一種柔性支承轉子系統的地震動響應分析

白宇杰， 李詩圖， 楊 璇

(1.核工業理化工程研究院，天津 300180； 2.清華大學 工程物理系，北京 100084；3.粒子輸運與富集技術國防科技重點實驗室，天津 300180)

某設備轉子以極高的轉速工作在柔性支承上，地震會導致碰摩發生，對其正常運行有嚴重影響。為降低地震動載荷對轉子系統的破壞，在旋轉機械中設計了限位器，以期通過在轉子合理部位進行適度碰摩，在不破壞轉子的情況下將系統恢復穩定。該設備安裝在支撐框架上運行，地震載荷會通過支撐框架傳導到轉子系統中，設計不當的支撐框架會放大地震載荷進而影響系統的正常運行。

在一般旋轉機械的地震動響應及抗震設計領域，國內外都展開了相關研究。對于轉子系統的地震動響應研究起始于20世紀70年代[1]。早期的學者一般將轉子與轉軸視作剛體處理，Srinivasan等[2]做出開創性工作，建立柔性轉子模型并利用伽遼金法求解響應；Shimogo等[3]將轉子簡化為集總參數系統模型，軸承簡化為彈簧和阻尼模型進行分析，發現柔性轉子的地震響應明顯大于剛性轉子的響應。Hori等[4]對支撐在油膜軸承上的Jeffcott轉子系統在地震激勵條件下的穩定性進行了研究，表明由于油膜力的非線性，一個原本線性穩定的轉子系統可能在較強的地震沖擊影響下失穩；Samali等[5-6]采用蒙特卡羅模擬方法研究了單盤轉子系統在地震激勵下的隨機振動問題，發現地震的旋轉分量對轉子軸承系統繞質心的轉動影響較大，對質心的平動振幅響應影響較?。籏im等[7]的研究結果表明，對復雜的轉子軸承系統，蒙特卡洛法是唯一可行的方法；Gaganis等[8]將非線性系統轉化為分段線性系統，研究了復雜轉子軸承系統的響應和動態特性變化規律；Singh等[9]開創性地采用了地震分析方法中的反應譜法，應用于轉子系統，并證明了反應譜法在轉子系統地震響應分析中的可行性。

國內的類似研究相對滯后，進入21世紀才開始進行相關研究。2002年，趙巖等[10]基于精細時程積分法分析了單盤轉子的地震響應，給出了轉子系統隨機振動分析的有效途徑，但在研究中未考慮轉子的不平衡量影響；隨后祝長生[11]的研究指出，不平衡量的影響在轉子地震響應分析中是不可以忽略的；陳擁軍等[12]的研究，則是基于線性矩陣不等式，實現地震沖擊下轉子的主動控制，獲得了較好的效果；魯周勛等[13]率先在國內開展了轉子-軸承系統對地震波激勵響應的研究，建立了轉子-軸承系統的有限元模型，提出了一種地震激勵下轉子軸承系統響應的時域分析方法，并通過地震試驗模擬驗證了方法的可行性；富露霞等[14]基于汽輪機轉子軸承系統，建立了考慮軸系陀螺力矩和轉動慣量的轉子軸承系統動力學有限元模型，得到了轉子軸承系統關鍵節點的等效應力和振幅變化趨勢；毛飛等[15]對核主泵電機的抗震進行了分析，表明核主泵抗震結果與反應譜峰值和反應譜載荷的卓越頻率相關；謝最偉等[16]利用Newmark數值積分法，考察了轉子系統的地震沖擊響應，并提出了一種復數域內轉子系統沖擊響應計算方法;王正浩等[17]基于精細時程積分法及虛擬激勵法，研究了軸承隨機激勵對轉子系統隨機響應的影響，得出了隨機激勵對軸承的隨機響應影響較大,而對圓盤的影響較小的結論。

通過調研發現，一般旋轉機械的研究對象多種多樣，包括Jeffcott轉子、單盤轉子、油膜軸承轉子、汽輪機轉子、核主泵等，不同的轉子系統有著不同的地震動響應和抗震設計要求，相互之間結論難以借鑒。某設備中的轉子，運行轉速遠高于上述轉子，而且工作在柔性支承上，已有的研究成果很難直接應用。同時，支撐對于旋轉機械地震動響應的影響方面研究很少，僅發現Rao等[18]研究了支撐剛度對風扇-電機轉子-軸承系統的影響，結果表明基座質量和剛度對水平地震振幅的影響顯著。

本文以工作在柔性支承上的高速旋轉機械轉子為對象，以歐進萍改進地震波模型為輸入，以碰摩力模型為限位器，采用拉格朗日方法建立了考慮支撐框架的轉子系統動力學方程。計算分析了支撐框架對地震動響應中時域波形、碰摩時間、最大振幅的影響。

1 數學模型

1.1 地震動模型

地震動模型是作用于旋轉機械轉子系統的激勵。在地震學中一般用地面加速度的功率譜密度來描述地震動模型。地震動響應的時域分析法，要求首先從功率譜密度模型生成一條時域曲線，作為系統的輸入。該曲線的生成方法一般采用三角級數的余弦疊加法[19]，下面對該方法進行簡要描述。

地震動模型的功率譜密度函數有很多模型，例如金井清模型、周錫元模型等[20]。根據調研，采用歐進萍等[21]改進的地震波模型進型轉機械在地震動沖擊下的動力學分析。歐進萍譜描述如下

(1)

式中：S(ω)為其自譜密度；S0為基巖白噪聲密度譜；ζg，ωg分別為地表覆蓋土層的阻尼比和卓越頻率；ωh為反映基巖特性的譜參數。

本文利用三角級數法，由歐進萍功率譜曲線合成人工加速度時程曲線，具體方法如下。首先生成幅值譜及相位譜。其中幅值譜由歐進萍功率譜生成，選取N個控制點，則將頻域劃分為N個頻率間隔，每個控制點生成一個幅值如下

(2)

(3)

相位譜值φk服從隨機分布。每一個控制點的均為獨立的[0，2π]均勻分布的隨機數。

由幅值譜及相位譜得到初始加速度曲線，該初始人工波為一平穩隨機過程

(4)

對初始人工波進行包絡處理，使之變為符合地震過程的非平穩隨機過程。包絡處理方法及包絡函數如下

(5)

(6)

式中:tb,tc,c分別為主震段的首末時間和衰減參數，數值由平穩持時Td給出；tb=0.5Td；tc=1.2Td；c=2.5/Td。最后對加速度時程進行幅值調整，使其加速度峰值滿足工程設計標準，最終生成一條可用于抗震分析的人工地震動加速度時程曲線。

在實際計算中，將地震動沖擊視為一種基礎振動，取地面為參考系，則轉子系統在非慣性系中受到慣性力作用，具體形式如下，其中{m}為包含各節點質量的列向量。

(7)

本研究采用九級烈度地震動沖擊，其非平穩隨機地震動參數取值,如表1所示。地震載荷為單一x方向水平載荷。

表1 九級烈度下非平穩隨機地震動參數[21]Tab.1 Nonstationary random ground motion parameters under intensity 9

1.2 碰摩力模型

旋轉機械轉子在地震動沖擊下會與限位器發生碰摩。根據調研，采用碰摩力模型進行碰摩過程模擬可以很好地反映地震動沖擊下的動力學響應[22]。在碰摩力模型中，發生碰摩時認為接觸點產生了法向彈性回復力和切向摩擦力，示意如圖1所示。

圖1 碰摩力示意圖Fig.1 Rub-impact force scheme

具體碰摩力如下所示

(8)

轉化到直角坐標系中有

(9)

1.3 轉子系統-支撐框架模型

考慮支撐框架的旋轉機械轉子系統,如圖2所示。該系統模型由本實驗室某專用設備抽象得到。轉子系統左端是彈性支承，連接在外殼上，右端通過彈性支承連接到阻尼器上，阻尼器固定在外殼上，外殼安裝在支撐框架上。為了保證轉子系統在地震動沖擊下不發生損壞而且恢復到正常運行，在轉子左端安裝了限位器，限位器安裝在外殼上，其作用通過碰摩力模型來進行模擬。為了考慮支撐框架的影響，將轉子系統的剛性支撐等效為了彈簧質量系統，如圖2左支撐框架和右支撐框架所示。

圖2 考慮支撐框架的柔性支承轉子系統Fig.2 The flexibly connected ultra-high speed rotor system with supporting frame

對于圖2所示的轉子支承限位器系統，假設轉子為軸對稱剛體，只在xy平面內振動，支承特性對稱。轉子的質量為M，極轉動慣量為Jp，赤道轉動慣量為Jt，左端支承剛度為k2，右端支承剛度為k3，阻尼器剛度為k4，阻尼器阻尼系數為c4，阻尼器質量為m4，限位器碰摩剛度為kc，碰摩摩擦因數為μ，左支撐框架等效質量為m1，等效剛度為k1，右支撐框架等效質量為m5，等效剛度為k5。整個系統包括左支撐框架、轉子左端、轉子右端、阻尼器、右支撐框架共10個自由度。

該轉子以角速度ω旋轉，轉子長度為L，半徑為r，左右兩端的不平衡質量力矩分別為Ume1和Ume2，碰摩力作用在轉子左端，記為Fx+iFy，地震動沖擊作用在考慮支撐框架的轉子系統上，記為Fe。根據拉格朗日方法可以得到上述轉子限位器支承的控制方程為

(10)

式中:{r}為虛數形式的自由度，共5個，分別為ri=xi+iyi(i=1,2,3,4,5)，系統中的質量矩陣、阻尼與陀螺矩陣、剛度矩陣、廣義力如下，其中廣義力包含三項，其中第一項為不平衡質量引起的廣義力，第二項為碰摩力，第三項為地震慣性力

(11)

(12)

(13)

(14)

對靜止狀態的轉子系統進行理論模態分析，并開展試驗模態分析，將二者前幾階模態進行比較，結果如表2所示?？梢钥闯龆呋颈３忠恢?，證明本模型可以保證準確性。

表2 理論與試驗模態分析結果比較Tab.2 Modal comparison of theoretical and experimental results

2 計算方法

采用標準四階Runge-Kutta算法對式(10)進行求解。地震動沖擊采用式(5)中的模型和表1中的參數。限位器的碰摩間隙為2.0 mm，碰摩剛度為1×105N/m，碰摩摩擦因數為0.1。轉子上下不平衡力分別是21.8 mg·mm,29.0 mg·mm。首先僅考慮不平衡質量載荷，計算轉子系統在工作轉速下的工作振幅狀態，然后以該工作狀態作為初值，施加地震動載荷(即地震動載荷加速度信號)，得到轉子系統隨時間的響應；在計算過程中，如果轉子振幅超過限位器限制，則應用碰摩力模型處理。

3 結果分析

3.1 時域響應

首先通過計算得到了轉子系統在地震動載荷作用下的時域響應，如圖3～圖5所示，計算中考慮了3種不同的支撐框架剛度，分別是5×106N/m,7.5×106N/m,10×106N/m，給出了轉子左右兩端和右支撐框架的地震動響應。

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖3 轉子左端在地震載荷下的響應(k1=k5)Fig.3 Seismic response of the left of rotor system (k1=k5)

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖4 轉子右端在地震載荷下的響應(k1=k5)Fig.4 Seismic response of the right of rotor system (k1=k5)

(a) 5×106 N/m

(b) 7.5×106 N/m

(c) 10×106 N/m圖5 右支撐架在地震載荷下的響應(k1=k5)Fig.5 Seismic response of the right of supporting frame (k1=k5)

從圖中的振幅隨時間變化結果看出，轉子左端、轉子右端、支撐架處振幅隨時間變化呈現出一致的規律，第一個振動峰出現在4～6 s內，第二個振動峰出現在10～12 s內，在支撐框架剛度較大時這兩個振動峰更容易辨識。在支撐框架剛度一致時，轉子左右兩端的振幅基本相同，是支撐框架振幅的約1.5倍。

提高橫向剛度，對轉子振幅的改善是顯著的，不僅降低了最大振幅，而且減少了振幅較大的時間。在橫向剛度7.5×106N/m時，在12 s振幅基本就衰減了，但振幅峰值還沒有明顯減小，但在橫向剛度10×106N/m時，振幅峰值已經減小很多。

假設某一烈度地震波能量相同，則為了使運行在支撐框架上的轉子系統達到同樣地振動情況，則支撐框架首先達到同樣地振動情況，而支撐架的橫向剛度越大，達到同樣振動情況所需的彈性勢能就越大，在地震波能量相同的時候，存儲在支撐架中的能量越大，則傳遞到單機轉子系統中的能量越小。這就是提高水泥框架橫向剛度可以減小轉子系統振幅的原因。

3.2 參數分析

為了定量地分析轉子系統在地震載荷下的動力學特性，提出兩個指標進行定量分析：一是統計在響應過程中振幅大于碰摩間隙的時間，作為發生碰摩的時間，表征轉子發生碰摩的程度；二是統計在響應過程中的振幅最大值，表征轉子承受到的瞬時沖量大小。共對4個變量進行了計算分析，分別是支撐框架的剛度、質量、基頻、阻尼，結果如圖6～圖9所示。

(a)

(b)圖6 支撐框架剛度對地震動響應的影響Fig.6 Influence of supporting frame stiffness on seismic response

(a)

(b)圖7 支撐框架質量對地震動響應的影響Fig.7 Influence of supporting frame mass on seismic response

(a)

(b)圖8 支撐框架基頻對地震動響應的影響Fig.8 Influence of supporting frame fundamental frequency on seismic response

(a)

(b)圖9 支撐框架阻尼對地震動響應的影響Fig.9 Influence of supporting frame damping on seismic response

從圖6看出，隨著支撐框架橫向剛度增加，最大振幅持續降低，碰摩時間持續降低，這意味著對轉子損傷的降低；支撐框架剛度提高一倍后，最大振幅減少約50%，碰摩時間減少約100%，這表明在支撐框架剛度增加到一定程度后，將有效抑制地震載荷對轉子系統的影響，轉子不會與限位器發生碰摩。

從圖7看出，隨著支撐框架質量增加，最大振幅持續增大，呈現出先慢后快的趨勢，碰摩時間整體形勢也是增大，但在500～600 kg內有一定波動；支撐框架質量增大約一倍后，最大振幅增加6倍，碰摩時間從0增加到約13 s，這表明支撐框架質量對轉子系統的地震動響應有顯著影響，需要在工程設計中加以控制，否則要考慮在增加質量的同時提高支撐框架剛度。

由于圖7中碰摩時間的曲線不是單調上升，產生了支撐框架基頻是否影響地震動響應的關鍵因素的想法，于是在保證支撐框架基頻不變(支撐框架剛度與質量之比不變)的情況下，進行了計算分析，得到圖8，圖8以質量作為橫坐標。從圖8看出，在基頻不變時，最大振幅和碰摩時間基本保持不變，其中最大振幅增大約7%，碰摩時間增大約3%；這表明如果要保持同樣的地震動響應，簡單設計的話可以在質量增加的同時同比增加剛度，嚴格設計的話，剛度還需要多增加一部分。

從圖9看出，隨著支撐框架阻尼增加，最大振幅持續降低，碰摩時間持續降低；阻尼系數增大6倍后，最大振幅降低約19%，碰摩時間降低約18%，這表明支撐框架阻尼對抑制地震動響應有一定的作用，但與支撐框架剛度相比較差。

綜合圖6～圖8的結果來看:圖6可以認為是基頻逐步增大對地震動響應的影響;圖7可以認為是基頻逐步減小對地震動響應的影響;圖8則是基頻保持不變時的影響。在工程設計中應該先從保持基頻不變的思路出發，如果支撐框架質量增加不可避免，而剛度又增無可增，就需要增加支撐框架上的阻尼，這樣才能保證系統的地震動響應處于安全的范圍內。

4 結 論

本文針對工作在柔性支承上的高速旋轉機械轉子，在地震動模型、碰摩力模型分析的基礎上，建立了考慮支撐架的轉子動力學方程，形成了瞬態計算方法，計算并分析了支撐框架對轉子系統地震動響應的影響，得到如下結論：

(1) 轉子和支撐框架地震動響應呈現出一致的規律，轉子左右兩端的振幅基本相同，約是支撐框架振幅的1.5倍。

(2) 最大振幅和碰摩時間隨支撐框架剛度單調增長、隨質量單調減小、隨阻尼單調減??；支撐框架基頻是影響轉子系統地震動響應的關鍵因素。

(3) 在工程設計中應該先從保持基頻不變的思路出發，如果支撐框架質量增加不可避免，而剛度又增無可增，則增加支撐框架上的阻尼。