注重操作實踐 助力思維發展
——小學數學教學中學生抽象思維能力的培養

福建省仙游縣大濟阮里小學 黃麗芳

眾所周知，“眼過千遍不如動手一遍”。在課堂中，教師常根據教學內容的需要給出時間讓學生操作。有效的動手操作能促進學生對雙基的理解、能力的提高、經驗的積累，并積極推動學生思維向縱深處發展。然而，實際教學中卻普遍存在操作效率低下、操作僅流于形式的現象。那么，如何開展操作活動才能使教學更有效果呢？

一、運用學具感知，開啟思維之門

數學是一門抽象性、概括性和邏輯性很強的學科，而小學生的思維特點是具象性的，教學中要根據學生的思維特點與學科特點之間的關系，合理選用學具，在適當的時間組織動手操作，幫助他們形象化感知和理解抽象的數學概念，架起學習與思維的橋梁，打開數學思維的大門。

（一）自主開發學具，體現教學的實用性原則

動手操作是直觀的，而思維活動是抽象的。教師需要根據學生各年齡段的特點，利用相關素材，自主開發學具，調動學生積極參與的動力。在操作過程中，學生的注意力更容易集中，所以，教師要提供合理的學具，讓其對學習新知起到助推作用，對思維發展起到啟發作用。

如，在人教版小學數學二年級下冊“1000以內數的認識”的教學過程中，估算《三字經》文章字數這一環節，教師會循序漸進式逐步引導。首先讓學生對如何估算文章字數發表自己的看法，其次讓學生選擇自己喜歡的方法，先數再圈來估算，最后再給學生提供框型小工具，使之獨立操作完成該任務。學生通過應用教師自主開發的框型小工具來邊圈邊數，直觀地把數的大小和組成都一眼看出來，實現了規范圈圈、簡約數數、理解組成，能夠提高效率、激活思維，達到從“思維缺席”到“思維通透”的效果。

（二）學具選擇，體現思維發展層次性原則

不同思維程度的學生對學具的選擇也有所不同，有的學生適合將直觀的實物作為學具，有的學生喜歡半抽象的學具，還有的學生有一定的抽象能力，更喜歡有挑戰性的學具。教師在教學中要根據學生的思維特點為學生充分準備各種層次的學具。

如，在人教版小學數學三年級上冊“長方形和正方形的周長計算”中，教材是讓學生測量與折疊長方形和正方形樣式的紙片，驗證自己猜想中的長方形與正方形各自邊的特征。但單純利用紙片來操作，不能直觀地比較出兩個圖形邊的特點。所以教師可為學生提供邊是可拆卸的長方形模具（長、寬分別是7cm、5cm），鼓勵他們用自己喜歡的方式動手操作來探究長方形的周長。一部分學生通過測量四條邊的方法，列出算式為：7+5+7+5=24cm。一部分學生通過學具對折發現，長方形有兩條長度一樣的長和兩條一樣的寬，列出算式為：7×2+5×2=24cm；還有一部分學生把學具的邊拆卸下來擺拼，發現長方形是有兩組長加寬的和，列出算式為：（7+5）×2=24cm。最后，讓學生通過比較，歸納出最優的長方形周長的公式為：（長+寬）×2。在此之余，還可讓學生把各自手里長方形的邊拆下來，同桌兩人利用手中的學具進行組拼，發現兩個可以重疊的長方形的邊靠在一起可以組合成兩個一大（邊長為原來長方形的長）一小（邊長為原來長方形的寬）的正方形。根據該操作發現的規律，學生可以得出正方形周長的公式為：邊長×4。在這一系列的操作活動中，不同層次、水平的學生從拼接組合學具的過程中都能有所感悟。

二、明確操作目標，點燃思維之火

動手操作是學生圍繞數學問題而進行的一項極具引導性的活動。學生在與數學和諧相處的過程中，感受數學不斷“散發”的魅力，并自發性地欣賞數學魅力。在這個過程中，點燃學生的思維之火。

（一）明確教材意圖，規范操作助思維深入

對教材分析要把握縱橫結構，領會教材編排意圖，做到學一單元能見一片，這是對知識的解構拆分與理解，進而由內而外地創新重組與發展轉化。數的認識從一年級到六年級都有學習，呈螺旋上升趨勢。第一層次數級在不斷地擴充：從十以內數的認識，到百以內、千以內、萬以內、大數（億級）數的認識。第二層次數域也在不斷地拓展：整數、分數、小數、負數等的認識。教材編排上都是借助于具體直觀的教學具、生動現實的背景作為認識抽象數的依托。如，人教版一年級上冊“100以內數的認識”教學的操作前，教師用課件展示同桌合作要求：（1）抓一抓，小組內選一位同學，讓他用一只手抓一把珠子；（2）擺一擺，其他成員一起動手把抓到的珠子擺放在百格板上；（3）數一數，小組成員共同數出百格板上的珠子數。學生在明確的操作要求下，操作有趣、有序地展開。接下來，教師把各組的百格板都放在黑板上展示，要求全班同學用思維和肉眼操作，比較看看哪個小組擺得多且最容易看出具體數量。最終學生能夠發現，若小組將珠子擺放有序，就能一眼看出數量；若擺放混亂，則需要依次清點，過程較為復雜。學生在操作中理解了數的實際大小，培養了數感，并發現了百格板的秘密——一行就是1個10，體會以“十”為計數單位的好處。在兩次目標明確和有趣的操作活動中，學生的思維與操作緊密結合，有效地突破了教學的難點。

“數”的認識是不可具象的，其教學的核心重點是“數位”與“計數單位”。教學中更為關注學生的思維特點，加強直觀，為學生創造各種直觀的操作如數實物、畫圖等活動，使得學生心中形成“數位”以及“計數單位”的認知概念。例如，32.8表示3個10加上2個1加上8個0.1，可以讓學生在方格圖中去涂一涂，在數軸上去畫一畫，利用線段圖等操作理解數的意義。

（二）設置核心問題，明確操作現思維過程

在傳授知識的過程中，教師要憑借“有形”事物的直觀性來向學生生動地闡釋數學的抽象問題，將“無形”轉變成“有形”，通過科學分析，讓學生的思維能與數學更清晰和有效地對接。

例如，教學“周長的認識”時，周長的生長點是“周”還是“長”？從生活層面，學生知道一周的意思；從知識層面，學生懂得長度的內涵。因此，學生真正難以理解的是“不明白周長等同于長度”。“周”只是前提，“長”才是本質。教學中圍繞“什么是周長”這一核心問題，引導學生在學習單上描出學具“一周”的邊線，學具素材來源于學生的生活，有直邊的也有曲邊的，有規則的也有不規則的。通過描各種物體面、圖形的“邊線”初步感悟“周長”，再讓學生通過觀察相關動畫，從“描—說—指”切入，獲得感官認知，直觀理解“封閉圖形”“一周”，為“周長”概念的建立提供了充分的體驗與感知的機會。有了充分的感性認知及表象后，讓學生主動探索測量三維空間里物體的表面或者二維平面中圖形周長的方法。在解決各種圖形周長的活動過程中加強對“周長”這一概念的解構與重構，了解“周長”一方面強調的是封閉圖形，另一方面強調的是外圍一周的總長度，且其本質是“長度”。

三、注重學用結合，促進思維提升

在教學中結合數學和生活實踐，讓兩者融會貫通，用知識助力生活，用生活實踐檢驗數學理論。培養學生“親近”數學，讀懂數學，同時也培養了學生的推理能力，有利于促進學生思維的提高。

四、以操作過程增強學生的數學表達，發展學生思維能力

（一）“畫數學”

“畫數學”就是把抽象的概念用圖形、符號等直觀的手段表現出來。通過“畫數學”，學生能夠感知到更加豐富直觀的數學世界。如，在人教版小學數學三年級下冊“面積和面積單位”中，教師讓學生通過“找、摸、說”等感觀體驗，充分感知“面”的存在——“面”是有大小的。為了讓學生對“面積”有正確的認識，可布置學生課前去找些例子，如扣子、衣服上的格子、郵票、方格紙、橡皮擦等，并把這些東西“畫”下來，在課堂交流。估一估畫在學習單上圖形的面積，再用面積單位去量一量。學生在動手量之前先有個“估”的環節，“估”是靜態的操作，是學生在腦中擺面積單位，在腦中進行測量；再通過實際操作“擺”面積單位去驗證猜想，在動態的驗證過程中不但體會到了活動的“趣”，也積累了數學思維經驗。一靜一動兩次操作，構架學生對空間的思維結構，對學生今后的數學抽象觀起到訓練推動作用。

（二）“做”數學

為了在有限的課堂實踐中學習無限的知識，使得學生數學方面的思維能力扎實穩步向前發展，課外實踐成為點睛之筆。因而，教師可以通過給學生布置相關的實踐活動，讓他們在課外時間帶著思考進行更深入的探究與操作，此舉也能更有效地提升學生的思維能力。

例如“一億有多大”，很難用生活中的事物去度量，無法將一億具象化，從而導致學生認知中對一億的概念模糊不清。這就要利用生活經驗，利用可想象的素材作為直觀參照物進行科學的推理、體驗去獲得。引導學生對萬以內的數進行社會實踐調查，在探究中發展推理能力。可設計實踐報告單，讓學生帶著問題走入生活。在完成一系列的操作調查后知道1億張紙的高度約為1萬米，結合學生所熟知的當地最高樓房31層的高度去推想：1萬米有幾個這么高？結合世界上最高峰珠穆朗瑪峰的海拔繼續感受1萬米的高度是高不可攀的，學生在此基礎上進一步想象感知一億有多大就有理有據。從小的數據中去推算出相對大的數據的高度、重量，從“猜想—做（測量、稱重）—想（推算、估測）”這樣不斷循環的活動中，不斷糾正認知，不斷積累經驗，不斷推動學生去思考、分析、推理。

所謂的“操作”，是學生肢體與頭腦的協調配合活動，是將學生思維提升到更高水平的有效手段。“做”是外在的行為，是無聲的，是思維的顯性體現；而語言是有聲的，是思維的物質形式。只有把動與說有機地進行結合，通過語言把這個外在的行為過程規范化、結構化達到內化，才能更好地發揮操作的真正作用。學生用抽象規范的數學語言描述操作的過程，其實也是在描述獲取知識的思維過程，這是一項內部的智力活動的過程。例如，人教版“周長的認識”一課的教學中，學生經歷了先畫后說：畫出三角尺、量角器等學習用品一周的邊線后，學生描述自己畫的過程，先定一個點，并由此點繞其一周的邊線畫一圈，最終畫回原點，初步感知周長。通過找周長、摸一周、指周長、說周長等一系列體驗的活動，學生把周長這一抽象概念用具體的行動表達，去感觸，對周長有了感性的認知。教師再引導學生用自己的生活語言闡述自己的觀點，借助已有的認知、生活經驗不斷地重建認知，內化成新的知識結構。有了充分的認知之后，學生對“周長”的描述是：（1）周長是一周完整，沒有缺口，是頭尾相連圖形其長度的一周；（2）周長的邊有直有彎，還有不規則的，比如生活中的樹葉邊；（3）周長就是圖形外面邊線的一周長。學生在親自體驗這一整個活動的過程后才能感受什么叫作“封閉”，建構了“周長”概念的本質“長度”。“怎樣測量周長？”對于學生來說是一個新的挑戰，在測量過程中既鞏固了周長概念的建立，又強化了概念的認知。對于直邊圖形的周長測量大部分學生都能解決，教師關鍵是要引導他們介紹量了幾條邊。三角形的周長即三條邊相加，四邊形的周長即其四條邊的總和……因此，圖形一周所有邊長度的和也就是周長。在進行不規則圖形和曲邊圖形的周長測量時，則需要靠線或卷尺等進行轉化，這對三年級的學生很有挑戰性，更應該引導學生聯動手、口和腦，從多維度來解決問題，并鼓勵他們先大膽猜想、嘗試。有的學生認為可以用量角器去量曲邊圖形，認為量角器也是彎曲的，其他學生馬上質疑，一致認為量角器雖然也是半圓形，可它是測量角度大小的工具，并不能測量長度。那是否可以利用軟尺呢？操作前的一場辯論讓學生的思維火花得到碰撞，各種奇思妙想迸發出來。辯論帶來操作的方向，通過操作學生就會有經驗地提醒同學繞線測量要注意：對于曲邊圖形或是圖形不規則的情況，測量前需先用筆在起點處做個記號，線要與圖形邊無縫隙地貼近重合，等繞回起初標記的起點位置時要注意在線上再次做個標記，這樣這段線的長度就是該圖形的周長。學生描述的過程是腦中再次測量的過程，是思維提煉的過程。

總之，動手操作是為了適應學生用具體事物支撐思維活動的認知特點，動手的目的絕不是讓學生學會操作。數學是做出來的，應充分調動學生的操作興趣，在動手與操作的實踐過程中讓學生親歷知識的內化過程，使抽象的知識形象化、具體化，促進學生思維的發展，切實提高教學的效益。