和低秩表示

此節介紹基于可分離字典的稀疏和低秩表示模型。該模型結合了SLRR 和SeDiL 的優點，能有效地去除高密度的噪聲。一方面，對于模型的優化，不僅要考慮某些因素，還要考慮它們之間的相互影響。在彈性網絡[12-14]中，1L和2L范數作為聯合懲罰項，解決了稀疏性和穩定性之間的平衡問題。壓縮感知理論表明，模型解的稀疏性和穩定性是不能同時實現的，因此在模型設計過程中應充分考慮它們之間的相互作用。基于這個思想，1L范數和核范數被結合在文中的稀疏和低秩表示模型中。1L范數控制表示系數的稀疏性，而核范數控制其低秩性，使得表示系數更穩健有效，恢復結果更好。此外，SLRR-SD 能夠將整個圖像表示為一個低秩矩陣以克服行和列之間信息丟失的缺點，并獲得有效的全局表示。另一方面，傳統的K-SVD 方法得到的字典只適用于小圖像塊，而不能處理大圖像塊甚至整幅圖像。SLRR-SD 獲得的Kronecker 結構的可分離字典可以很好地解決這個問題，而且可分離字典具有低秩性，圖像重建能力更強。通過低秩表示和低秩分離字典，可以使恢復的圖像達到理想的低秩。最后，K-SVD 方法需要通過預訓練樣本來學習字典，這種方法會帶來沉重的計算負擔，而SLRR-SD 通過在線學習字典很好地克服了這一缺陷。

2.1 模型

LRR-SD 模型見式（6）。

2.2 迭代優化

在這里，使用交替方向乘子法（ADMM）[16]來優化式（8）可得：

如上所述，當優化一個參數同時固定其他參數時，式（9）的損失函數是凸的。通過交替更新每個參數來優化它，直到達到收斂。

2.2.1 更新變量E

假設所有其他參數都是固定的，通過求解式（10）來更新噪聲矩陣E。

式中：S( )為軟閾值收縮算子[17-18]。

2.2.2 更新變量A

假設所有其他參數都是固定的，通過求解式（11）來更新可分離字典A。

2.2.3 更新變量B

假設所有其他參數都是固定的，通過求解式（13）來更新可分離字典B。

2.2.4 更新變量K

假設所有其他參數都是固定的，通過求解式（15）來更新分離變量K。

更新式（16）中的K是一個挑戰。其中式（16）是Stein 方程，可以用離散時間的Sylvester 方程求解，如Hessenberg-Schur 方法。

2.2.5 更新變量Z

假設所有其他參數都是固定的，通過求解式（17）來更新低秩表示Z。

式中：D( )為奇異值收縮算子[17-18]。

2.2.6 更新變量W

固定其他的變量，通過求解式（18）來更新分離變量W。

2.2.7 更新變量T

固定其他的變量，通過求解式（19）來更新分離變量T。

3 實驗及結果分析

3.1 實驗設置

3.1.1 數據集

1）基準圖像，即Facade 圖像[19]。這幅畫具有鮮明的特征，如黑色的十字架、窗戶，以及用墻紋裝飾的窗戶中的物體。

2）Berkeley Segmentation 數據集[20]。它由300張圖像組成，用于灰度和顏色分割。

3）Set 12 數據集。該數據集包含12 幅圖像處理中應用最廣泛的灰度圖像，如Lena、House、Parrot等。文中測試了3 個數據集中的100 多張圖像，這里只應用了8 張測試圖像來展示去噪結果，見圖2，分別為Fa?ade（202×194）、Flower（321×481）、Bear（481×321）、Ostrich（481×321）、Lena（128×128）、Barbara（256×256）、House（256×256）、Parrot（256×256）。

圖2 測試圖像Fig.2 Test images

3.1.2 對比方法

文中將2 個去噪模型與6 種相關的方法進行比較。前 3 種比較方法是基于不同的字典[21]，包括K-SVD 字典（K-SVD）、DCT 字典（DCT）和全局字典（Global）；第4 個比較方法是最小權重核范數（WNNM）[22]，其中奇異值被賦予不同的權重；第5種比較方法是穩健主成分分析（RPCA）[23]；第6 種比較方法是魯棒非線性矩陣分解的魯棒非線性分解方法（SNLMF）[24]。

3.1.3 參數設置

3.1.4 對比定量

峰值信噪比（PSNR）[25]可以衡量恢復圖像的平滑度，而特征相似度指數（FSIM，彩色圖像為FSIMc）[26]可以衡量恢復圖像的特征信息。

3.2 視覺及定量對比

在 3 個數據集（Facade 圖像、Berkeley Segmentation 數據集和Set 12 數據集）上的實驗結果如圖4 所示。在實驗中使用了4 種噪聲強度，噪聲強度5%用于模擬低強度噪聲損傷，噪聲強度10%和20%用于模擬中度破壞，噪聲強度30%用于模擬嚴重破壞。

3.2.1 基準Fa?ade 圖像

現在分析在Fa?ade 圖像上通過不同方法獲得的去噪結果。在噪聲強度5%、10%、20%和30%下，定量結果分別顯示在表1、表2、表3 和表4 的第1列中。從表1—4 中可以看出，所提出的SLRR-SD表現出最好的性能。在表4 中，其他模型在數值上與文中算法有很大的差距。

在噪聲強度10%和30%下的視覺結果如圖3 和圖4 的第1 行所示。從圖3 中可以看出，大多數比較方法都能很好地恢復圖像，噪聲去除比較干凈并保留了圖像的大部分信息。DCT、K-SVD、Global 和WNNM得到的去噪結果嚴重丟失了圖像的原始信息，如建筑物上的黑色十字、窗戶上的物體和墻上的線條，而提出的SLRR-SD 可以更好地恢復原始信息，它保留了建筑外墻的這些特點。

3.2.2 Berkeley Segmentation 數據集

在噪聲強度為5%、10%、20%和30%下，定量結果分別見表1、表2、表3 和表4 的第2、3、4 列中。從表1—4 中可以看到提出的SLRR-SD 在所有噪聲強度下仍然獲得了3 圖像的最高測量值。在表4中，其他模型在數值上與文中法有很大的差距。

在噪聲強度為10%和30%下的視覺結果如圖3和圖4 的第2、3、4 行所示。圖3 中的大多數方法都可以很好地恢復這3 個圖像的原始信息。在噪聲強度為30%下，大部分比較方法都丟失了花瓣、花瓣上的線條和中心花蕊的細節。熊頭部和周圍雜草的輪廓已經模糊，有些甚至看不到雜草。鴕鳥的眼睛和嘴巴已經變形或以其他方式丟失，并且背景噪聲也沒有完全消除。這表明在高強度噪聲條件下，文中算法在保留原圖像信息的同時能夠很好地完成去噪任務。

圖4 噪聲強度為30%的去噪結果Fig.4 Denoising results for 30% noise intensity

3.2.3 Set 12 數據集

在噪聲強度為5%、10%、20%和30%下，定量結果分別顯示在表1、表2、表3 和表4 的第1、2、3、4 列中。提出的SLRR-SD 在所有表中的值依然是最高的。

表1 噪聲強度為5%的PSNR/FSIM 值Tab.1 Values of PSNR/FSIM for 5% noise intensity

表2 噪聲強度為10%的PSNR/FSIM 值Tab.2 Values of PSNR/FSIM for 10% noise intensity

表3 噪聲強度為20%的PSNR/FSIM 值Tab.3 Values of PSNR/FSIM for 20% noise intensity

表4 噪聲強度為30%的PSNR/FSIM 值Tab.4 Values of PSNR/FSIM for 30% noise intensity

在噪聲強度10%和30%下的視覺結果如圖3 和圖4的第5、6、7、8 行所示。在噪聲強度30%下，該數據集中數值與視覺的對比更加明顯。首先，在圖4 中，大多數方法的Lena 和Barbara 人物的面部輪廓、頭發、帽子和圍巾完全看不清楚。此外，House 和Parrot 幾乎看不到圖像的輪廓，細節信息完全丟失。SLRR-SD 不僅可以保留大致的輪廓結構，還可以恢復一些原始細節，例如Lena 的面部結構和Parrot 的紋理信息。

3.3 收斂分析

圖5 迭代誤差Fig.5 Error of iteration

4 結語

文中提出了基于可分離字典的稀疏和低秩表示算法用于圖像去噪。在SLRR-SD 中，低秩表示和低秩可分離字典用來提升整幅圖像的低秩性。將稀疏表示與低秩表示相結合，以獲得更有效的表示，進一步增加了整幅圖像的低秩性。此外SLRR-SD 不僅能保留相鄰列之間的相關性，并且它的可分離字典優化過程也降低了計算負擔。提出的算法在噪聲強度5%、10%、20%和30%下的PSNR/FSIM 的平均值分別為32.736/0.975、29.769/0.957、29.295/0.951 和26.768/0.921。仿真實驗結果表明，提出的模型不僅可以消除噪聲，而且可以恢復更多的圖像特征信息，并且在高強度噪聲的破壞下SLRR-SD 依然可以獲得良好的恢復效果。在未來的工作中，將繼續深入研究圖像去噪領域，探索高維度、高規模的圖像去噪技術。