高空橫梁彎折實驗的材料力學原理分析

李 波 李曉飛

（濱州學院建筑工程學院，山東 濱州 256600）

0 引言

在人們運用材料進行建筑、工業生產的過程中，需要對材料的實際承受能力和內部變化進行研究，這就催生了材料力學。運用材料力學知識可以分析材料的強度、剛度和穩定性。材料力學還用于構件設計，使材料在相同的強度下可以減少材料用量，優化結構設計，以達到降低成本、減輕重量等目的。由此可知，材料力學在生活中的應用十分廣泛。進行結構設計時，各種構件都需要滿足它的強度、剛度和穩定性要求才能夠安全、正常的工作，所以從力學尤其是材料力學的角度對常見構件以及生活中的結構受力現象進行分析尤為重要。在央視一熱門知識類競賽節目中，高空橫梁彎折實驗展示出相同截面積不同截面形式的懸臂橫梁具有不同抗彎性能。本文從該實驗現象背后的材料力學原理出發對其進行定量的解釋和分析，以期為讀者從力學角度理解該實驗現象提供參考。

1 研究問題的提出與基本概念介紹

1.1 研究問題的提出

2018年9月29日中央電視臺《加油向未來》第三季播放的一期節目中，其中一個題目以演示實驗的形式出題：在高為4m 處有三根材料相同但截面形式不同的懸臂橫梁，截面形式分別為等邊三角形、工字形和正方形，依次編號為A桿、B桿和C桿，如圖1（a）所示；3根橫梁可伸出最大長度都是4m，且3 根橫梁截面積相等均為114cm2，每根橫梁自由端均坐一位實驗人員并附加配重使其剛好達到120kg，橫梁以適當的速度勻速伸長，讓參賽者選擇哪根桿可被推得最遠。部分參賽者從三角形穩定性原理角度考慮選擇A 桿，少數參賽者從正方形最規則這一直觀認識出發選擇C 桿，大部分參賽者選擇了B 桿工字形截面，但是更多的是從生活經驗的角度觀察到工字形截面在梁中較常見。最終驗證結果如圖1（b）～（d）所示，當桿件伸長到120cm 處時，等邊三角形的A桿斷裂；當桿件繼續伸長到大約160cm處時，正方形的C 桿斷裂；工字形的B 桿伸長到350cm處才斷裂。

圖1 高空橫梁彎折實驗圖（節目視頻截圖）

1.2 基本概念介紹

懸臂梁是指梁的一端為不產生軸向、垂直位移和轉動的固定支座，另一端為自由端，在工程力學受力分析中，這是一種比較典型的簡化模型，常見懸臂梁簡化模型如圖2 所示。在實際工程分析中，大部分工程受力部件都可以簡化為懸臂梁[1-2]。懸臂橫梁斷裂的力學本質是其在端部所受最大應力超過橫截面的彎曲許用應力σmax≤[σ]，最大應力計算公式如式（1）所示。

圖2 懸臂梁簡化圖

式中：M——端部截面處彎矩，對于懸臂梁來說，即為端部集中力乘以伸出長度（力臂）；

Iz——橫截面對中性軸z的慣性矩；

ymax——橫截面上離中性軸最遠處點的縱坐標。

慣性矩又叫截面二次軸距，慣性矩是一個物理量，通常被用作描述一個物體抵抗彎曲的能力（慣性矩示意圖如圖3）。慣性矩的國際單位為m4，截面對任意一對互相垂直軸的慣性矩之和，等于截面對該二軸交點的極慣性矩。以圖3 為例，面積元素dA與其至y軸或x軸距離平方的乘積x2dA或y2dA，分別稱為該面積元素對y軸或x軸的慣性矩。而以下兩積分：

圖3 慣性矩示意圖

則分別定義整個截面對y軸或x軸的慣性矩，該積分應遍及整個截面的面積A。

2 數值計算過程與結果分析

2.1 數值計算過程

計算的等邊三角形、工字形和正方形截面尺寸如圖4 所示。等邊三角形對于中性軸z0的慣性矩計算如下：取任意單位面積為b(y)dy。b(y)計算如式（3）所示：

圖4 不同截面形式與截面尺寸（單位：mm）

單位面積b(y)dy關于z軸的慣性矩計算如式（4）所示：

利用平行移軸公式得到該等邊三角形關于中性軸z0的慣性矩計算如式（5）和式（6）所示：

通過查閱資料可知實驗所用橫梁膠合材料極限抗拉強度為9MPa，且為脆性材料，可近似等于彎曲許用應力。假設斷裂時，A 桿、B 桿和C 桿伸出長度分別是l1、l2和l3，端部實驗人員通過配重控制恒為120kg，則可認為作用一集中力F=mg=1176N。橫梁斷裂時危險截面處最大拉應力達到彎曲許用應力，即σmax=[σ]，結合式（1）得到：

則斷裂時伸出長度l1為：

帶入數據得：

2.2 計算結果分析

由上述分析結果可知：工字形截面由于慣性矩最大，抗彎性能最好，可伸出長度l2達到349.6cm，與實際情況完全一樣；等邊三角形橫梁最大伸出長度l1等于102.6cm，與實際斷裂長度誤差為14.5%；正方形截面橫梁最大伸出長度l1等于155.9cm，與實際斷裂長度誤差為2.6%，由于桿件制作誤差和人為因素等原因，計算值和實際值最大偏差不超過15%可認為在合理范圍內。結果表明：慣性矩是影響構件抗彎剛度的重要因素，慣性矩越大，抗彎性能越好。同時，構件抗彎剛度還與截面形狀有關，本實驗對象中，等邊三角形截面慣性矩雖然大于正方形，但是由于其繞中性軸為非對稱結構，受拉邊緣到中性軸的距離是受壓邊緣的2 倍，所以求得的端部受到的最大應力要大于正方形截面，所以最終伸出長度要小于正方形截面橫梁。

3 結束語

材料力學通過對強度、剛度和穩定性問題的研究和分析，幫助研究人員建立起工程構件的安全性和有效性的概念，促進研究人員掌握工程構件設計的力學原理。本文以央視一熱門的知識競賽類節目為背景，基于材料力學中的彎曲理論相關知識對實驗結果進行了力學原理分析與解釋，并將計算值和實際結果進行了對比，結果表明理論值和實際值相符。本文為讀者從力學本質出發理解不同截面尺寸抗彎性能的差異提供參考。