高等數學中比較與反例教學方法探索
——“以學生為中心”教學范式改革

莊 偉

（北京石油化工學院致遠學院，北京 102617）

0 引言

高等數學是本科（理工、經管、人文）各專業的一門重要基礎課，是高等本科院校教學計劃中必不可少的一門重要主干基礎課程。它還是服務于各專業的一門重要基礎課，是培養學生應用數學知識解決實際問題的能力的有力工具。通過本課程的學習能使學生了解高等數學中的極限、導數與微積分等重要的基礎概念的背景思想，較系統地掌握高等數學的基礎知識、必需的基本理論和常用的運算技能，了解基本的高等數學的應用方法，為學生學習后繼課程、專業課程和分析解決實際問題奠定基礎。

高等數學的重要任務是將為今后學習專業基礎課以及相關的專業課程打下必要的數學基礎，為這些課程的提供必需的數學概念、理論、方法、運算技能和分析問題解決問題的能力素質?；谂囵B應用型工程師的特點，以及為適應迅猛的社會經濟發展，為公司企業輸送相應層次的技術人才，注重理論聯系實際，強調對學生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養，以努力提高學生的數學修養和素質，具體來說要具有邏輯推理能力、基本運算能力、自學能力、數學建模的初步能力、數學軟件運用能力，應用數學知識解決實際問題的能力，從而使我們的大學生經一到兩年的數學知識的系統學習，在理性判斷、整體素質，特別是數學方面的素質能有一個明顯地提升。

在教學過程中，新時代高等數學面臨的難點：一是高等數學對絕大多數學生來說具有高度抽象性和理論性，概念和理論理解起來難，使學生存有“懼怕”心理；二是高等數學的知識點多，在學習的過程中前面所學的知識存在忘記了或不會用的現象，使學生對高等數學的知識無從下手，也不會用所學的知識點；三是部分學生認為“學高等數學”無用，有為了應付考試過關不得不學的心態，致使學習提不起興趣來。這樣如何讓學生轉變觀念，不怕《高等數學》這門課程，讓絕大部分同學對該課程感興趣，使高等數學有吸引力和魅力，從而發揮《高等數學》這門課程的基礎與服務作用就成了我們的教學難點。

1 “比較法教學范式”的引入

比較是我們經常使用的一種學習和思考形式，是筆者在以前的高等數學的教學過程中，比較法也是經常用到的教學方法，但是，比較法用得比較多的是例子和算法的比較，這對學生來理解和學習高等數學是很有幫助的，但所涉及的對概念、定理和性質的比較是不多的。這樣我們的學生對算法和題型的比較就掌握得多些，也不感到陌生，而對概念理論的比較就涉及的少，認為概念、定理和性質都是固定不變的，這就使我們的學生“只知其然而不知其所以然”。而現在筆者在近幾年的教學過程中，不但注重對學生的算法和題型的比較，而且筆者覺得對概念、定理和性質的比較對學生學習高等數學、理解高等數學的概念、定理和性質能更上一層樓。通過對幾屆學生的調查回訪，學生覺得“比較法教學范式”是頗有收獲的。當然對算法和題型的比較仍是我們課堂講授的一個有效的手段，也是必不可少的。因此，筆者認為我們教師應在講授的過程中把二者結合起來，即先對概念理論做比較，再對算法和題型做比較效果會更好，學生也更易接受，這樣才能使學生不但知其然，也知其所以然。可目前的高等數學的教學中還存在注重“理論與計算”輕“教育過程”，即僅注重對概念、理論、計算方法和技巧的培養，而關注學生在學習過程中能獲得什么不夠，這樣學生只能掌握知識的表面意義，不能了解數學知識背后深層次的意義。

“比較法教學范式”在這里我們分為單個知識點比較的教學模式──自己和自己的比較，和多個知識點比較的教學模式──前后不同的知識點作比較。我們的“單個知識點比較教學模式”從一開始講授高等數學就開始了。

下面是數列收斂的概念：自變量取正整數n的函數稱為數列，若其一般項的極限為一有限值a，則稱數列收斂，否則稱數列發散。數列收斂的幾何解釋為：當n充分大時，其一般項會落在值a的鄰域內。

接著我們又給出了數列不收斂的概念：自變量取正整數n的函數稱為數列，若其一般項充分大時會趨于不同的實數a，b，…等，或當n充分大時，其一般項趨于無窮，則稱數列發散。數列發散從幾何上來看表現為：當n充分大時，其一般項會落在多個值a，b，…等的鄰域內，或其一般項會跑向無窮遠。

因為課本和我們的授課內容中數列收斂的例子是比較多的，所以就著重給同學舉了數列發散的如下的幾個例子：

（1）一數列有兩個不同的極限1和-1，符合數列發散的定義，所以數列發散；

（2）還有我們經常碰到的三角函數，如正弦函數和余弦函數也有不同的極限，不唯一，所以也不收斂；

（3）數列的一般項會變的無限大，跑向無窮遠的情況，也不收斂。

（4）實際生活中的數列發散的例子，當學生人數很多的時候，如我們學生的學習成績的趨向就是發散的，符合正態分布的，還有節假日外出旅游的客流量的趨向也是發散的。

這樣，通過前面幾節“比較法教學范式”的引入，很多同學覺得高等數學也沒什么難的。

下面我們看多個知識點比較的教學模式──前后不同的知識點作比較。拿函數的極限和前面學過的數列的極限作比較，首先，當我們學習完函數極限的定義后，我們來和數列的極限作比較：

（1）數列的極限只有變量 趨于無窮這一種情形，即趨于無窮大；而函數的極限分 趨于某一有限值和無限 趨于無限，又分為正無窮和負無窮兩種情形；

（2）函數的極限分為由左邊逼近的左極限和由右邊逼近的右極限兩種情形，而數列極限無此情況；

（3）函數的極限存在必須是左極限等于右極限，而數列極限無此情況；

（4）函數極限既可等于此函數在該點的值，也可與函數在該點的取值無關，也與數列極限不同。

這樣，通過做多個知識點比較學生就對這兩種極限概念有了不同認識，分得清了也就會用不同的方法和理念來對待這兩種極限，錯誤會明顯減少了。

其二，在高等數學前面的授課內容中，當我們學了自變量趨于無窮大時函數的極限后，我們還做了關于函數極限的“單個知識點比較教學模式”，

（1）自變量 趨于有限值與自變量 趨于無窮大的比較；

（2）自變量趨于有限值時，函數極限存在；自變量趨于無窮大時，函數極限也存在；

（3）自變量趨于有限值時，函數極限存在；而自變量趨于無窮大時，函數極限不存在；

（4）自變量趨于有限值時，函數極限不存在；而自變量趨于無窮大時，函數極限存在；

（5）自變量趨于有限值時，函數極限不存在；自變量趨于無窮大時，函數極限也不存在。

對上述五種情況的函數極限，我們在定義、概念和例子上都作了橫向的比較，這樣，學生對所有情形函數極限都有了全面認識和體會，對函數極限這個重要知識點就能掌握了。

當然，后面的每一章我們都有“比較法教學范式”結合具體知識點的教學范式改革的案例，這里限于篇幅就不一一贅述了?？傊?，會讓“比較法教學范式”貫穿高等數學學習的全過程。

2 “反例法教學范式”的引入

反例法在高等數學的教學實踐中有著事半功倍的效果，也有著重要的作用。第一，恰當地運用反例法教學，能引導學生從反面去思考解決問題，從而有助于培養學生的逆向思維努力，提高學習效率；還有益于學生對基本概念的理解，使學生更好地掌握基本定理。第二，數學中的概念與定理有許多結構復雜、條件結論犬牙交錯，使人不容易理解。反例則可以使概念更加確切與清晰，使定理的條件、結論之間的充分性、必要性指示得一清二楚。第三，高等數學中有許多反例，能夠及時發現并有效地糾正習題中的錯誤，也能開拓學生的思維，培養學生的思維創新能力，引導學生多方面、多角度地思索問題。第四，反例法教學能幫助學生學習數學基礎知識，提高他們的數學修養及培養他們對數學的興趣，甚至還能讓一些同學發現原有理論的局限性，對培養他們的科學研究能力及推動數學向前發展都是有好處的。

本文從引入反例，強化數學概念的認識與應用；巧借反例，在復習鞏固中溫故知新；運用反例，幫助學生正確判定命題的正確與否；借助反例，培養學生數學發散思維能力全方面發展，探討了在高等數學教學中對反例教學開展的步驟策略，以期能引導學生從反面去思考解決問題，從而培養學生的逆向思維能力，提高高等數學的學習效率。

2.1 有助于學生理解并掌握課本上的基本定理

當我們講完了函數的極限四則運算法則后，我們舉了如下的反例：

當求這兩個函數差的極限時，若做成先求兩個函數的極限再差，則這兩個函數差的極限是不存在的，顯然這是錯誤的，原因就是不符合函數的極限四則運算法則的如下的條件：

通過上面的反例，同學們明白了以后在思考問題及做作業、做題的時候括號是不能隨便去掉的，反之會出現錯誤的。

2.2 有助于學生深化理解課本上的定理、性質及規則

當我們學到無窮小的比較時，對于無窮小的和差代替規則，我們舉了如下的反例：若直接來用等價無窮小 x-x來代替是錯誤的。原因就是不符合無窮小的和差代替規則。

通過上面的反例，同學們就明白了課本上的定理、性質及規則是在什么條件下成立的，以及不當運用定理和性質所帶來的錯誤。

2.3 有利于培養學生不斷探索、勤于進取的良好學習習慣，也能提高大學生的數學素養和興趣

當我們講到初等連續函數的復合函數也是連續的時候，我們舉了如下的反例：

先舉了一個函數連續，另一個函數不連續的復合的反例，則無論是誰復合誰，在所給定的區間上都是不連續的；

又舉了兩個函數都不連續的復合的反例，也是無論誰復合誰，在所給定的區間上都是不連續的。

通過上面的反例，同學們就明白了初等函數的復合在什么情況下是連續的，又在哪些情況下是不連續的，這樣就深化了學生對函數連續與否的理解和掌握，使高等數學的學習變的“看得見，摸得著”，既加強了學生學習高等數學的積極性和主動性，也提高教學效率。

這里我們僅舉了上面幾個“反例法教學”的例子，例如，還有有助于有效地糾正錯誤的反例，有助于開拓學生認識，培養學生創新能力的反例等等，這樣的例子在每一章中我們都有結合具體知識點的教學范式改革的案例，這里限于篇幅就不一一贅述了?？傊瑫尅胺蠢ń虒W范式”伴隨學生高等數學學習的全過程。

3 總結

本文所探討的“以學生為中心”的高等數學教學過程中“比較與反例教學方法”是筆者在高等數學方面實施的“以學生為中心”教學范式改革方面的一些做法和體會感受。我覺得在高等數學教學中，比較與反例教學方法應該引起我們教授高等數學教師的重視，合理恰當地運用比較與反例教學法進行教學，不僅可以激發學生的學習興趣，深化學生對知識的掌握和了解，也可以讓學生在比較與反例中發現、分析自己的錯誤，培養良好的數學思維，從而能提高學生的數學興趣和素養。

在實施的過程中總體來看，高等數學課程的“比較與反例教學范式改革”還要在教法方法上精心設置教學案例，并以案例的比較、解決為中心。所選的案例要凸顯高等數學的教學目標，提升學生的注意力。其次，建立豐富的交流和反饋渠道，加強師生之間、同學之間的交流，使教學更有針對性，培養學生的質疑能力。后面我們還要爭取引入數學軟件介紹和數學實驗，能用數學軟件來進行比較和列舉反例，鼓勵學生動手“做數學”：提供實驗任務說明和實驗指導。還要為學生提供精選的參考書目，指導學生充分利用身邊的資源：圖書館，專家講座、互聯網搜索等等，針對自己關心的問題如何去尋找豐富的信息并做出篩選。對不同層次的學生提出不同的要求，成立興趣小組引導學生形成良好的學習方法與學習興趣。最后，建立和完善有效的評價和考試方式，最終目的是讓學生覺得高等數學有用也有吸引力和魅力。