框架結構空間自參數共振的試驗與數值研究

劉 偉， 沈 超， 于 越， 李遇春

(同濟大學 土木工程學院， 上海 200092)

隨著現代科學技術的發展，高強度材料和大長細比構件越來越多地應用于框架結構中。這些結構經常受到周期性荷載的作用，如水工建筑物表面的水流脈動壓力、橋梁上行駛車輛的周期性荷載以及橋墩周圍的周期性水流渦激力，在結構設計中這些必須考慮周期性荷載的動力效應。如果外力的激勵頻率接近結構的固有頻率，結構會發生普通共振，工程師和研究人員已對這類普通共振問題有了充足的了解和研究。如果外荷載激勵頻率大約等于結構或子結構固有頻率的兩倍，框架結構可能會經歷所謂的參數共振或自參數共振。參數共振對結構具有極大的危害性，但其潛在風險很容易被結構工程師忽視。因此，有必要確定框架結構在周期性荷載作用下的參數共振穩定邊界，以避免潛在的參數共振動力失穩風險。

Bolotin等[1-8]對不同約束條件下單跨梁的參數共振動力失穩問題進行了深入的研究。

劉金建等[9]研究了軸向運動黏彈性二維納米板結構的非局部橫向參數振動及其穩態響應；楊宏康等[10]考慮靜動液壓引起的殼體應力剛化(軟化)效應分析了基底隔震儲液罐的參數動力穩定性；張登博等[11]研究了計及非齊次邊界條件的面內變速運動黏彈性板的主參數振動穩態響應；陳舟等[12]對行人引起人行橋參數振動作用下的大幅振動進行了理論和數值分析；李云東等[13]采用數值方法研究了參數激勵作用下非線性彈性地基上懸臂輸流管道的參數動力穩定性；陳丕華等[14]采用理論和試驗相結合的方法研究了斜拉索在弦向位移激勵下的參數振動穩定性。上述結構動力穩定性問題的運動方程均可表示為齊次Mathieu-Hill方程，齊次Mathieu-Hill方程的不穩定解可用Bolotin方法或攝動法[15-16]求解。

框架結構可以由兩個子結構組成，這兩個子結構通過鉸鏈連接，一個子結構是主系統，另一個是次系統。承受周期性外荷載的主系統會引發次系統的自參數共振，這種由主系統激發次系統的參數共振稱為自參數共振。Tondl等[17]詳細給出了機械系統自參數共振的具體定義；Náprstek等[18]研究了暴露于強垂直分量的易變形高層結構的自參數共振問題；Xia等[19]通過使用Lyaponov指數研究了斜拉梁結構在隨機激勵下的自參數共振穩定性。這些自參數共振問題的運動方程表示為非齊次Mathieu-Hill方程，因此不能直接通過Bolotin方法或攝動法求解。非齊次Mathieu-Hill方程的動力穩定性分析的一般方法是基于運動方程的時程解，Lyapunov指數已廣泛運用于工程結構的參數共振動力失穩分析[20]。最近，Li等[21-23]提出了能量增長指數/系數(energy growth exponential/coefficient，EGE/EGC)來確定參數激勵系統的穩定性邊界。EGE/EGC所得到的穩定性邊界與傳統方法和試驗所得的結果一致。

現有的參數振動研究表明，主參數共振(1/2次諧波)是最容易誘發和最危險的參數共振模式。其他參數共振模式，例如諧波參數共振和超諧波參數共振，在現實世界中很難發生，因此本文只研究了框架結構的主參數共振問題。

本文提出了一般框架結構空間自參數共振的數值預測方法，為了驗證數值方法的正確性，進行了空間自參數內共振和非內共振試驗。根據試驗與數值預測結果確定和比較了框架結構的自參數內共振和非內共振的穩定邊界，強調了空間自參數內共振的特殊性和危險性。

1 理論公式

1.1 考慮內軸力效應的梁單元空間運動方程

框架結構一般由幾個均勻的梁單元組成，考慮圖1所示局部坐標系oxyz中的均勻梁單元，其中：梁的初始長度為l，橫截面積為A，質量密度為ρ，楊氏模量為E，剪切模量為G，極坐標繞x軸的轉動慣量為J，繞y和z軸的轉動慣量分別為Iy和Iz。對于節點i和j，局部坐標分別為(xi,yi,zi)和(xj,yj,zj)，節點位移分別為{μxi,μyi,μzi,θxi,θyi,θzi}T和{μxj,μyj,μzj,θxj,θyj,θzj}T,節點力分別為{Fxi,Fyi,Fzi,Mxi,Myi,Mzi}T和{Fxj,Fyj,Fzj,Mxj,Myj,Mzj}T。

(a) 節點位移

(b) 節點力圖1 均勻梁單元的節點位移和力Fig.1 Nodal displacements and forces of a uniform beam element

基于哈密頓原理和Bernoulli-Euler梁的基本理論(忽略該梁的轉動慣量和剪切變形)，在局部坐標系下考慮內軸力作用的梁單元運動方程可推導為[24-26]

(1)

其中

(2)

式(1)可以改寫為

(3)

其中

(4)

1.2 框架結構總體運動方程

將框架結構在局部坐標系中的所有單元運動方程(式(3)，e=1,2,3,…，N)都轉換到總體坐標系下，然后將總體坐標系下的單元運動方程進行組裝整合可以得到以下結構總體運動方程

(5)

(6)

C+βk·K

(7)

當具體研究結構第j階模態的參數共振時，系數βk由下式計算。

(8)

式中，ωj和ξj分別為框架結構第j階模態的自振頻率和阻尼比。

1.3 時程解和穩定性分析

(9)

將式(9)代入式(5)可得到如下增量方程

(10)

其中

(11)

需要注意的是，在上述推導中已經進行了近似KG(t0+Δt)≈KG(t0)。因此，結構的動態時程響應是通過求解式(10)獲得的。

框架結構的機械能可以寫作

[K-KG(t)]·a(t)

(12)

如果框架結構受到初始小擾動，則結構系統的初始能量可表示為E(t)|t=0=E0。框架結構的EGE可以定義為

(13)

式中，[t1,t2]為能量函數ln[E(t)]的主干曲線斜率線性增加的開始時間間隔，框架結構的穩定性可以通過以下標準判斷

(14)

框架結構參數共振的穩定邊界可由λ=0確定。

2 框架結構空間參數共振試驗研究

2.1 試驗模型和試驗裝置

如圖2和圖3所示，Γ形試驗框架由水平梁(梁1)和豎直梁(梁2)組成，框架的幾何尺寸如圖4所示。通過自由振動試驗測得了梁1和梁2的彈性模量E1=2.487×1011N/m2和E2=1.637×1011N/m2。梁1和梁2由鋼鐵制成，質量密度均為ρ=7 850 kg/m3。梁1和梁2橫截面互相垂直并用鉸鏈連接，即兩根梁的連接端只釋放了梁2的z方向轉動自由度(見圖4)。梁2的另一端夾在底板上，梁1的另一端鉸接在支架上。兩個集中質量塊被選擇性地連接在A點(梁1)和B點(梁2)，以調節梁1和梁2的基頻。

圖2 試驗示意圖Fig.2 Experimental schematic diagram

圖3 試驗裝置照片Fig.3 Photo of experimental facilities

圖4 試驗模型幾何尺寸 (mm)Fig.4 Geometric diagram of test model (mm)

如圖2和圖3所示，周期性力信號由信號發生器(EM32000A/B)產生，由功率放大器(GF100)放大，最后傳輸到非接觸式電磁激振器(DJ-20)。該激振器在梁2的B點上提供周期性的電磁荷載，用激光位移傳感器(SUNX-ANR1215)測量B點的位移，這可以看作是梁1的位移激勵，另一個激光位移傳感器用于測量梁1中點A的位移響應。兩組位移響應信號由數據采集儀(INV306U-A)同時采集，信號分析儀(INV306U)分析后由計算機記錄。

在試驗模型中，梁2和梁1可以分別視為主系統和次系統。電磁激振器激發梁2振動后，通過鉸鏈將周期性軸向力從梁2傳遞到梁1，從而引起梁1的空間自參數共振。

2.2 空間自參數內共振試驗(工況1：fe≈f02≈2f01)

在該工況下，A點和B點處的附加質量分別為8.5 g和36 g。符號fe、f01和f02分別為電磁激振器的激勵頻率、梁1的基頻和梁2的基頻。梁1和梁2的頻率關系設計為f02≈2f01。用自由振動法可以得到梁1和梁2的實測自振頻率和阻尼比，數值自振頻率可用有限元方法計算，試驗模型的模態參數如表1所示。

表1 試驗模型的自振頻率和阻尼比(工況1：內共振)Tab.1 The natural frequency and damping ratio of the test model (case 1: internal resonance)

在該工況下fe≈f02≈2f01，使用電磁激振器在梁2的B點施加周期性載荷，并使用激光位移傳感器同時測量A點和B點的位移時程響應。在本試驗中不能直接測量激振力(磁力難以測量)，但根據結構動力學的知識，可以通過測量梁2上B點的位移響應來間接獲得激勵力。

圖5顯示了試驗模型的典型空間自參數內共振響應，其中激勵頻率設置為fe=8.18 Hz≈f02≈2f01。圖5(a)表明了梁2(主系統)的x方向(面內)位移響應幅值在初始階段線性增加，然后由于結構阻尼效應達到穩定值，梁2的響應頻率近似等于激勵頻率。結果表明，梁2發生了典型的普通共振。從圖5(b)可以看出，梁1的不穩定運動是由梁2的普通共振激發的，梁1(次系統)的面外(z方向)位移振幅呈指數增大，梁1的響應頻率為4.14 Hz，約為激勵頻率的一半，這表明梁1發生了典型的(1/2次諧波)自參數共振。這種由主系統(梁2)的普通共振激發的次系統(梁1)的參數共振動力失穩稱為自參數內共振。由于幾何非線性效應，梁1最終達到穩態振動，這被稱為參數共振的“極限環振蕩”。工況1的內共振試驗視頻可以通過以下鏈接進行觀察：https:∥www.bilibili.com/video/BV1M54y1a7eQ/.

(a) 梁2的面內(x方向)位移響應(作為梁1的位移激勵)

(b) 梁1的面外(z方向)位移響應圖5 自參數內共振試驗典型數據(工況1：fe≈f02≈2f01)：Fig.5 A typical measured displacement response of autoparametric internal resonance (case 1:fe≈f02≈2f01)

在試驗中，首先固定了電磁激振器的激勵振幅，梁2(主系統)的穩態位移響應振幅被視為激勵振幅(見圖5(a))。然后不斷增大(或減小)激勵頻率(頻率階躍=0.01 Hz)，直到梁1(次系統)的不穩定響應開始出現或消失。當梁1的位移響應從保持微幅振動到突然非線性增長時，即說明梁1發生開始發生參數振動動力失穩。同理當梁1從大振幅參數振動(極限環振蕩)到位移響應迅速較小然后保持穩定，說明梁1結束參數共振動力失穩。將梁1開始失穩和結束失穩的兩個頻率分別視為下臨界頻率邊界點和上臨界頻率邊界點，最終通過確定不同激勵幅值下的臨界頻率邊界點可得到梁1空間自參數內共振的實測不穩定邊界。

2.3 空間自參數非內共振試驗(工況2：f02≠2f01, fe≈2f01)

在此試驗工況下，A點和B點的附加質量分別為8.5 g和18 g，頻率關系設計為f02≠2f01，試驗模型的模態參數，如表2所示。

表2 試驗模型的自振頻率和阻尼比(工況2：非內共振)Tab.2 The natural frequency and damping ratio of the test model (case 2: noninternal resonance)

當外荷載激勵頻率為fe≈2f01(f02≠2f01)時，典型的試驗位移激勵和參數共振響應，如圖6所示。在周期性外載荷作用下，梁2發生了有界強迫振動(見圖6(a))，這導致了梁1的參數共振(見圖6(b))。梁1的位移響應幅值呈指數增長，響應頻率為4.09 Hz，約為激勵頻率的一半。這種由梁2的強迫振動激發的梁1的參數共振動力失穩稱為自參數非內共振。工況2的空間自參數非內共振視頻可通過以下鏈接觀察：https:∥www.bilibili.com/video/BV1ri4y1 N7ZT/.

(a) 梁2的面內(x方向)位移響應

(b) 梁1的面外(z方向)位移響應圖6 自參數非內共振試驗典型數據(工況2：f02≠f01,fe≈2f01)Fig.6 A typical measured displacement response of autoparametric noninternal resonance (case 2:f02≠f01,fe≈2f01)

3 數值計算結果與試驗結果的比較

3.1 力激勵與位移激勵的理論轉換關系

如圖4所示，對試驗框架結構在B點施加x方向的周期力F=F0cos(2πfet)，相應的結構整體有限元方程(式(5))可以根據工況1和工況2的模態參數建立。我們可以通過求解運動方程(式(5))來獲得B點的位移響應，其中位移響應的穩態振幅由D0表示。

在本試驗中，由于使用非接觸式電磁激振器，激勵力(磁力)不能直接測量，因此梁2的位移響應(B點)D0被用作外部位移激勵。然而在結構動力學分析中，我們習慣于使用力激勵作為外部激勵。因此，為了便于激勵力和位移響應的換算，有必要給出激勵力和位移響應之間的理論關系。根據結構動力學中力和位移的轉換關系，如圖7(a)和圖7(b)所示的點線圖，可以分別獲得工況1和工況2的幅值比R0=D0/F0隨激勵頻率fe的變化曲線。通過圖7所給出的轉換曲線，我們可以將試驗測得的位移激勵不穩定邊界點轉化為力激勵不穩定邊界點。

(a) 工況1

(b) 工況2圖7 B點位移激勵與力激勵的幅值比Fig.7 The amplitude ratio of displacement excitation and force excitation at point B

3.2 數值穩定邊界與試驗結果的比較

3.2.1 空間自參數內共振的數值穩定邊界(工況1)

在工況1中，首先在梁1的A點上施加z方向初始靜力P=0.005 N，得到框架的初始靜位移響應作為初始擾動。然后，對梁2的B點施加x方向周期力F=F0cos(2πfet)，相應的位移響應可通過式(5)求解。圖8是一個典型的例子，其激振力的幅值和頻率分別為F0=0.13 N和fe=2×f01=2×4.11=8.22 Hz。圖8(a)顯示了梁2上B點的位移響應，這也被視為梁1的位移激勵。梁2的理論位移響應與試驗結果相似(見圖5(a))，是一種典型的普通共振響應。圖8(b)顯示了梁1的理論自參數內共振響應，這與圖5(b)中的實測失穩過程也是一致的。

(a) 梁2

(b) 梁1圖8 自參數內共振的數值位移響應(工況1)Fig.8 The numerical displacement responses of autoparametric internal resonance (case 1)

這里需要注意的是，式(5)是一個線性化的有限元方程，僅用于模擬結構的初始失穩過程(處于小變形狀態)。當結構位移響應增大時，非線性項(在式(5)中忽略)將抑制結構響應幅值的無限增加，位移振幅將在有限范圍內有界(見圖5(b))。梁1和梁2之間的非線性相互作用反過來影響梁2的位移響應，這種非線性相互作用效應可以從圖5(a)中15～25 s的位移響應中看出，這是不能用式(5)模擬的。結構振動的非線性仿真是一個非常復雜的問題，需要進一步研究。

對于確定的力激勵幅值F0，可以通過改變激勵頻率fe來確定與EGE為零時相對應的頻率點。該坐標(fe,F0)就是結構理論不穩定邊界上的一點。試驗框架參數共振的理論不穩定邊界(參數共振動力失穩區域)如圖9所示。當以位移作為激勵時，將位移響應的穩態振幅D0(圖8(a))作為激勵振幅(位移激勵)。可以得到在結構不穩定邊界上的激勵點(fe,D0)。梁1在位移激勵下的理論不穩定邊界(參數共振動力失穩區域)如圖10所示，其中空心圓表示實測值，可以發現理論邊界與試驗邊界吻合較好。

圖9 梁1自參數內共振的數值穩定邊界(工況1：力激勵)Fig.9 Numerical autoparametric internal resonance stability boundary of beam-1 (case 1: force excitation)

圖10 梁1自參數內共振的數值穩定邊界(工況1：位移激勵)Fig.10 Numerical autoparametric internal resonance stability boundary of beam-1 (case 1: displacement excitation)

3.2.2 空間自參數非內共振的數值穩定邊界(工況2)

對于工況2，圖11顯示了試驗框架典型的自參數非內共振的數值位移響應，其中激勵力的幅值和頻率分別為F0=0.2 N和fe=2×f01=2×4.11=8.22 Hz。圖11(a)顯示了梁2上B點發生了典型的強迫振動位移響應，梁2的理論位移響應類似于圖6(a)中的實測位移響應。圖11(b)顯示了梁1發生了自參數非內共振響應，與圖6(b)中的實測不穩定過程基本一致。梁1的理論不穩定邊界計算過程與工況1相同，工況2在力激勵和位移激勵下的參數共振失穩區域，分別如圖12和圖13所示。圖13表明，結構自參數非內共振不穩定邊界與實測不穩定邊界吻合較好。

(a) 梁2

(b) 梁1圖11 非內共振數值位移響應(工況2)Fig.11 The numerical displacement responses of noninternal resonance (case 2)

圖12 梁1自參數非內共振的數值穩定邊界(工況2：力激勵)Fig.12 Numericalautoparametric noninternal resonance stability boundary of beam-1 (case 2: force excitation)

圖13 梁1自參數非內共振的穩定邊界(工況2：位移激勵)Fig.13 Numerical autoparametric noninternal resonance stability boundary of beam-1 (case 2: displacement excitation)

3.2.3 空間自參數內共振與非內共振不穩定邊界的對比

根據3.1節中激勵力與激勵位移的理論關系，我們可以將圖9和圖12中的試驗位移激勵轉換為相應的力激勵，并重新繪制成圖14中的不穩定邊界，從中可以發現自參數內共振的不穩定區域比自參數非內共振的不穩定區域大得多。對于前者，由于梁2的普通共振的放大效應，較小的激勵可以激發梁1的大振幅自參數共振，因此自參數內共振比非內共振破壞性大得多，在工程設計中應注意避免該工況。

圖14 空間內共振與非內共振穩定邊界的比較(工況1和 工況2：力激勵)Fig.14 Comparison of stability boundaries between spatial internal resonance and noninternal resonance (cases 1 and 2: force excitation)

4 結 論

本文基于哈密頓原理和Bernoulli-Euler梁的基本理論給出了框架結構空間動力失穩的理論公式，提出了一種結構空間動力穩定性分析的數值方法。為了驗證數值預測，進行了空間自參數內共振和非內共振試驗。根據試驗與數值計算結果，可以得出以下結論：

(1) 當周期荷載的激勵頻率約為框架結構空間固有頻率的兩倍時，框架結構可能由于自參數共振而發生空間動力失穩。

(2) 框架結構體系可以由兩個子結構組成。一個子結構是主系統，另一個是次系統。當主系統的固有頻率接近次系統的兩倍時，主系統的普通共振會引發次系統的自參數內共振。由于普通共振的放大效應，相對較小的激勵就可以激發子結構的大振幅自參數內共振，且內共振的不穩定區域比非內共振(正常工況)的不穩定區域大得多。

(3) 數值預測與試驗結果吻合較好，說明本文提出的數值方法對框架結構的空間自參數共振研究是有效的。