漁舟唱晚波浪函數(shù)，數(shù)形結合落實素養(yǎng)漁舟唱晚波浪函數(shù)，數(shù)形結合落實素養(yǎng)
——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)教學設計與思考

◎魏清泉 張肇勛

(1.山東省青島市教育科學研究院,266011;山東省青島市即墨區(qū)第一中學，266200)

一、教學分析

在自然界、生活和生產(chǎn)實際及科學技術中，周期現(xiàn)象俯拾皆是.在本章我們以單位圓上的勻速圓周運動引入函數(shù)y=sinx，y=cosx.這兩個函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的基本數(shù)學模型，它們是“標準化”的結果.將單位圓上的運動進行擴展，就到了本節(jié)的“一般的勻速圓周運動”，其擴充點有圓的半徑、起點位置、角速度等，而刻畫這些現(xiàn)象的數(shù)學模型就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ).對于這部分內(nèi)容，以往教科書往往側(cè)重研究“圖像變換”，即參數(shù)A，ω,φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響,從而使得教師在教學中把注意力集中在三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換上，讓學生形式化地記住“左加右減，上加下減”等口訣，而對這個函數(shù)的實際意義卻不加關注.新課標的背景下，數(shù)學教學應著眼于開放，注重喚醒學生的開放意識與創(chuàng)新思維.所以，結合新版本的教材，筆者將從研究筒車運動開始，構建周期變化的函數(shù)模型，經(jīng)過數(shù)學建模，獲得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，明確函數(shù)模型中參數(shù)的實際意義，再通過對該函數(shù)模型的研究獲得其圖像與性質(zhì)等相關結論.

二、教學實錄

上課開始和學生一起欣賞一首曲子《漁舟唱晚》，用音樂軟件的視覺效果波浪線向?qū)W生展示聲音的變化，定格一個畫面.

老師：大家想一下，在欣賞音樂的過程中，大家看到的如屏幕展示的跳動變化的曲線是什么呢？

學生：聲音的波動圖.

老師：沒錯！看到這個圖像大家能聯(lián)想到我們數(shù)學上學到的什么相關知識？

學生：三角函數(shù)圖像.

老師：大家的數(shù)學感知能力是非常準確的，其實音樂中的每一個音的聲波都是一個三角函數(shù)，就像我們屏幕上展示出來的這三個三角函數(shù)圖像，每個圖像都代表一個音(用幾何畫板展示)，而平時我們聽到的音樂是由許多個音節(jié)合成的復合音，把每個音對應的函數(shù)合在一起，就成了現(xiàn)在所展示的聲波曲線(幾何畫板展示)，這跟我們剛才看到的音樂波形圖是非常相像的.所以說，數(shù)學來源于生活，只要我們帶著數(shù)學的眼光善于發(fā)現(xiàn)問題，就能感受到數(shù)學無處不在.現(xiàn)在我就有這樣一個問題：剛才展示的三個音的圖像都是三角函數(shù)圖像，但是圖像卻是不同的，圖像的不同是由什么影響的呢？這就是我們這節(jié)課要探究的問題.首先看一下本節(jié)課的學習目標：(課件出示學習目標，給學生留時間閱覽)

老師：要解決上面提出的問題，我們需要結合實際情境，建立一個適合解決問題的數(shù)學模型，這個實際問題與勻速圓周運動有關，比如筒車的運動.大家先一起看一個視頻，體會筒車的工作原理(播放視頻).

老師：從視頻中我們可以看到筒車的工作原理：假設水流量穩(wěn)定，筒車上的每一個盛水筒都可以看成一個質(zhì)點，它們在周而復始地做勻速圓周運動.關于筒車這個實際運動情景，相信大家可以提出很多與數(shù)學相關的問題.我們今天主要來研究一下盛水筒在勻速圓周運動的過程中相對水面高度有關的問題.為了方便研究，我們把筒車抽象成如圖所示的幾何圖形.在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車從P0處出發(fā)，逆時針做勻速圓周運動到達P點的過程中，盛水筒距離水面的相對高度H都與哪些量有關？嘗試用數(shù)學符號去表示這些量.

圖1

學生：筒車的半徑r、筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω、轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離h

老師：還有沒有補充？

學生：還跟轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間t有關系.

老師：大家找得非常準確，我們先把各個量標記到圖像上(課件展示)，大家接著考慮與高度H有關的這些量中誰是常量？誰是變量？

學生：筒車的半徑r、筒車轉(zhuǎn)動的角速度ω、轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離h是常量，轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間t為變量.

老師：那大家想一下，盛水筒相對水面的高度H與轉(zhuǎn)動經(jīng)過的時間t是否成函數(shù)關系？為什么？

學生：成函數(shù)關系，因為每一個時間t都有唯一確定的高度H與之對應.

老師：大家解釋得非常準確，既然兩個變量之間成函數(shù)關系，那么結合筒車的運動特點，你將選擇一個怎樣的函數(shù)模型來刻畫盛水筒相對水面的高度H與時間t的關系呢？

學生：三角函數(shù)，因為筒車周而復始做勻速圓周運動，具有周期性.

圖2

老師：很好，大家對于三角函數(shù)的特點理解得非常到位.我們要通過函數(shù)解析式解決問題，按照已有的做題經(jīng)驗，最好能建立一個坐標系，如何建系更加合適？

學生：以水車軸心O為原點，以過O點平行于水面的直線為x軸，過O點垂直于水面的直線為y軸建立坐標系.

老師：回答得非常嚴謹，大家鼓勵一下(掌聲).在該坐標系的基礎上，當t=0時，盛水筒M從初始位置P0，以ω(rad/s)角速度，經(jīng)過t(s)，逆時針運動到P點，其中以Ox為始邊，以OP0為終邊的角為φ，請大家思考轉(zhuǎn)動過程中盛水筒相對水面的高度H與時間t的函數(shù)模型具體是什么？

學生通過思考探究后，舉手展示自己得到的結果.

學生：我得到的函數(shù)關系式為：H=rsin(ωt+φ)+h.

老師：解釋一下，你是怎么得到這個結果的？

學生：水筒到水面的相對高度可以看成水筒到x軸的距離與軸心到水面的距離的和，其中轉(zhuǎn)動過程中水筒OP與x軸的夾角為ωt+φ，所以水筒到x軸的距離為rsin (ωt+φ)，這樣就得到了H與t的關系式.

老師：大家有不同的答案嗎？(沒有別的意見)這位同學分析得非常有條理，表述很準確，掌聲鼓勵一下(掌聲).板書探究得到的函數(shù)關系式：H=rsin (ωt+φ)+h.

老師：這里的h是常量，我們暫且不做研究，關系式中剩余的t是自變量，H是因變量，我們習慣上用x，y來表示自變量和因變量，所以我們可以把該函數(shù)模型寫成這樣的形式：H=Asin (ωt+φ)+h，這個函數(shù)模型就是用來刻畫筒車這樣的質(zhì)點做勻速圓周運動的，其中每個量的意義是什么呢？

學生：A是半徑，ω是角速度，x是轉(zhuǎn)動的時間，φ是起始位置與x軸的夾角，H就是對應的高度.

老師：大家理解得不錯，我們看到這個函數(shù)，很容易想到之前學過的正弦函數(shù)y=sinx，這兩個函數(shù)在參數(shù)的取值上有什么關系呢？

學生：函數(shù)y=sinx中A=1，ω=1，φ=0.

老師：結合我們對參數(shù)意義的理解，這也正印證了正弦函數(shù)刻畫的就是質(zhì)點在單位圓上，以單位速度，從A(1,0)點出發(fā)做勻速圓周運動.我們知道函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的圖像由參數(shù)A,ω,φ所確定，只要我們弄明白這三個參數(shù)的變化對圖像的影響，就能把握這個函數(shù)的性質(zhì)了.下面，我們利用剛才建立的數(shù)學模型，結合對函數(shù)中每個量意義的理解，借助筒車有關的幾個實際問題，探究參數(shù)ω，φ對三角函數(shù)圖像變化的影響.

應用探究1:現(xiàn)在有一半徑為1 m的筒車，共均勻安裝了12個水筒，在雨季筒車的轉(zhuǎn)速為1 rad/s，則相鄰的兩個水筒相繼到達最高點的時間差是多少？

學生思考后，舉手展示結果.

三、教學感悟

本節(jié)內(nèi)容為高中數(shù)學人教A版5.6章節(jié)“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)”.在自然界、生活和生產(chǎn)實際及科學技術中，周期現(xiàn)象俯拾皆是.在本章5.2.1這一節(jié)，我們以單位圓上的勻速圓周運動引入函數(shù)y=sinx，y=cosx.在5.4.1這一節(jié)我們又結合點在單位圓上的勻速圓周運動特點，在三角函數(shù)定義的基礎上，繼續(xù)學習了y=sinx，y=cosx的函數(shù)圖像.這兩個函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的基本數(shù)學模型，它們是“標準化”的結果.研究它們的圖像與性質(zhì)可以為研究其他周期變化現(xiàn)象奠定基礎.將單位圓上的運動進行擴展，就到了本節(jié)的“一般的勻速圓周運動”，其擴充點有圓的半徑、起點位置、角速度等，而刻畫這些現(xiàn)象的數(shù)學模型就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ).對于本節(jié)內(nèi)容，教材定位于構建周期變化的函數(shù)模型，從研究筒車運動開始，經(jīng)過數(shù)學建模，獲得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，從而明確函數(shù)模型中參數(shù)的實際意義，再通過對該函數(shù)模型的研究獲得其圖像與性質(zhì)等相關結論.對于這部分內(nèi)容，以往教材往往側(cè)重研究參數(shù)對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像的影響，因此教師在教學中一般把注意力集中在三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換上，讓學生形式化地記住“左加右減，上加下減”等口訣，對這個函數(shù)的實際意義卻不加關注.而新版教材在本節(jié)首先提出研究任意勻速圓周運動如何用數(shù)學模型刻畫的問題，通過筒車這一生活實際，在理解函數(shù)模型實際意義的基礎上，研究參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，注重以學生為本，能夠讓學生更好地體會研究函數(shù)的一般思想和方法.我們在整個教學過程中始終貫穿了由簡單到復雜、由特殊到一般的化歸思想，同時還力圖向?qū)W生展示觀察、歸納、類比、聯(lián)想等數(shù)學思想方法。通過本節(jié)課的學習，學生能夠?qū)⒁延械闹R形成體系，從而為進一步探索研究其他數(shù)學問題奠定基礎。下面筆者將從三個方面對本次課程進行反思評價。

(一)自我評價——用模型、探究的觀點設計復習課

本節(jié)課筆者通過學生熟悉的物理實際問題引入課題，為新課的學習創(chuàng)設情境，拉近了數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)了學生的求知欲。同時，讓學生結合筒車模型經(jīng)歷刻畫勻速圓周運動的數(shù)學建模過程，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng).其中，構建的函數(shù)模型轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)形式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)涉及了三個參數(shù)A,ω,φ，在教學過程中，考慮到課時時長，筆者只設計了ω，φ這兩個參數(shù)對三角函數(shù)圖像變換的影響.為了降低學生學習的難度，筆者設計了三個探究問題，分別從三個方面來研究函數(shù)圖像的變換：

(1)探究參數(shù)φ對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖像有怎樣的影響.

(2)探究參數(shù)ω對函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖像有怎樣的影響.

(3)探究函數(shù)y=sinωx的圖像如何變換為y=sin(ωx+φ)圖像.

在教學過程中，筆者一直以這個探究為主線，每個探究環(huán)節(jié)都結合筒車的勻速圓周運動設置了實際情境和探究問題串，以問題引領學生探究，借助實際情境幫助學生理解探究結果,并且運用幾何畫板軟件畫出函數(shù)的圖像，更加直觀地分析了兩個參數(shù)對函數(shù)圖像的影響，且對學生的探究結論給出驗證。這樣的處理有效降低了學生接受新知識的難度，所以學生在第三個探究中才能比較自然地將前兩個探究綜合起來，從而得到第三個探究的結論，而這既是本節(jié)課的重點，也是本節(jié)課的難點.

(二)問題反思——用聯(lián)系變化的觀點設計問題

本節(jié)課的教學思路是很清晰的，但是在具體操作過程中卻是“仁者見仁，智者見智”.筆者對第二個探究的處理是有些缺憾的，缺憾在于幾何畫板的局限性導致了無法將每個點的坐標展示出來，不利于學生觀察變換的特點.

(三)課堂重建——用實踐的觀點進行課堂重構

針對上面提出的缺憾，筆者對這節(jié)課做出如下調(diào)整：在上課時間允許的情況下，可以讓學生先自己畫出三個探究中每個函數(shù)的圖像，然后再由老師用幾何畫板展示.加入這個環(huán)節(jié)，學生探究起來會顯得輕松很多.因為學生自己在作圖的過程中每個點都要標出坐標，可以彌補幾何畫板無法展示點的坐標的缺憾.

沒有學習者體驗、感悟的教學是無效的教學.培育學生核心素養(yǎng)即為學生創(chuàng)造美妙的學習體驗，讓學生通過主動思考、分析、展示、體驗、創(chuàng)造獲取數(shù)學知識，進而內(nèi)化升華為數(shù)學能力，真正實現(xiàn)個性發(fā)展、終身發(fā)展.