從“兩位數(shù)相乘”回到“乘法的意義”*
——例談小學(xué)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)的重要性

趙曉燕

蘇教版三下第一單元是“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，該內(nèi)容是學(xué)生繼乘法意義、表內(nèi)乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)學(xué)習(xí)后再一次認(rèn)識(shí)乘法，也是學(xué)生進(jìn)一步解決任意兩數(shù)相乘問(wèn)題，通往代數(shù)領(lǐng)域多項(xiàng)式相乘的關(guān)鍵樞紐。在實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生掌握標(biāo)準(zhǔn)化算法及其算理是主要教學(xué)目標(biāo)之一。教師通常都非常重視學(xué)生對(duì)算理的理解，但仍有不少學(xué)生會(huì)列豎式計(jì)算、能得到正確結(jié)果，卻說(shuō)不清楚為何這樣做。為了幫助教師從不同角度透視學(xué)生對(duì)算理的掌握情況，形成改進(jìn)教學(xué)的建議，筆者曾設(shè)計(jì)如下兩道課堂評(píng)價(jià)題目。

【測(cè)試題一：分解乘法問(wèn)題】

該題根據(jù)教材第5頁(yè)例4的進(jìn)位乘法“24×53”改編。請(qǐng)學(xué)生填空，將“24×53”分解為順序不同的“四個(gè)乘法算式之和”。第一組四個(gè)乘法算式“3×4和3×20和____×4和____×20”按照“53為第二個(gè)乘數(shù)”的豎式計(jì)算順序排列；第二組“4×____和4×____和____×3和20×50”是調(diào)換乘數(shù)位置進(jìn)行豎式驗(yàn)算的順序；第三組“20×50和20×____和4×50和____×3”則“從左向右”考慮，先算兩個(gè)乘數(shù)“十位上的數(shù)”的乘積。在實(shí)際教學(xué)中，教師先講解例4，進(jìn)而規(guī)范算法。完成“想想做做”的練習(xí)后，才使用“分解乘法問(wèn)題”檢測(cè)學(xué)生。

從“評(píng)”的角度出發(fā)，該題測(cè)試時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了一定的豎式計(jì)算、驗(yàn)算兩位數(shù)相乘的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“24×53”解決過(guò)程的記憶尤為清晰深刻。所以題目明確“無(wú)需計(jì)算結(jié)果”，進(jìn)而將考察重點(diǎn)聚焦于學(xué)生對(duì)這個(gè)乘法問(wèn)題的理解。面對(duì)適當(dāng)陌生的測(cè)試題，學(xué)生僅靠機(jī)械記憶就能正確作答的可能性降低，題目因而更有利于揭示學(xué)生理解層面的信息。此外，測(cè)試安排在單元中段，如若學(xué)生對(duì)算理的理解存在不足，也便于教師針對(duì)性地調(diào)整教學(xué)。

從“學(xué)”的角度出發(fā)，“分解乘法問(wèn)題”能夠促進(jìn)學(xué)生思考，幫助他們從另一個(gè)層面理解并回答“為什么計(jì)算‘53×24’能夠驗(yàn)證‘24×53’？”“為什么兩位數(shù)的乘積可能是四位數(shù)？”“為什么兩位數(shù)‘乘積’的個(gè)位數(shù)就等于兩乘數(shù)的個(gè)位數(shù)相乘之積的個(gè)位數(shù)？”“為什么四個(gè)乘法算式可以交換順序”等一系列問(wèn)題。此外，它還將為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)運(yùn)算“（a+b）×（c+d）”奠定基礎(chǔ)。

【測(cè)試題二：不用豎式解決乘法問(wèn)題】

這道題請(qǐng)學(xué)生解決“59×62”這個(gè)問(wèn)題，但明確要求“不能使用豎式計(jì)算的方法”。兩個(gè)乘數(shù)分別接近整十?dāng)?shù)，為學(xué)生借助較為簡(jiǎn)單的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)“60×62”或“59×60”、聯(lián)系乘法意義靈活計(jì)算提供機(jī)會(huì)。在實(shí)際教學(xué)中，該測(cè)試題在單元總復(fù)習(xí)階段使用。

從“評(píng)”的角度出發(fā)，該題測(cè)試時(shí)學(xué)生已在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)集中練習(xí)豎式計(jì)算，多數(shù)學(xué)生能較為熟練地列豎式得結(jié)果。但很可能發(fā)生的情況是，學(xué)生一看到乘法問(wèn)題就列豎式，下筆前完全不考慮題目的特點(diǎn)以及算法的選擇。事實(shí)上，如果學(xué)生在不允許使用豎式計(jì)算的情況下束手無(wú)策，即使他能熟練無(wú)誤地列豎式得結(jié)果，對(duì)兩位數(shù)相乘問(wèn)題及標(biāo)準(zhǔn)化算法的認(rèn)識(shí)也不深刻。

從“學(xué)”的角度出發(fā)，在以豎式計(jì)算為主的單元“反其道行之”，引導(dǎo)并鼓勵(lì)學(xué)生跳出以標(biāo)準(zhǔn)化算法解題的主導(dǎo)思維，將視線重新聚焦于“乘法的意義”。這樣做有助于提醒學(xué)生挖掘運(yùn)算信息，提高解題的靈活性，同時(shí)能促使學(xué)生從更大的范圍回頭審視標(biāo)準(zhǔn)化算法，深刻體會(huì)其作為通法通則的普遍意義，以及它將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列簡(jiǎn)單子問(wèn)題的核心思想。

【學(xué)生測(cè)試表現(xiàn)與教師反饋】

來(lái)自九所學(xué)校的二十余位教師試用了這些測(cè)試題。針對(duì)測(cè)試題“分解乘法問(wèn)題”，教師的典型反饋大致可分為三類，舉例如下。

教師A：班上大多數(shù)學(xué)生能夠完成，部分學(xué)生在第三組出錯(cuò)。這道題實(shí)質(zhì)上就是在考察兩位數(shù)相乘的意義，或者說(shuō)是計(jì)算過(guò)程中每個(gè)步驟的算理。

教師B：對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，分解“24×53”比計(jì)算更難，通過(guò)這道題能清楚地看出不同學(xué)生理解上的差異。平時(shí)教學(xué)我只引導(dǎo)他們分解為“24×50”“24×3”兩部分的和，學(xué)生沒(méi)有見(jiàn)過(guò)類似的題目，只有幾個(gè)學(xué)生能進(jìn)一步細(xì)化分解。我個(gè)人很受啟發(fā)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也很有思考價(jià)值。

教師C：這道題沒(méi)幾個(gè)人做對(duì)。題目把“24×53”分解成四道算式，且順序各異。這與我平時(shí)教的順序不同，會(huì)干擾正常教學(xué)，影響學(xué)生記憶，導(dǎo)致混亂。還涉及四年級(jí)才學(xué)的乘法分配律，現(xiàn)在讓學(xué)生回答超范圍了。

針對(duì)測(cè)試題“不用豎式解決乘法問(wèn)題”，教師的回答也大致分為三類。

教師D：學(xué)生能夠用乘法的意義（指將“59×62”看作“幾個(gè)幾加上或減去幾個(gè)幾”）、鋪地錦、分解乘法（指將“59×62”分解為四個(gè)乘法算式之和）等方法中的至少一種解題，有些綜合能力強(qiáng)的學(xué)生能給出兩種解法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是開(kāi)放靈活的，不是給學(xué)生規(guī)定一種方法或一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

教師E：學(xué)生遇到此類問(wèn)題會(huì)習(xí)慣性地列豎式。看到這個(gè)題目，學(xué)生根本就不知道從何處下手。個(gè)別學(xué)生嘗試將問(wèn)題分解，還有少部分學(xué)生認(rèn)為不用豎式計(jì)算就是要估算。這反映出學(xué)生的思維定勢(shì)以及一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生積極思考。

教師F：本單元就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)列豎式計(jì)算，他們能掌握就很好。不需要用高年級(jí)的乘法分配律解題。

針對(duì)“分解乘法問(wèn)題”這道測(cè)試題，學(xué)生表現(xiàn)較好的班級(jí)（類似教師A的描述）只有少數(shù)幾個(gè)。絕大部分班級(jí)的學(xué)生在理解題意或分解算式時(shí)遇到困難。典型錯(cuò)誤包括能正確列出豎式完成計(jì)算但不會(huì)分解，或者分解算式時(shí)未能全部體現(xiàn)十位上數(shù)字隱含的位值信息。類似地，當(dāng)學(xué)生“不用豎式解決乘法問(wèn)題”時(shí)，能夠重新回到乘法意義上，或者給出其他“非豎式形態(tài)”解法的學(xué)生并不多。很多學(xué)生更是直接呈現(xiàn)出與豎式計(jì)算算理緊密相關(guān)的誤解或迷思。在此情況下，期待學(xué)生能夠自然合理地根據(jù)問(wèn)題特征選擇算法，就成了更遙遠(yuǎn)的目標(biāo)。除了學(xué)生的測(cè)試表現(xiàn)以外，不同教師對(duì)上述兩題迥異的態(tài)度也值得關(guān)注。這不僅隱含了教師對(duì)乘法運(yùn)算本質(zhì)的理解，也折射出其教學(xué)理念和教學(xué)過(guò)程。例如，乘法交換律和乘法對(duì)加法的分配律與乘法運(yùn)算本質(zhì)上是等價(jià)的，它們就是乘法運(yùn)算的算理，而并不是依附于乘法運(yùn)算的某種性質(zhì)。相應(yīng)地，運(yùn)算律的滲透無(wú)需也不應(yīng)該等待至四年級(jí)再開(kāi)始。

【評(píng)價(jià)和教學(xué)反思】

荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在其《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》一書(shū)中提到，“在很多學(xué)習(xí)過(guò)程，尤其是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有一種典型現(xiàn)象：那些深刻洞察的原始出處被阻斷，而算法化和自動(dòng)化的過(guò)程更是讓人們難以回到本源……依我看，在算法化和自動(dòng)化的學(xué)習(xí)過(guò)程中，甚至是當(dāng)其成功建立之后，都必須一次又一次地回根溯源。”那么，就“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)而言，本源在何處？華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。”那么，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學(xué)習(xí)“退”到“兩位數(shù)乘一位數(shù)”就“足夠”了嗎？“最原始而不失重要性的地方”又在哪里？事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)化算法及其算理的教學(xué)必須反復(fù)回溯到對(duì)運(yùn)算概念本身的理解。具體地，“兩位數(shù)相乘”的教學(xué)必須多次回歸到乘法計(jì)算教學(xué)序列的起點(diǎn)型核心知識(shí)——“乘法的意義”。

作為整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的生長(zhǎng)點(diǎn)，起點(diǎn)型核心知識(shí)具有獨(dú)特的教育教學(xué)價(jià)值。重視起點(diǎn)型核心知識(shí)的教學(xué)可以具體著眼于兩個(gè)方面：一是長(zhǎng)程設(shè)計(jì)、慎重初教，在首次教學(xué)起點(diǎn)型核心知識(shí)時(shí)幫助學(xué)生建立起那些能夠不斷遷移到后續(xù)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)模型或思想；二是瞻前顧后、多次回歸，在后續(xù)相關(guān)教學(xué)中不斷回溯本源，幫助學(xué)生深刻理解起點(diǎn)型核心知識(shí)，建構(gòu)立足起點(diǎn)的知識(shí)體系。以小學(xué)階段正整數(shù)乘法的計(jì)算教學(xué)為例，教學(xué)“乘法的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，應(yīng)盡早且頻繁呈現(xiàn)更能體現(xiàn)乘法本質(zhì)、更易說(shuō)明乘法運(yùn)算律的行列模型（甚至是面積模型），還須加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾加（減）幾個(gè)幾等于幾個(gè)幾”的理解和掌握。在后續(xù)“表內(nèi)乘法”“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生利用持續(xù)演化的行列模型解釋說(shuō)明，借助自然數(shù)的位值計(jì)數(shù)強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“幾個(gè)幾就是幾個(gè)幾加（減）幾個(gè)幾”的認(rèn)識(shí)，多次頻繁地回歸到對(duì)“乘法的意義”的理解。

綜上，本文從兩道三年級(jí)“兩位數(shù)相乘”的課堂評(píng)價(jià)題目談起，詳細(xì)介紹其設(shè)計(jì)意圖、學(xué)生的測(cè)試表現(xiàn)和不同教師對(duì)測(cè)試題的看法，一方面，為教師檢視學(xué)生對(duì)兩位數(shù)相乘算理的理解提供評(píng)價(jià)工具；另一方面，為教師反思正整數(shù)乘法教學(xué)的長(zhǎng)程設(shè)計(jì)提供契機(jī)；更重要的，是揭示起點(diǎn)型核心知識(shí)教育教學(xué)的重要意義，希望有更多教師重視“起點(diǎn)”、回到“起點(diǎn)”。