基于問題學習 發展數學素養
——以“三角形的穩定性”的教學為例

江蘇省南京市永泰路小學 陳 春

基于問題的學習（Problem-Based Learning，以下簡稱PBL）是以現實世界的問題為中心、以學生為主體的教學方式。PBL教學注重將數學知識與生活實踐相聯系，基于實際問題圍繞某個較復雜的專題進行問題的提出，讓學生以小組討論的形式主動探究并解決問題。充分發揮PBL的價值，基于PBL理念進行設計與教學，有助于更好地促進學生數學核心素養的發展。

一、課前思考

對于三角形的穩定性，如果沒有抓住本質，缺乏探究體驗，只是通過聯系現實生活舉例或做三角形框架拉一拉，學生會片面地理解成堅固性。PBL教學注重聯系現實生活情境，在情境中主動發現并提出問題，借助相關的學習支架通過合作探究解決問題，引導學生積極思考、合作交流、質疑表達，深刻理解知識的本質特征，提升學習能力。基于這樣的思考，筆者將PBL教學法運用于“三角形的穩定性”一課的教與學。

二、課中實踐

（一）創設情境，動手實踐，提出問題

1.創設情境

出示問題：學校花壇里的小幼苗非常脆弱，為了保護幼苗，需要在花壇周圍扎一段籬笆，如何穩固枝條才能使籬笆結實呢?

2.動手操作

師：請同學們用準備好的材料模擬扎籬笆，比一比哪個小組扎得更結實。學生借助木條和細線進行操作，組內分工合作。

3.提出問題

師：通過操作實踐，大家認為扎成三角形更結實，生活中還有哪些地方有類似的現象？為什么這些地方要設計成三角形結構呢？

分析與說明：“問題”是PBL教學的主要載體和媒介。聯系學生的現實生活創設問題情境，一方面激發了學生積極思考與動手實踐解決問題的興趣，另一方面使學生在觀察、操作、交流等活動中創造出不同的三角形，引出對三角形穩定性的思考與探究。

（二）自主探究，對話質疑，分析問題

1.提出探究話題

師：三角形的穩定性指的是什么？

學生帶著思考尋找答案，自學教材“你知道嗎？”部分。

2.舉例分析

師（出示）：三角形具有穩定性，也就是當一個三角形三條邊的長度確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變。

師（提問）：與你們之前想的一樣嗎？怎樣理解三角形的穩定性呢？

舉例：小軍和小林都用3厘米、5厘米、7厘米的三根小棒擺了一個三角形，這兩個三角形（ ）。

A．形狀相同，大小不相等 B.形狀相同，大小相等C. 形狀不同，大小不相等 D.形狀不同，大小相等

3.對話質疑

師：三角形的穩定性這個結論正確嗎？

學生小組討論，全班交流，明確通過操作來驗證。

分析與說明：學生在“什么是三角形的穩定性”這一問題的驅動下，主動思考并尋找答案，與自己的理解進行比較。舉例中的選擇題既是對三角形穩定性概念的進一步分析，又為下面合作驗證三角形的穩定性指明了思考的方向，引導學生主動發現問題、分析問題。緊接著，教師拋出問題“這個結論是否正確呢”引發了學生的批判性思考，并嘗試通過操作驗證來幫助解決問題。

（三）動手操作，合作驗證，解決問題

1.學生依托學具進行自主操作

材料一為4厘米、5厘米、6厘米長的小棒各1根；材料二為6厘米、8厘米、10厘米長的小棒各1根；材料三為5厘米、6厘米、10厘米長的小棒各1根。每個學生選擇一組材料拼成一個三角形。

2.小組合作，比較辨析

學生在小組內將拼成的三角形進行比較，結合作品說說自己的發現。

3.分類展示，得出結論

（1）以小組為單位進行匯報展示，將每組材料搭成的三角形掛到黑板上展示，同時思考：自己拼的是什么三角形？（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）

（2）比一比，每一類三角形分別有什么共同的特征？（形狀相同，大小相等）

（3）用集合圖表示所有的三角形，歸納概括，得出結論。

分析與說明：學生先獨立操作，再以小組合作的形式進行觀察、比較、分析等活動，圍繞“三角形的穩定性是否成立”這一問題進行主動探究，不同的操作材料給學生提供了深度自主、合作學習的空間。在展示分享過程中，學生直觀地感受到只要三角形三邊長度相等，拼成的三角形不僅形狀相同，大小也相等。最后，學生通過分類與集合的方法進行歸納，從而驗證了三角形的穩定性這一結論的正確性。

（四）再提新問，啟發想象，辯論拓展

1.比較辨析，深度理解

（1）出示木條釘成的三角形和四邊形框架。

操作：拉一拉木條釘成的三角形和四邊形。

提問：你有什么發現？四邊形具有穩定性嗎？

學生分小組進行操作驗證。材料為4厘米、5厘米、8厘米、10厘米長的小棒各1根，拼成一個四邊形。然后，學生分組展示，比較后發現：當一個四邊形四條邊的長度確定后，這個四邊形的形狀和大小會發生改變，說明四邊形不具有穩定性。

（2）出示木條釘成的四邊形和鋼條焊接成的四邊形框架。

操作：拉一拉木條釘成的四邊形和鋼條焊接成的四邊形框架。

提問：通過這兩個四邊形框架的操作，我們知道鋼條焊接成的四邊形不容易拉動，是不是說明四邊形也具有穩定性呢？

學生思考后全班交流討論，明確穩定性與堅固性的區別。

（3）出示鉸鏈，了解鏈式多邊形。學生發現除了三角形外，其他多邊形都不具有穩定性。

2.解決問題，啟發想象

（1）出示問題：小軍用8厘米、5厘米、4厘米長的三根小棒擺了一個三角形，如果我們要再擺一個形狀和大小都和小軍擺的完全相同的三角形，那么，我們設計的三根小棒的長度有什么要求？

教師引導學生根據三角形的穩定性進行判斷。

（2）想象：如果想要用8厘米、5厘米、3厘米長的三根小棒擺一個三角形，可以嗎？用8厘米、5厘米、2厘米長的三根小棒呢？

讓學生先想象，再自由表達自己的想法，發現這樣不能擺成三角形，然后利用多媒體進行動畫演示。

3.辯論交流，拓展提高

（1）小軍的觀點：通過研究，我們發現多邊形中只有三角形具有穩定性，三角形真是太好了，那我們生活中還用其他多邊形干什么呢？干脆都用三角形算了！你的觀點呢？

讓學生自由表達，說出自己的觀點與想法，并聯系生活實際舉例說明。

（2）出示不同多邊形在實際生活中應用的例子。

讓學生談談自己的體會，教師相機小結：物盡其用，人盡其才。

分析與說明：通過三角形與四邊形木條框架的比較，結合操作驗證，促進學生深度理解三角形具有穩定性、四邊形不具有穩定性的本質。又通過木條釘成的四邊形框架和鋼條焊接的四邊形框架進行比較，明晰了穩定性與堅固性的區別；結合鏈式多邊形的了解，類推出其他多邊形都不具有穩定性。根據形狀相同、大小相等的三角形來分析判斷三邊長度相等，是運用三角形的穩定性來解決問題，又通過變化三角形三邊的長度引發學生想象，發展了學生的空間觀念。在最后一個小小的辯論環節，讓學生體會到三角形和其他多邊形在現實生活中不同的地方都分別有著廣泛的應用，通過“物盡其用，人盡其才”這句話進行總結與升華，使學生實現了從知識到能力、從能力到素養的提升。

三、課后感悟

上述以基于現實情境提出問題、基于支架的自主實踐、基于核心任務的合作探究、基于對話的批判反思為特點的課堂教學實踐，著力培養和發展學生的“四基” “四能”及高階思維能力，從而有效提升了學生的數學學科核心素養。

（一）在實踐探究、主動建構的過程中滲透數學基本思想，積累活動經驗

學生自主選擇不同的學習材料進行操作實踐，將拼成的三角形分別進行展示與比較，從而通過分類與集合、歸納與概括，驗證了三角形的穩定性。又通過“小軍用8厘米、5厘米、4厘米長的三根小棒擺了一個三角形，如果我們要再擺一個形狀和大小都和小軍擺的完全相同的三角形，那么我們對三根小棒的長度有什么要求？”用這樣一道練習題及其變式題，讓學生進行思考與判斷，這既是對三角形的穩定性的進一步理解與應用，又培養了學生的想象力與推理能力。在探究三角形穩定性的一系列活動中，學生帶著問題與思考去操作實踐，在操作與實踐中主動思考，逐步深刻理解了知識本質，積累了探究與思考的活動經驗，同時也滲透了數學思想方法。

（二）在經歷發現與提出問題、分析與解決問題的過程中提升“四能”水平

課的開始在創設現實情境中讓學生進行動手實踐，引發學生對問題“三角形的穩定性”的思考；緊接著通過自主探究，對“什么是三角形的穩定性”進行舉例分析、質疑反思；然后利用多樣化的操作材料，通過動手操作、合作交流來驗證三角形穩定性的結論是正確的；最后提問“四邊形也具有穩定性嗎？”讓學生在操作與比較、想象與辯論的過程中深刻理解三角形的穩定性、四邊形不具有穩定性的本質。整個探究學習過程緊緊圍繞“什么是三角形的穩定性”這個核心主題，讓學生充分且完整地經歷了發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。在探究過程中，以情境為源泉，以問題為紐帶，以思考為主線，引領學生主動思考、合作交流、自主建構，促進了學生“四能”水平的提升。

（三）在批判性思考、協作對話的過程中深度理解本質，發展高階思維能力

發展高階思維能力是培養學生關鍵能力的核心，也是發展學生數學核心素養的重要組成部分。深度理解與分析、深度批判與建構、深度遷移與創造是高階思維能力的重要特征。教師基于PBL的數學教學特性，從現實的生活原型出發，聯系具體的教學內容，創設了為保護幼苗怎樣用枝條扎籬笆更結實的問題情境。學生在真實情境中積極動手實踐，從而引發了對三角形穩定性的思考。這時，學生對于三角形的穩定性只是一個膚淺的感知，教師通過“三角形的穩定性是什么”這一問題引領學生主動去尋找答案，并讓學生通過一道選擇題進一步分析，并與自己的理解進行比較。同時，教師提問質疑，引導學生進行批判性思考。最后，學生通過操作三角形與四邊形木條框架、木條釘成的四邊形框架和鋼條焊接的四邊形框架，在操作的過程中有了深刻的體驗，在不同角度的對比中有了深入的辨析，從而促進了對三角形穩定性的本質的深度理解，同時遷移類推出其他多邊形都不具有穩定性，并且在辯論中聯系生活實際，切實感受到三角形和多邊形的用途，將“物盡其用，人盡其才”的道理銘記于心。在深刻理解三角形穩定性的過程中，教師以問題促進學生的批判性思考，加強了師生、生生之間的深度對話交流，以具有高階思維導向的挑戰性任務進一步拓展了學生的思維，促進了學生對三角形的深度認識與建構。