基于數學深度學習的質疑能力培養進階*

張 陽

質疑是學生進行數學深度學習、形成高階思維的核心能力?，F行數學教學中，教師常忽視這一能力的培養，以筆者本學期所聽的56節數學課（涉及20所學校）為例，只有1節課有學生對教師的講解提出質疑，其余55節課都是教師對學生的回答發起質疑。質疑能力的缺失，直接影響學生對知識的理解內化與創新實踐。導致此現狀的原因有：一是以知識傳授為主的傳統教學觀，二是以考試成績作為評價標準的教學質量觀，三是教師自身對質疑能力的認知模糊。

一、理解質疑能力與深度學習

（一）質疑能力

質疑是學習者對已有觀點或結論，根據事實和已掌握的知識進行分析后，表示同意或否定，并給出依據[1]。質疑能力是在質疑的基礎上提出新問題、新觀點的能力。

影響學生質疑能力的要素主要有年齡、教師的教學風格、所處學習場域以及社會環境等。隨著學生年級進階，學生質疑的內容與水平不斷變化。從課堂表現來看，小學生的質疑最多，課堂最為活躍，但這些質疑常停留在知識的表層，并且對教師的學科權威幾乎無條件地服從。高中生的質疑邏輯性深刻性更強，有著很強的思辨特征。具體到數學學科，由于其具有高度抽象性，數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著不可替代的作用[2]，更需要數學教師加強對質疑能力的理解與實踐。

（二）深度學習

所謂深度學習，是在教師引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程[3]。深度學習的內涵特征有：一是教師是深度學習發生、發展的關鍵因素，只有教師對知識、學情、技術與教法的理解到位，才能實現深度教學，從而引發深度學習。二是教學內容需要具有挑戰性，簡單重復地機械訓練，只會導致學生厭學，教學內容需置于知識體系內整體設計，適度進行跨學科教學。前文提及的唯一一節有學生質疑的數學課，就是由綜合實踐活動學科的教師執教的。三是深度學習過程是學生具身體驗的過程，學生只有認為學習是自己必須做好的事情，才會產生強烈的學習動機，從而調動所有的能量進行體驗感知、實踐優化。

質疑能力是引發深度學習的關鍵能力，伴隨著深度學習全過程。知識的同化順應、創新實踐都與問題的發現、提出、分析、解決密不可分。如學習為什么將y=k-x-1（k≠0,x≠0）稱為反比例函數，部分學生依據經驗，認為反比例函數具有“y隨著x變大而變小”特征，當研究反比例函數y=-2x-1時，發現函數并不符合此特征。質疑一：反比例函數中的關系特征是什么？引發學生通過舊認知分析新問題，聯結已學知識“反比例概念”，即對于兩個實數m、n，若滿足mn=k（其中k為常數），則稱m、n為反比例關系。質疑二：這一錯誤認知的原因是什么？教師引導學生回溯概念來源。“反比例”概念是小學六年級知識，學習時一方面學生所學數域均為正數，另一方面概念是用不完全歸納的方法生成的 ，初中學過負數后，數域進行擴充，原有概念需要重新認知。以上兩個質疑，將學生對于反比例函數的學習引向深入。

二、基于深度學習的質疑能力培養進階

《普通高中物理課程標準（2017年版）》將質疑能力劃分為五種水平：水平一，知道質疑的重要性；水平二，具有質疑的意識；水平三，對已有的觀點、結論提出質疑；水平四，能基于證據對已有的觀點、結論提出質疑；水平五，能綜合使用理論和事實證據從多個視角審視檢驗結論，進而提出質疑或自己的見解。五種水平的進階將學習不斷引向深入。因此，在數學教學中，教師需要從五個層級培養學生質疑能力（如圖1），分別為質疑精神（理念）、教學理解（知識）、教法選擇（教法）、教學場域（環境）、質疑策略（方法），最終實現深度學習。

圖1 學生質疑能力培育五階

（一）培育學生的質疑精神

批判質疑必須置于科學精神之下。科學精神表現為理性思維、批判質疑、勇于探究三個方面，三者相互依存。勇于探究是批判質疑的前提，理性思維是批判質疑的保障。缺少探究讓批判質疑停留于事物的表面，難以提出指向事物本質的問題；缺少理性思維讓批判質疑失去客觀性?；诳茖W精神的數學批判質疑能力培養常以兩種形式進行，分別是數學史教育與緘默教育。

數學史教育主要包含數學家成長史、數學知識發現史、數學知識發明史、數學知識應用四個方面。數學家的成長經歷可以培養學生的質疑精神，如讓學生了解無理數的產生是許多數學學者突破教皇與舊勢力的桎梏，付出了生命的代價，最終確立了無理數在數系中的地位。用數學知識的發現史培養學生學習質疑方法，如歐拉在哥尼斯堡七橋問題中的質疑精神，開創了圖論的研究。牛頓對曲邊梯形的面積質疑，開創了微積分。笛卡爾對平面幾何的質疑，開創了解析幾何。通過數學知識的發明史培養學生發現質疑路徑。如對數的產生，隨著天文學的興起，大量煩瑣的運算消耗著科學家的生命，特別是巨大的指數運算，在此背景下納皮爾發明了對數，簡化了數學運算。了解數學知識的應用、體會數學質疑的價值，如在冥王星的發現、工程設計等方面，數學都有著廣泛應用。每一個數學內容在數學史上都經歷了無數科學家的質疑與創造。

緘默教育是一種潛移默化的教育方式。緘默知識具有高度個性化、非邏輯性特征，如教師有追問習慣，學生也會有追問習慣，教師對于解題依據的質疑，會潛移默化地影響學生對于自己解題嚴謹性的質疑。因此，教師在課堂上要有良好示范，解釋問題時給出充足的理由，用批判質疑的科學精神感染學生。

（二）運用大概念解讀知識

大概念是指向學科核心內容和教學核心任務、反映學科本質、能將學科關鍵思想和相關內容聯系起來的關鍵的、特殊的概念。大概念觀的教學是從具體問題到高度抽象的數學知識，再應用抽象的數學知識解決具體問題，其中抽象數學知識是教學的核心環節[4]。在教學中，大概念觀的知識理解需略高于學生的認知水平，使學習具有挑戰性，讓深度學習成為可能。因此，教師需要大概念觀的教學理解。

大概念具有整合功能。具體到學科大概念，常指數學主題與數學思想。數學主題方面，在大概念的統領下，數學基礎教學內容可以歸入相應主題。小學與初中數學學習內容由四個主題構成，分別是數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。高中數學必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動，選擇性必修課程包括四個主題，分別是函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動。數學思想方面，包含學科思想類與跨學科思想類，前者有數形結合、分類討論、等價轉化、函數與方程，后者有特殊到一般、類比與聯想、猜想與證明、歸納與演繹等。大概念教學觀可以幫助師生探尋知識的來龍去脈，理解知識是何、為何、如何、若何、由何。由此才能開展對于知識研究過程的批判與質疑。

運用大概念觀對教學內容進行知識解讀，有兩方面的意圖：一是精簡所學知識，將知識置于主題中，形成體系。如高中數學共分為四個主題，函數、代數與幾何、統計與概率、活動與實踐。在教學中需要將所學內容自覺置于核心內容下，減少碎片化知識學習。二是加強知識內部邏輯關聯，強調由小部分核心知識推導其余知識，從而更加注重知識間的聯結。如部分高中生認為初中三角函數并非函數，原因是初中三角函數以定義方法給出（在直角三角形中，），教師在教學中需要抓住核心概念“函數”解析（角與比值呈函數對應關系），將三角函數與函數進行聯結。

（三）設計探究本原問題群

哲學中的本原指構成世界基本、最初的元素或世界的來源和存在依據，前者指構成要素，是物質或概念，后者是原理或公理。數學作為抽象符號化的知識，其本原是定義規則等原始的基礎知識，以及公理定理等初始的基本思想與方法。教學設計時教師組織辨析、對比、交流、展示等，可以通過追問的方式，暴露學生的基礎知識與基本思想方法，促進學生探究本原，實現深度學習。

探究本原的追問設計意在對一些結論性的知識通過進一步的追問，揭示其更本質的知識。探究本原的追問設計可以由設問、追問、尋問、自問四個環節構成。設問是在情境中設置數學問題，起到激發學生學習動機，引導學生數學探究的作用；追問發生在學生對問題進行分析解決之后，教師幫助學生剖析問題解決過程，梳理解題邏輯，將緘默知識顯性化，實現從技能到能力的轉化；尋問發生在學生獨立解決類似問題時，是知識內化過程，此時學生要獨立思考、獨立判斷、大膽嘗試，多角度、辯證地分析問題，積極尋求有效的問題解決方法；自問是知識結構化后再創造過程，需要學生擁有良好自我感知能力與自問引導能力。

（四）營造民主的教學場域

教學場域是特定的教學環境，是教和學的主體心境，是個體間不斷傳遞信息流的時空，是教師教學能與學生學習能所輻射的時空，是一種群體意識圈[5]。教學場域的在場者包括教師和學生兩個群體，自主性體現在兩者的觀念和行為中，場域的法則也主要由兩者進行規約共存，其中教師的主導最為重要。學生提出質疑的前提是具有敢于質疑的勇氣，只有在民主平等的教學環境中，學生才有可能說出自己的困惑，提出自己的疑問。教師的過度權威，往往導致學生選擇盲目順從。營造民主的教學場域是讓學生學會質疑的基礎。

民主平等的教學場域，需要處理好教學場域內的個體間關系，主要有三個方面：

一是教師與學生的人格平等、學術爭鳴關系。教學內容對于學生是新知識，對于教師是舊知識，教師認為理所當然的想法，學生可能認為不可思議。如復數導入時，學生會質疑，既然x2=-1已經無實數解了，為什么還要定義虛數單位i，特別是在高中的教學中復數僅有法則而沒有應用，學生感覺這純粹是一種機械定義。這時，教師可以通過類比對數，可以從代數體系的角度，給予學生知識應用的預期作用，如復數可以解決旋轉題，可以解決向量問題等。

二是促進學生之間的互助和諧關系。在同伴互助的前提下，適度公平競爭，教師可以通過組織教學活動，讓學生在活動中體驗團隊的重要性。如數學建模活動“建立統計模型進行預測”，需要經歷五個環節：環節一，通過頭腦風暴確定研究主題，不同學生根據自己的生活經驗提出研究方向，組內成員對其提出可行性質疑，最終形成共識；環節二，問題背景分析，以“行駛汽車數量與PM2.5關系”為例，影響PM2.5濃度的因素很多，在討論與質疑中確定研究因素，如汽車流量、平均氣溫、空氣濕度、風速等；環節三，數據統計，為了保證數據的正確，一般分為若干小組同地點進行統計，質疑與合作促成數據的確認與修正；環節四，建立統計模型，統計模型的建立通常經歷多次反復，每次建模過程中都需要接受自我質疑、同伴質疑、專家質疑；環節五，預測應用，其準確性需要經受事實的檢驗，在檢驗中修正模型。因此，質疑與合作是活動正常開展的保證。

三是學習與活動的規約關系。教學場域是一個小世界，需要適當的規約來約束相關者的行為，這種規約只有通過師生民主協商后制定，才能得到更好執行。批判質疑精神建立在科學合理的基礎之上，并非所有的質疑都是有益的，規約可以保證質疑聚焦學習與活動，減少無關因素的干擾。

（五）指導高效的質疑策略

質疑需要理性思維。在2016年發布的《中國學生發展核心素養》中，對理性思維從三個方面進行界定：一是崇尚真知，理解和掌握基本的科學原理和方法；二是尊重事實和證據，有實證意識和嚴謹的求知態度；三是邏輯清晰，能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為[6]。由此可以產生三個質疑策略，即結論是否有實證，結論是否有理論依據，結論推導過程是否嚴謹。

中學數學學科中引導學生質疑的策略主要有四條路徑，一是從不同角度分析問題得出相悖結論而產生質疑。在教學中，學生經常會提出這樣的問題：“老師，我用自己的方法求出答案為何與你的答案不同”，這是因師生分析問題的角度不同而產生質疑。二是用反例提出質疑。如“豐富的圖形世界”中，棱錐的頂點定義是“所有側棱的公共點”，由定義可知棱錐僅有一個頂點。課堂上學生提出兩個質疑：一是三棱錐經過旋轉，每一個公共點都滿足頂點定義，那么三棱錐有幾個頂點？二是如果三棱錐僅有一個頂點，那么歐拉公式V+R-E=2不成立，為什么？三是新舊認知相互沖突引發質疑。如有了相關系數可以衡量兩個變量間的關系，為什么還要學習卡方統計量?四是跨學科的認知質疑，如最有名的序貫概率檢驗法（二戰中，需要對飛機局部進行加固作業，由此產生質疑，是加強著彈多的區域，還是加強著彈少的區域？數學家瓦爾德提出上述概率理論）。

雖然培養學生質疑能力早已成為教育工作者的共識，但在基礎教育中卻鮮有落實，其原因復雜多樣。為了改變這一現狀，教師可循著“培養質疑精神—理解質疑對象—設計質疑過程—營造教學場域—指導質疑方法”的進階式質疑能力培養策略，最終實現對學生質疑能力的培養，引導學生走向深度學習。