生長性教學：數學教學的智性實踐

沈永萬 （甘肅省慶陽市鎮原縣新城鎮沈咀小學）

“生長”這一術語原本是一個生物學、生態學的術語，表征著“生物由小到大的一個變化”。“教育是農業”已經得到廣泛認同。究其根本在于，農業往往遵循生物的成長節律，而不是像工業那樣將對象放置到一個固化流程中進行一統化、機械化的加工。生長性的數學教學，隱喻了學生數學學習之道，即對學生認知心理特質的尊崇，對數學學科本質關聯的遵奉，對學習規律的遵守。生長性的數學教學，是數學教學的一種智性實踐。

一、生長性數學：從“原始形態”走向“學術形態”

教材中的知識一般的而言是一種“學術形態”的知識。這種知識往往是被編者“壓縮”過的，它遮蔽了人類探索數學知識的“關鍵步子”和“艱辛歷程”。如果教師在教學中著眼于教材中的“學術形態”的知識，學生就會感到知識學習的枯燥、抽象、乏味。如果教師在教學中，對教材中“壓縮形態”的知識“解壓縮”，將“學術形態”的知識轉化為“教育形態”的知識，甚至轉化成“生命形態”的知識，學生能就感受、體驗到數學知識的魅力。將“學術形態”的數學知識轉化成“教育形態”或“生命形態”的數學知識，關鍵就是要從數學知識的“原始形態”開始，讓學生經歷數學的猜想、驗證、探究等的活動過程。這個過程就是一種數學化的過程，也就是將“原始形態”的數學知識抽象化、形式化、公理化，進而讓學生將“原始形態”的知識提升為“學術形態”的知識。

生長，在數學教學有三層含義：一是“數學知識是生長性的”；二是“學生的生命是生長性的”；三是“學習是生長性的”。生長性的數學教學，就是要實現數學、兒童、學習的同步生長、同構共生。從知識的“原始形態”走向“學術形態”，就意味著數學知識獲得一種生長。為此，教師在數學教學中要將數學知識充分地打開，引導學生充分地經歷，引導學生充分地感受、體驗。比如教學“用字母表示數”一課時（人教版五年級上冊），教師就要引導學生經歷人類探索用字母表示數的光輝歷程，從“文辭代數”到“縮略代數”、從“縮略代數”到“符號代數”，學生能感受、體驗到數學知識的生長。同時，只有當學生經歷了這一學習過程，學生才能真正地認識符號，認識“用字母表示數”的意義和價值，即“用字母表示數”不是簡單地“用字母代替數”，而是一種符號化過程。“字母”不僅可以表示未知數，還可以表示已知數；“字母”不僅可以表示特定的數，而且可以表示變化的數。引導學生從數學知識的原始形態開始，過渡、發展、提升到學術形態，有助于學生掌握數學知識的本質。在上述教學中，學生經歷了符號化的學習過程之后，就能積極主動地用字母來表示數、數量關系計算公式、運算規律等。

生長性的數學，揭示了數學知識的根本屬性，揭示了數學學科、數學科學的根本屬性，即“數學不是靜態的，而是動態的、發展的、可誤的”。這種“可誤主義”的數學生長觀，將數學知識不再看成“無可爭辯的真理集合”，而是看作一種嘗試的、創新的、動態的生長、生成過程。基于這樣的生長性的數學觀，教師在教學中就會引導學生探索，經歷數學知識的生成、生長、生發過程。

二、生長性數學：從“不平衡形態”走向“平衡形態”

生長性數學教學觀認為，數學是生長性的，兒童是生長性的。要讓生長性的數學教學取得實效，應當讓教學不斷地切入學生數學學習的“最近發展區”，進而讓學生經由“現實發展區”邁向“可能發展區”，讓學生的數學學習由“現實水平”邁向“可能水平”。為此，教師在生長性的數學教學中，不僅要遵循數學學科知識形成的規律，更要遵循學生的認知發展規律。實施生長性的數學教學，就是要讓學生的認知心理從“不平衡”走向“平衡”，進而又從“平衡”走向新的“不平衡”。在這個過程中，學生的認知心理獲得一種螺旋式的發展，學生的數學學習生命也獲得一種螺旋式的發展！

促進學生的認知心理在生長性的數學教學中獲得發展，首先應當尊崇學生的天性，要深度研究學生的認知心理。一般來說，小學生的認知心理是以直觀動作、具體形象思維為主，向抽象邏輯發展的一個過程。如果教師在教學中不遵循以學生的認知心理發展，將會培育出“年紀輕輕的博士”和“老態龍鐘的兒童”（盧梭語）。研究學生的認知心理，具體來說，有兩個層面：一是學生的普遍性的年齡、心理特征等；二是學生的個體化的具體學情等。首先應當順應學生的天性。在生長性語文教學中，教師不僅要研究語文學科知識，更要研究學生的學習心理，研究學生的語文學習心理。一般來說有兩個層面：其一是研究學生語文學習的普遍的年齡、心理特征；其二是研究學生語文學習的具體的學情。比如教學“平行四邊形的面積”（人教版五年級上冊）這一部分內容，很多學生由于在日常生活中看到易變形的平行四邊形被推拉成長方形，或者長方形被推拉成平行四邊形，因而就認為“平行四邊形的面積等于底乘斜邊”。為了讓學生從這樣的迷思中走出來，筆者在教學中沒有直接對學生的認知錯誤進行糾錯，而是讓學生借助于“方格紙”這一學具，對自我的猜想進行驗證。在生長性的數學學習中，學生完成了自我否定，深刻認識到“平行四邊形的面積之所以不能用底（長）乘斜邊（寬），是因為在推拉的過程中面積發生了變化”。在此基礎上，學生不斷地提出新的假設，并借助于方格紙對平行四邊形進行“剪、拼、移”，猜想并驗證了“平行四邊形的面積等于底乘高”的計算方法。通過生長性的數學教學，促成了學生數學認知的自我轉變。

學生的認知心理是學生生長性學習的基石。作為教師，在生長性數學教學中，不能無視學生的認知心理，更不能僭越學生的認知心理。而應當對接學生認知的常態、認知的原態、認知動態等。在了解、把握學生認知心理基礎上，以學生的現有認知心理為前提，促成學生認知心理的積極轉變。

三、生長性學習：從“低階形態”走向“高階形態”

數學是生長性的，學生的認知心理是生長性的，學生的學習方式等也是生長性的。生長性的數學教學，要著力于引導學生的學習進階，讓學生的數學學習從“低階”邁向“高階”。低階的數學學習，往往就是知識、理解和應用，而高階認知則包括分析、綜合與評價等。在生長性數學教學中，教師要促成學生的學習轉變，即從傳統的認知性學習轉向高階的分析性、綜合性和評價性的學習。這樣的一種學習方式，不僅僅依靠學生的認知，還依靠學生的元認知能力的發展。

生長性的教育學是一種教育哲學。在生長性教學中，教師要為學生的學習從低階邁向高階搭建好階梯。要通過引導學生的學習，開啟學生的智性、悟性、靈性，促進了學生的學習在“學的過程”中獲得生長。作為教師，要引導學生自主學、自能學、自奮學，引導學生對自我的學習進行反思、審視，讓學生對自我的學習進行總結、評價等，這就是一種高階的學習。高階的學習，就是要讓教師從“教”走向“不教”，讓學生從“導學”走向“自學”。比如教學“多邊形的面積”（人教版五年級上冊）之后，學生對這一單元的內容進行主動地梳理、歸納、小結。他們積極地內省、自問，諸如“多邊形面積的面積公式是怎樣推導出來的”“這些面積公式中哪些是基礎公式，哪些是導出公式”“從公式的推導過程來看，哪一個公式發揮的作用比較大”“怎樣整理這些公式的推導過程”，等等。正是在對已有知識進行分析、綜合與評價的過程中，學生的認知從低階走向了高階，因而學生的數學學習就從膚淺走向了深刻。

生長性的數學學習，要求教師在教學中要適度“放手”，而不能“牽”得太多。生長性的教學以“生長”為起點、以“生長”為路徑、以“生長”為策略。教學中，教師把握好數學知識生長的序，把握好學生學習心理的序，把握好學生數學學習的序，引導學生認知、創造，促進學生數學學習的不斷生長。“生長”對于學生的數學學習來說，不僅僅是一種學習形態，更應當是一種自覺的學習價值追求。