探索有理數教學基本內容，幫助學生筑牢運算基礎

■丁錦榮

曹才翰先生在《曹才翰數學教育文選》中指出：“應把有理數一章的基礎知識的教學、基本技能的價值提高到代數教學的首要地位。”結合蘇科版教材七年級有理數一章的教學現狀，筆者認為這句話有非常現實的指導意義。

一、有理數教學基本內容

1.有理數的基本概念。

在數的概念發展史上，學生往往對新數系有個適應和接納的過程。雖然學生可以掌握個別概念，但對于概念間的內在聯系卻不易明確。比如，教材上引入有理數的概念，通過生活情境讓學生知道引入負數的必要性，然后將所學過的一些數（如正整數、自然數、分數、負數、小數）羅列出來，最后劃分為整數和分數，并將其統稱為有理數。不少教師順勢將有理數進行分類板書，讓學生記錄、整理課堂筆記，然后跟進一些有理數的歸類識別，學生似乎也能較好地掌握（識別數的類型，解題不出錯）。然而，作為教師，理解還不能止于這樣的認識程度，在相關習題練習、課后反思和有理數單元回顧時，教師有必要向學生講授有理數更本質的定義，即“形如（其中b為整數，a為正整數）的數稱為有理數”。這樣是基于舊概念（學生已有整數概念）來定義新概念（定義有理數，即“可比數”），數系就是這樣不斷擴充而來的。

2.數軸。

數軸是數形結合的重要工具，是學生進入初中后引入的第一個重要工具。緊隨有理數概念之后就介紹數軸，主要是為了“數形結合”，讓學生形象直觀地學習和定義相反數，并比較有理數的大小。教師對于數軸的理解不能止步于“一個定義、三個要素、大量練習”的層次，可以在例題教學時，介紹數軸在數形結合上的作用。數軸是一個具有發展前途的數學工具，比如兩根數軸垂直相交，且原點重合時，便“升級”得到了平面直角坐標系，而平面直角坐標系則可以用來研究函數圖像。

3.相反數及倒數。

教材上相反數的概念非常好懂，然而這個概念并沒有深刻揭示相反數的本質。在相反數的復習階段，教師可以向學生介紹相反數的另一種定義方式，即若數a、b的和為零，則稱a、b互為相反數。相應地，倒數也可以這樣定義，若a、b的積為1，則稱a、b互為倒數。這樣的定義方式可以在有理數范圍內得到體現，比如，在后續學習和探究有理數運算法則時，就可借助相反數的定義進行推理，包括有些解題依據，也可提示學生回到相反數的定義去理解。

二、有理數運算法則的教學研究

1.有理數加、減法運算法則的教學研究。

筆者認為，有理數加法法則的教學研究要重視加法法則從何而來，兩個有理數相加的情況也要分類研究。小學階段的運算類型可“一帶而過”；初中階段引入負數之后的運算類型，則需借助相反數的性質（互為相反數的兩個數相加為0）進行推理、歸納運算法則。最后，教師進行加法法則的小結梳理，借此過程讓學生知道新知從何而來，又示以學生運算思維，讓學生知道面對新的運算情況，可以通過一些變形、轉化實現運算。

有理數減法法則，則可借助加、減運算互為逆運算進行轉化，將有理數減法轉化為“減去一個數，等于加上這個數的相反數”實現加、減的統一運算。

2.有理數乘、除運算法則的教學研究。

有理數乘法運算法則的教學引入主要難點在于“負負得正”。這個教學難點在很多教材上的引入方式都不一樣，也有很多數學教育學者給出了各自的教學理解。筆者認為，不管哪種教學方式的引入，都是向學生傳遞“負負得正”這種運算規則與其他運算法則、運算通性之間的一致性。此外，通過推理、歸納的方式，學生知道數學教材上的“基本事實”“規定”都是前輩數學家們集體智慧的產物，并不是隨意而定的，他們向學生展示追求數學邏輯嚴謹的學科精神。

基于學生對加、減互逆運算的經驗，有理數除法法則也可以從乘法逆運算的角度直接得出。除法運算時，教師要提醒學生以下幾點，比如：0不能作為除數；1除某數仍等于1；1除以一個數等于該數的倒數；沒有除法的交換律、結合律、分配律；除法轉化為乘法時要注意不能漏掉符號等。

3.有理數乘方運算法則的教學研究。

有理數乘方運算是相同因數相乘的簡化表達，被稱為有理數的第五種運算。教師引出有理數乘方運算時，可類比有理數乘法源于加法的簡化表達，讓學生理解數學乘方運算出現的必要性。在進一步探究有理數乘方運算法則時，可結合有理數乘法運算來歸類探究，比如底數為正數或負數時，分類討論指數的奇、偶性，從而確定冪的符號。可見，對于底數為負的乘方運算，仍然要確立“符號優先”的運算意識。通過幾組必要的練習鞏固后，學生還可進一步梳理、總結更多的乘方運算經驗。比如，互為相反數的兩個數，它們的偶次冪相等，奇次冪互為相反數；1的任何次冪還是1等。這些經驗不僅有利于學生深刻理解乘方運算，而且對今后學習開方運算也會有很大的幫助。

三、幫助學生筑牢運算基礎

學生進入初中之后要過的第一關就是“運算關”，而運算的真正難點是混合運算。因為有理數的混合運算在本質上是綜合題，學生要兼顧的點很多，運算能力不強的學生常常是顧此失彼。有些學生出現錯誤，如果教師不加以點撥，直接讓學生訂正，他們即使訂正多次，也還是反復出錯；甚至有時訂正后，學生也不知道真正的錯因何在，這時簡單歸因到“運算不細心”是不行的。根據教學經驗，在有理數混合運算開始前，教師要告訴學生不要急于下手運算，而要培養審題的習慣，即認真審讀、觀察算式的結構特點，有哪幾種運算，括號位置如何，看清辨明運算類型、運算順序后，再構思從哪些“局部算式”逐個突破，這樣才能達到較好的運算效果。此外，教師還要特別重視針對學生的個別情況開展糾錯與究錯，對那些混合運算能力較差的學生，要安排他們利用“數學寫作”的方式整理錯題，剖析錯因，把每一種運算的錯誤原因查找出來，進行錯因備注，這樣可以防止下次再出現類似的運算錯誤。