小學高年級數學教學中培養學生合情推理能力措施

□南京市江寧區東善橋中心小學 高敏

素質化教育不斷深入的同時對小學數學教學提出了新的要求，以合情推理能力為代表的數學綜合素養培養正受到數學教學工作者們的廣泛重視。合情推理的概念源于數學教育家波利亞，在他的觀念中：“數學是一門系統的演繹學科”“數學定理的產生是數學家進行創造性工作的結果，這個創造性的工作最初源于一個猜想”，而圍繞著這個猜想展開的合情推理無疑會促成發明、創造的實現。所以說，在數學課堂教學中培養學生的合情推理能力極具現實意義，為了切實提升學生的創新、創造能力，以下將在充分認知合情推理能力培養必要性的基礎上，分析合情推理能力的概念及其具體作用，然后再以此為依據提出相應的能力培養策略。

一、培養高年級數學學生合情推理能力的必要性分析

在小學高年級數學教學中培養學生的合情推理能力是貫徹素質化教育的必然要求，推理思維是數學的基本思維方式，這種思維方式不僅能在數學中得到應用，還可以在日常生活的方方面面中得到體現。關于合情推理能力的培養，《義務教育數學課程標準》指出要通過觀察、歸納、類比等方法引導學生發展合情推理能力。另外，學生還要在長期學習中形成理性思維，能在邏輯清晰的前提下，提出問題、推理論證，最終解決問題。

除了素質化教育的硬性要求以外，小學階段合情推理能力培養的需求也是不同忽視的內容。結合相關的數學研究文獻與數學教育實情來看，我國對合情推理的研究和教育主要集中于中學階段，小學階段的合情推理教育研究則相對較少。究其原因，可以認識到這種狀況的存在與不同學段的教學內容有關。以小學階段的學習來說，學生接觸的知識內容只有少部分涉及猜測、推導，所以教師對合情推理的教學相對較少，即使有也呈現零散、不成體系的狀態。不過需要注意的是，小學階段正是合情推理能力發展的關鍵時期，這不僅是因為小學高年級學生需要提前適應初中嚴謹的證明知識，更是因為小學高年級學生的思維形式正處于直觀轉抽象的過程。這個年齡段的學生普遍存在思維水平不高的特點，所以在思考問題時習慣從直觀思維的角度出發，這樣也導致學生在理解數知識的時候不得法，不能準確把握住知識間的關聯。相應地，這個年齡段的學生充滿想象力，數學思維的可塑性極強，所以教師要把握好這段時期培養學生的推理能力，引導學生提出數學猜想，用合理的思維方式進行思考，逐步的鍛煉學生的合情推理能力。

二、小學數學合情推理能力概述及其意義

（一）小學數學合情推理能力的含義

厘清合情推理概念是培養合情推理的基礎前提，簡單地說，合情推理就是從既有事實出發，憑借自身的經驗或直覺提出猜想，然后再經過歸納、類比等推理手段推斷結果，最終明確思路或確定結論。其中歸納和類比手法的推理過程存在一定的差異，即歸納的方式是從大量的案例中得到一般性的認知，推理方法是從特殊到一般的方法；類比推理則是對相似的案例進行推理，推理的過程是從特殊到特殊的方法，所以類比推理的應用建立在兩者相似的前提下，如此方能通過一類事物的性質推理另一類事物。

數學合情推理能力是一個更狹義的概念，準確地來說是一種心理特征，即順利完成合情推理活動的心理條件。學生從自己已經學習過的知識、定理出發，根據自身學習經驗和判斷直覺，歷經猜想、歸納、推理等活動，對某些結論進行合乎情理的推斷。小學數學合情推理能力則是細化到小學階段，學生依靠小學階段學習的知識、積攢的經驗，通過猜想推理等思維過程，進行合情推斷時表現出的心理特征。

（二）培養學生合情推理能力的現實意義

合情推理能力的培養過程中，學生的數學綜合素養也會得到相應的提升，以下將對學生具體的發展進行分析。

1.數學觀察能力提升

觀察是人類認識世界的基本手段，學生觀察能力的好壞會在很大程度上影響最終的學習效果。過去的教育理念對觀察的重要性認知不到位，認為觀察只能對事物產生感性的印象，但事實上很多數學的性質研究都是從觀察開始，若是不能進行合理的觀察，人們也就無從得知這些數的性質。數學觀察能力指的是有計劃、有目的地對數字和數學關系式進行觀察的“數學感知能力”。學生在合情推理的過程中，需要廣泛觀察推理對象，具體觀察中要做到觀察目的明確、具備相應基礎知識、觀察方法得當，如此方能保證觀察的有序性。經過持續的合情推理培養以后，學生對基礎知識的理解、觀察方法的把握也會得到顯著的改善。

2.歸納和類比推理能力優化

歸納推理和類比推理是合情推理中最常見的兩種情況，合理地利用歸納和類比可以有效地改善數學推理活動。小學數學學習中的歸納推理同樣需要經歷從特殊事實到一般原理的過程，學生需要對數學事實進行一定的觀察和分析后，才能從中歸納相應的結論。由此可見，這樣的歸納推理屬于不完全歸納推理，但是學生也能從中窺見真理和端倪。

類比的應用建立在數學研究對象具有相似性的基礎上，學生在應用類比推理的過程中，往往需要用已經學習到的數學知識探測新概念、新法則，所以這項過程更像是知識和方法的遷移應用。妥善的使用類比推理方法，可以產生舉一反三的學習效果。

3.數學猜想能力的改善

提出猜想是解決問題、實現創新的第一步，在合情推理的研究中，人們普遍認為猜想是合情推理的重要內容，甚至有人將合情推理與猜想等同起來。當然，合情推理必然要圍繞猜想進行推論和證明，所以想要提升合情推理的能力，就必須做到合理猜想。

在合情推理的發展過程中，學生的數學猜想能力也會持續改善，這種改善不僅體現在提出數學猜想方面，還表現在檢驗、修正數學猜想這兩方面。以提出猜想的改善來說，學生的猜想可能呈現有理有據或毫無根據的狀態，其中有理有據地猜想屬于可貴、可靠的猜想，毫無根據的猜想則完全相反，學生應具備大膽猜想的能力，而不是無端猜想的能力。合情推理是一個系統的過程，學生在完成觀察與思考后，猜想的合理性也會自然改善。正如植樹問題的學習中，“在一千米長的道路一側植樹，每棵樹距離5米，共需要載多少棵樹”這是學生就可以在簡單的計算以后，結合生活經驗說出自己的猜想“200棵、201棵、202棵……”。

完成初步的猜想后，學生就要對結論進行證實，確保猜想的基礎正確性，若是猜想沒有明顯的錯誤，就應加入有力的修正條件，以此提升猜想的可靠性。所以說，在合情推理能力的作用下，學生的猜想過程會變得更加規范、可靠。

4.數學思維表達能力清晰化

合情推理能力的發展能幫助學生更好地思考數學問題，經過系統的觀察、推論以后，學生的思考過程也會變得更加清晰，而這顯然有利于學生用數學語言表達自己的思維。當學生能快速、準確地表達自己的想法時，教師也能根據學生的思考進行有效指導，而這最終也會推動課堂教學效率的提升。

三、在小學高年級數學中培養學生合情猜想能力的具體措施

（一）教師及時轉變教學理念，強化對合情推理思想的滲透

合情推理思想的滲透是一項系統的工作，教師作為小學數學教學工作者的主導者，理應在教學理念方面做出轉變，用合理的教學方式鼓勵學生進行猜想，幫助學生從合情推理的過程中發展綜合素養。

傳統的數學課堂遵循著學習新知、復習鞏固的教學模式，不過有很多教師在這項教學模式中習慣忽視學生的主觀能動性，學生接觸知識的過程更像是灌輸，而不是主動得到。所以說，教師應嘗試對教學活動進行改善，在教學中加入更多有益于學生創造能力發展的部分，如合情推理能力的引導和練習。為了實現這項目標，教師要在正式授課以前深入挖掘教學資源，然后再根據學生的實際狀況，有機地結合實際教學與合情推理知識，讓學生自然而然地加入求證猜想和發現的學習。由于小學高年級的學生依然童心未泯，教師在具體實施教學的時候可以加入更多的趣味性因素，將課堂打造成富有探索意味的“實驗室”，促使學生在沉浸式的學習中實踐合情推理，實現知識的“再創造”。

以歸納推理方法的指導來說，由于學生的猜想驗證能力比較弱，教師在日常教學中要注意培養學生提出猜想、驗證猜想的能力。正如圓錐體積公式的推導學習中，教師可以利用多媒體教學設備投用圓錐體圖形，讓學生觀察圓錐體的特點，學生經過觀察以后回答道“側面展開是一個扇形”“只有圓形的下底，所以從正上面看是一個圓”“從側面水平看是一個等腰三角形”等。完成圓錐體的觀察以后，教師可以再次展示等高、等底的圓柱體，讓學生重復觀察環節，尋找兩者的相似之處，這時就有學生提出“底面相同、高相同”等相同屬性；觀察完成后，教師詢問學生是否有關于圓錐和圓柱的思考，讓學生用書面或語言的形式表達出來。需要注意的是，學生的猜想可能存在謬誤，但是敢于猜想的精神值得肯定，所以教師要始終保持開放鼓勵的態度，讓學生合理地進行猜想。這時就有學生提出來“圓錐的側視圖看起來像是等腰三角形，圓柱的側視圖是一個長方形，按照側視圖的面積來看，圓錐和圓柱存在數量關系，圓柱的側面積是圓錐的兩倍，所以體積也可能是圓錐的兩倍”；猜想完成以后，教師可以將學生的猜想羅列在黑板上，并開始用實際行動驗證猜想的正確性。為了思考學生猜想的正確性，教師首先選擇舉正例的形式，即登高的長方形和正方形的側視圖面積比等于兩者的體積比。不過緊接著教師又利用實驗的方式進行驗證，讓學生用圓錐容器盛沙子，然后再倒進等底同高的圓柱中，最后發現圓柱的容量是圓錐的三倍。經過證明以后，學生發現圓錐的體積計算比較特殊，不能采用對比側面積的方式得出與圓柱的正確關系。經過這項教學以后，學生認識到合情推理有助于幫助深度理解知識，辨析知識間的聯系和差異，從錯誤的猜想中明白要從多種角度進行分析，這樣才能更大限度地保證合情推理的有效性。

（二）在課堂教學的各個環節中引入合情推理

小學數學課堂教學內容可以分為知識講解和問題解決，教師可以在兩種教學中采用不同的方式發展學生合情推理能力。在知識講解課中，學生會接觸大量的概念和規則，而概念與規則形成的過程需要經歷大量的觀察、對比和歸納，才能全面概括同類事物的本質。由此可見，數學課堂中具有豐富的合情推理資源，教師要妥善地利用知識講解課的結匯，引導學生識別規律、初步猜想、驗證猜想。在這項教學過程中，教師可以引入類比推理和歸納推理的方法，正如學習了“商不變的規律”后，教師可以引導學生將這個知識點推至“分數和除法的關系”中，此時學生就會產生猜想“分數中是否也存在相同的性質”，如此便實現了應用屬性推理的過程。經過的例子驗證，學生發現這項猜想行得通。在此基礎上上，教師要求學生繼續增加猜想有關的條件，以此增加可靠性，最后學生在“相同的數”中排除了0，實現了歸納推理和類比推理的全過程。另外，在問題解決的教學中，教師可以引導學生從不同的角度觀察問題，充分利用歸納和類比的方式，將問題解決的過程簡單化。

（三）合理架構知識點，構建完整數學知識體系

合情推理需要堅實的數學基礎知識做支撐，教師在日常教學中既要引導學生自主思考和分析問題，還要持續優化學生的知識結構。為此，教師要加深對學生知識結構的了解，在日常教學中幫助學生組織數學結構，將原本散亂的數學知識打造成完整的系統。這樣做不僅能夯實數學基礎，還可以促進學生提升歸納、類比能力，因為構建數學知識系統本身就是歸納的過程，學生在甄別知識類型的同時也會對相同的知識做類比。在完整知識體系的作用下，學生將會融會貫通既有的知識，進而用合情推理的方式提出新問題，作出新思考。

（四）把握合情推理時機，確保合情推理培養的有效性

合情推理的培養是一項持續的工作，小學數學教師應將其貫穿于日常教學中，不過教師在培養學生合情推理能力的同時也要把握適度性原則，在恰當的時機與教學內容中展開合情推理培養，而不是生搬硬套地用于各項教學活動中。可貴的、可靠的猜想才是有意義的猜想，所以合情推理的培養要緊密圍繞教學目標進行，對能引發學生猜想的內容，教師應深入地講解，給學生創造自主思考、猜想驗證的機會。在不適宜合情推理的教學部分，教師只需一筆帶過，過多贅述反而浪費教學時間。就小學階段的教學內容來看，合情推理的主要對象還是集中于數與代數、圖形與幾何的教學中。

四、結語

在小學高年級數學教學中培養學生合情推理能力的重要性不言而喻，小學數學教師應在準確認知合情推理的基礎上，不斷優化合培養方式，構建內容豐富的評價體系，持續關注學生合情推理能力的發展，讓學生在合情推理能力的支持下深度學習數學知識，發展創新、創造能力。