基于Laplace變換的干氣密封軸向自由振動與強迫振動解析研究

滕黎明， 江錦波， 彭旭東， 陳 源,2， 李紀云

(1.浙江工業大學 機械工程學院，杭州 310014；2.中國計量大學 機電工程學院，杭州 310018)

干氣密封因具有低泄漏、低功耗和長壽命等性能優勢而在中高速旋轉機械中得到廣泛應用，不過在實際運行中，由于制造裝配誤差、轉軸振動、工況波動、端面變形及密封端面氣腔等存在，密封環將不可避免地會發生振動，進而造成密封間隙的波動，甚至會出現密封端面嚴重磨損或過量泄漏等失效發生。隨著壓縮機、風機、離心泵等高速旋轉機械進一步提速，對干氣密封的動態穩定性提出了更高的要求，但針對干氣密封動態性能優化設計的指導文件國內目前還相對匱乏。因此，提供準確的干氣密封振動特性計算公式和方法對保障我國石化、能源及制藥等領域關鍵設備的可靠性和安全性具有重要戰略意義。

近幾十年來，許多學者針對干氣密封在受到外界瞬時或持續激勵下的浮動環自由振動和強迫振動特性展開研究。干氣密封振動特性的求解主要有兩種方法，一種是先基于攝動法[1-2]、階躍法[3-4]或直接頻率響應法[5]等線性化方法獲得氣膜動特性系數，后代入運動方程中獲得補償環振動響應；另一種是聯立求解瞬態雷諾方程和運動方程[6-10]，直接獲得補償環的振動響應。線性化方法因在微幅振動下具有較高的計算精度和計算效率[11-12]，故在干氣密封振動特性分析研究中得到較高認可。

在采用線性化方法分析干氣密封振動特性時，目前主要基于數值法獲得浮動環的振動特性[13-15]，進而研究工況參數、激勵參數、氣膜參數和結構參數對密封環振動特性的影響。數值法研究的不足在于無法直觀地獲得各影響參數之間的關聯關系及其影響規律，研究結論的適用性也受限于所選取計算參數的范圍，而解析法則更為直觀，且可獲得具有更大范圍適用性的研究結論。通過Laplace變換可將時域內的振動微分方程轉換為頻域內的代數方程，并在求得傳遞函數后作Laplace逆變換返回為時域問題，進而可求得滿足初始條件的振動微分方程解析解，目前該法已被用于求解密封動特性的解析解。Ruan等[16-18]基于拉氏變換研究了螺旋槽干氣密封和動靜壓干氣密封在受到軸向和角向激勵下的密封環振動特性；Miller等[19]基于Laplace變換和Fourier變換開展了螺旋槽干氣密封動態特性的半解析求解；張強等[20]將拉氏變換和泰勒展開引入到蜂窩密封動力特性系數的計算中，顯著提高了計算效率。不過，上述工作并未明確給出密封環的自由振動和強迫振動響應位移解析表達式，且對于不同特征方程根條件下的密封環振動位移解析解未能展開討論。實際上，當密封的動態特征參數“阻尼-剛度-質量”三者處于不同數值關系時，其對應的干氣密封軸向振動位移響應表達式各有不同。

不失一般性，本文以靜環撓性安裝(即靜環為浮動環)干氣密封為研究對象，在軸向振動特性求解幾何和物理模型的基礎上，基于Laplace變換推導了浮動環軸向自由振動和強迫振動響應的顯式解析表達式，分析了浮動環質量、系統總剛度和系統總阻尼對干氣密封軸向自振特性及過渡階段響應最大振幅和調節時間的影響；推導獲得了密封在軸向持續激勵下穩定運行階段的周期性擾動峰值顯式表達式，研究了浮動環質量、激勵頻率、剛度和阻尼參數對密封振動周期峰的影響規律。研究結果為工程技術人員提供了可準確預測干氣密封受擾后膜厚響應規律的計算公式，并以軸向強迫振動周期峰為優化目標，給出了各影響因素的優選范圍，為密封系統力學元件特性參數之間的協同優化提供了理論指導。

1 干氣密封軸向振動特性求解模型

1.1 物理和幾何模型

典型的靜環撓性安裝干氣密封結構及其運動學模型示意圖，如圖1所示。干氣密封的主要結構包括固定安裝于轉軸(旋轉角速度為Ω)上的動環及撓性安裝于靜環座上的浮動靜環，動環和靜環端面之間有一層厚度為hb的氣膜隔開以實現非接觸運行，靜環與靜環座之間設有剛度為ks的支撐彈簧和阻尼為cs的輔助密封圈，用以保證靜環的浮動性和追隨性。在動環端面上，從槽根半徑rg至外徑ro處開設有數量為Ng、深度為hg的對數螺旋槽，靠近內徑ri處設有不開槽的密封壩，螺旋槽的螺旋角為β，槽區周向開槽寬度與密封堰寬度相等。氣膜可看成是具有一定剛度kzz和阻尼czz的“彈簧-阻尼”結構，浮動靜環在氣膜、彈簧和輔助密封圈的共同作用下實現對動環軸向激勵的響應，保持對動環擾動的追隨。在本文分析中，僅考慮軸向擾動，而忽略角向擾動；在強迫振動分析中，僅考慮動環受到軸向正弦激勵zr=Arzsinωt，其中:Arz為激勵振幅;ω為激勵頻率。

(a) 幾何結構模型

(b) 運動學模型圖1 靜環撓性安裝干氣密封結構及運動學模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the geometric structure and kinematic model of the flexibly mounted stator DGS

1.2 數學模型

1.2.1 軸向自由振動模型

干氣密封浮動靜環的軸向振動可分兩種情況討論：一是受到任意瞬時激勵的軸向自由振動；二是受到軸向持續激勵的強迫振動。僅考慮干氣密封浮動靜環的軸向激勵，忽略角向激勵對軸向響應的影響，則浮動靜環軸向自由振動運動方程為

(1)

根據式(1)，靜環加速度可表示為

(2)

式中:相對阻尼系數cm=c/m;相對剛度系數km=k/m。

對式(2)兩端同時作Laplace變換，將浮動環振動特性的時域問題轉換為頻域問題，利用第二微分性質可得

-cm[sZ(s)-z(0)]-kmZ(s)

(3)

由式(3)可得傳遞函數Z(s)為

(4)

利用部分分式法對式(4)進行Laplace逆變換，首先需將傳遞函數轉化為部分分式表達。令式(4)分母為零可得系統特征方程為

s2+cms+km=0

(5)

根據式(5)特征根的分布，可分為下列3種情況討論。

(1) 特征方程有一對共軛復根

(6)

傳遞函數式(4)可表示為

(7)

式中，k1，k2為待定系數，且k1，k2共軛，也即

k1,2=α±βi

(8)

式(7)的逆Laplace變換可表示為

z(t)=k1eλ1t+k2eλ2t=

(9)

根據Euler公式，式(9)中的復指數可化為三角函數形式，并將式(8)代入可得

(10)

待定系數k1,2可根據式(11)求解

ki=[(s-λi)Z(s)]s=λi

(11)

將式(4)、式(6)代入式(11)可得

(12)

則式(1)的解為

(13)

進一步，式(13)可化為

z(t)=A(t)sin(ωdt+φ)

(14)

式中:A(t)為隨時間變化的振幅，在“位移-時間”圖中z=±A(t)即振蕩包絡線;ωd為阻尼振蕩頻率;φ為相位角

(15)

(16)

(17)

(2) 特征方程有兩個不等實根

(18)

傳遞函數式(4)的部分分式表達形式與式(7)相同，其中的待定系數k1,2利用式(11)確定。

(19)

由式(9)可得此時式(1)的解為

(20)

(3) 特征方程有兩個相等實根

(21)

傳遞函數式(4)可表示為

(22)

式中，k11，k12為待定系數。

式(22)的逆Laplace變換可表達為

z(t)=eλt(k12+k11t)

(23)

待定系數k11，k12可根據式(24)求解

(24)

將式(4)、式(21)代入式(24)可得

(25)

則式(1)的解為

(26)

1.2.2 軸向強迫振動模型

引入軸系跳動引起的軸向激勵運動zr，不失分析一般性的前提下，假定其為式(27)所示的簡諧周期激勵

zr(t)=Arzsinωt

(27)

在式(27)所示簡諧激勵作用下，浮動靜環的軸向強迫振動運動方程為

(28)

式中：F1=kzzArz；F2=czzωArz。令f1=F1/m，f2=F2/m。

靜環加速度可表示為

(29)

對式(29)等號兩端同時作Laplace變換，并利用第二微分性質有

-cm[sZ(s)-z(0)]-kmZ(s)+

(30)

由式(30)可得

(31)

傳遞函數式(31)的部分分式形式可寫作

(32)

式中，k1，k2，k3，k4為待定系數。

由式(31)與式(32)恒等可得

(33)

解得各待定系數為

(34)

(35)

(36)

(37)

由第一線性性質，式(32)的Laplace逆變換可表達為

(38)

式中，L-1{Z1(s)}的求解方法可類比軸向自由振動，分為3種情況討論。

Z1(s)的部分分式形式為

(39)

其中，特征根λ1,2如式(6)所示，待定系數A1,2如式(40)所示

(40)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(41)

由式(34)～式(38)、式(41)，歸并化簡可得浮動靜環振動響應為：

z(t)=z0(t)+z1(t)+z2(t)

(42)

式中：z0(t)為初始條件響應；z1(t)為自由伴隨振動；z2(t)為強迫響應；具體表達式如下

(43)

(44)

(45)

Z1(s)的部分分式表達形式與式(39)相同，其中的特征根λ1,2如式(18)所示，待定系數A1,2如式(46)所示

(46)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(47)

由式(34)～式(38)、式(47)可得此時浮環振動響應表達形式與式(42)相同。其中強迫響應z2(t)不變，如式(45)所示；而初始條件響應z0(t)與自由伴隨振動z1(t)分別為

(48)

(49)

Z1(s)的部分分式形式為

(50)

式中，特征根λ如式(21)所示，待定系數A11，A12如式(51)所示

(51)

則Z1(s)的逆Laplace變換為

(52)

由式(34)～式(38)、式(52)可得此時浮環振動響應表達形式與式(42)相同。其中強迫響應z2(t)不變，如式(45)所示；而初始條件響應z0(t)與自由伴隨振動z1(t)分別為

(53)

(54)

2 結果討論與分析

基于第1章推導的靜環撓性安裝干氣密封軸向自由振動和強迫振動響應解析表達式，研究了密封剛度和阻尼、激勵頻率、浮動環質量等相關參數對干氣密封軸向自由振動和強迫振動特性的影響。在下述的算例中，除特別說明外，各參數的缺省值根據Ruan的研究確定：也即密封環內徑ri=30 mm，外徑ro=42 mm，槽根半徑rg=33.6 mm，螺旋角β=20°，槽深hg=5 μm，槽數Ng=12；浮動環質量m=0.2 kg，軸向氣膜剛度kzz=1.281 7×108N/m，軸向氣膜阻尼czz=1.739 9×104N·s/m，彈簧剛度ks=1×107N/m，輔助密封阻尼cs=1×103N·s/m，激勵頻率ω=376 rad/s。

2.1 干氣密封軸向自振穩定性參數影響

干氣密封可看成是一個由“彈簧-阻尼-質量”組成的振子系統，剛度、阻尼和質量是影響密封自振穩定性的3個關鍵參數。由于在軸向自由振動過程中沒有固定動環的持續激勵，故浮動環響應位移即為氣膜厚度的變化，可通過浮動靜環響應位移曲線的振幅、頻率和響應時間來判斷密封軸向自振穩定性。一般來說，響應位移曲線的振幅越小，意味著阻尼程度越強；響應時間越短，意味著響應速度越快，對應的密封系統自振穩定性越好。

系統總阻尼對干氣密封靜環響應位移的影響，如圖2所示?？梢钥闯?，總阻尼c對密封系統的穩定狀態影響顯著，當總阻尼c>0時處于穩定狀態(見圖2(a))，當c≤0時處于不穩定狀態(見圖2(b))。當處于c>2(mk)1/2的過阻尼狀態時，靜環在初始位移擾動下的響應曲線單調衰減，不發生振蕩；當處于c=2(mk)1/2的臨界阻尼狀態時，靜環的響應曲線形式與過阻尼狀態接近，也為一單調曲線，但響應時間比過阻尼狀態顯著縮短；當處于0

(a) c>0

(b) c≤0圖2 系統總阻尼對靜環響應位移的影響Fig.2 Effect of total damping of system on displacement response of stator

當c=0時靜環響應曲線為無阻尼等幅振蕩，一般將其與負阻尼系統一同視為不穩定狀態。當c<0時為負阻尼系統，系統時間響應關系式中會出現正指數，初始位移擾動下的靜環響應是一發散的響應過程，靜環響應位移不能達到穩定狀態，隨著時間的推移而逐漸發散。不同阻尼值時負阻尼系統的響應曲線也有所區別，當阻尼絕對值較小時(-2(mk)1/2

對于理想的彈簧振子(系統阻尼為零)，若將其移開平衡位置，系統會在平衡位置附近持續振動，振幅與振動能量均保持不變(見圖2(b))，這是因為彈性元件在振動過程中能夠儲存勢能，而物體慣性則儲存動能，二者可以相互轉換。但對于實際干氣密封振動系統，端面間氣膜存在軸向阻尼，且受工況條件與端面結構的影響，其阻尼值可能為正也可能為負。考慮系統阻尼后，系統的機械能便不再守恒，損失的能量用于克服阻尼力做功，故系統軸向總阻尼c反映了系統耗散振動能量的能力。當c超過臨界阻尼時，系統偏離平衡位置后會逐漸回復到平衡位置且受強阻尼力的作用系統不會發生振動，但阻尼不宜過大否則類似于剛性連接，系統趨于平衡的時間過長。若c不夠大，阻尼力不足以阻止振動越過平衡位置，系統將作振幅逐漸衰減的周期性振動，且c越小振動過程中的振幅越大(見圖2(a))。當c<0時，阻尼力與系統振動相對速度的方向不再相反，而是相同，且速度越大阻尼力也越大。此時，系統內由于負阻尼形成了補充振動能量的能源，系統若偏離平衡位置會自發地產生和維持振動，不能達到穩定狀態。

系統總剛度對靜環響應位移的影響，如圖3所示?？梢钥闯?，系統軸向總剛度k的取值不會改變系統的穩定狀態，而會影響系統響應曲線的振幅、頻率和響應時間。當系統總阻尼較大時(c=1.584 9×104N·s/m)，適當提高軸向總剛度k，可使系統由過阻尼狀態過渡到臨界阻尼或欠阻尼狀態，有利于縮短系統響應時間，提高系統穩定性；而在系統總阻尼較小時(c=1.584 9×103N·s/m)，增大軸向總剛度k，過渡過程的振幅和頻率也會加大，不利于系統穩定。

(a) 較大系統阻尼

(b) 較小系統阻尼圖3 系統總剛度對靜環響應位移的影響Fig.3 Effect of total stiffness of system on displacement response of stator

正如前文所言，振動實際是動能和勢能的轉換，機械系統必須同時具有慣性與彈性，這樣才能有動能和勢能，而慣性取決于質量，彈性取決于剛度。慣性大，動能狀態的變化要難；剛度小，勢能狀態的變化要難。給定了系統的質量與剛度后，振動過程中能量的轉換速率就隨之確定，也即無阻尼自然振蕩頻率ωn(或稱為系統固有頻率，ωn=(k/m)1/2)。故提高系統軸向總剛度k能顯著增加欠阻尼系統過渡過程振蕩的頻率。而k對系統響應曲線振幅產生影響主要是由于改變了系統的阻尼程度。在系統軸向總阻尼c一定的情況下，調節k可以改變彈性恢復力與阻尼力的相對大小。當系統阻尼力較大時，提高彈性恢復力以有效克服運動阻礙可使系統快速回到平衡位置(見圖3(a))。而當系統阻尼力較小時，提高彈性恢復力會增加系統儲存的振動能量，增大過渡過程振蕩的強度(見圖3(b))。

浮動環質量m對阻尼振蕩頻率和靜環響應位移的影響，如圖4所示。浮動環質量m也主要是影響靜環響應曲線的振幅、頻率和響應時間，而不改變系統的穩定狀態。浮動環質量m的增大可使系統由過阻尼狀態轉變為欠阻尼狀態。由式(16)可知，在欠阻尼狀態下增加軸向總剛度k，阻尼振蕩頻率ωd單調增加，而質量對阻尼振蕩頻率的影響則有所不同。令ωd對m的偏導數為零可得m=0.5c2/k。將m=0.5c2/k代入式(3)可得ωd=k/c。故浮動環質量m存在一極值點0.5c2/k使ωd取得最大值k/c，此時響應曲線從零時刻至首次達到穩態值的時間最短。如圖4(a)所示，超過m的極值點后，若再繼續增加浮動環質量，則系統振動的振幅增大，阻尼振蕩頻率減小，即阻尼程度和響應速度同時下降，動態性能指標劣化，自振穩定性降低。

(a) 阻尼振蕩頻率

(b) 靜環響應位移圖4 浮動環質量對阻尼振蕩頻率和靜環響應位移的影響Fig.4 Influence of floating ring mass on damping oscillation frequency and stator displacement response

2.2 干氣密封欠阻尼系統過渡階段自振穩定性

對于過阻尼或臨界阻尼系統，在初始位移擾動下，浮動環在進入穩定狀態之前并不存在振蕩的過渡階段，而在欠阻尼系統中則存在呈衰減振蕩的過渡階段，有必要研究干氣密封在過渡振蕩階段的自振穩定性及其影響因素。由2.1節分析可知，系統的阻尼程度和響應速度一般難以同時達到最佳狀態，為定量地評價欠阻尼系統中軸向總剛度k與浮動環質量m對干氣密封浮動環自由振動過渡階段動態性能的影響，定義了欠阻尼系統過渡階段的響應最大振幅σ與振蕩調節時間ts兩個參數。

干氣密封浮動環自振過渡階段響應最大振幅和振蕩調節時間的定義示意圖(k=1.584 9×108N/m,c=1.584 9×103N·s/m)，如圖5所示。響應最大振幅σ為過渡振蕩階段浮動環運動后出現的首個響應位移峰值的絕對值，σ值越小，意味著密封端面發生碰撞的幾率就越低；振蕩調節時間ts為靜環響應曲線達到并保持在允許波動帶范圍內所需的最短時間，ts值越小，意味著膜厚達到穩定狀態的時間越短。

圖5 干氣密封浮動環響應最大振幅與調節時間定義Fig.5 Definition of maximum response amplitude and adjusting time of DGS floating ring response

為確保評價基準的統一，本文中允許波動帶范圍設為±Δ·hb，其中Δ為相對偏差，hb為平衡膜厚。根據式(14)，當t≥ts時有

(55)

其中，a表示為

(56)

在響應最大振幅處，靜環響應位移隨時間的變化率為零，欠阻尼狀態下令dz(t)/dt=0可得

A(t)ωdcos(ωdt+φ)=0

(57)

由A(t)恒為正，式(57)可進一步化為

sin(ωdt+φ+θ)=0

(58)

其中，阻尼角θ滿足

(59)

欠阻尼狀態下有0

由式(58)可得，浮動靜環響應曲線的峰值時間tp為

(60)

將峰值時間tp代入z(t)可得該時刻的靜環響應位移

z(tp)=

(61)

靜環響應的最大振幅σ即z(tp)的絕對值。

特別地，不考慮靜環零時刻運動初速度時，則有

(62)

可見，若不計及靜環零時刻的運動初速度，無量綱最大振幅|σ/z(0)|完全由系統阻尼特性所決定，而當靜環具有軸向運動初速度時，無量綱最大振幅|σ/z(0)|還將受運動初始值的影響。運動初速度對靜環響應位移和無量綱最大振幅的影響(k=1.584 9×108N/m,c=1.584 9×103N·s/m)，如圖6所示。如圖6(b)所示，z′(0)=0為一左連續的跳躍間斷點，這是運動初速度與初位移方向的差異所致。零初速度下，最大振幅出現在初位移方向的異側，且由于阻尼作用，最大振幅小于初位移的絕對值。當運動初速度不為零且與初位移異向時，與零初速度的情況相同，最大振幅也出現在初位移方向的異側，但隨著運動初速度絕對值的增大，最大振幅逐漸增大，且相較于初位移，運動初速度對最大振幅起主導作用，最大振幅將逐漸超過初位移的絕對值。當運動初速度與初位移同向時，浮動環開始運動后其位移絕對值先逐漸增大至最大振幅位置，故最大振幅出現在初位移方向的同側，且始終大于初位移的絕對值。在運動初速度z′(0)的絕對值相同時，由于運動初速度與初位移異向時的峰值時間tp相對同向時滯后，因此導致速度和位移異向時的最大振幅將始終小于兩者同向時的狀態，這也從側面反映了阻尼對振蕩的削弱作用。

(a) 靜環響應位移

(b) 無量綱最大振幅圖6 運動初速度對靜環響應位移及最大振幅的影響Fig.6 Effect of initial velocity of motion on displacement and maximum amplitude of stator response

欠阻尼系統在初位移擾動下系統軸向總剛度k與浮動環質量m對過渡階段特征參數的影響，如圖7所示。其中相對偏差Δ=2%，平衡膜厚hb=3 μm。響應最大振幅σ隨著k，m的增大都呈現單調遞增的變化趨勢且曲線連續，在較小的軸向總剛度和浮動環質量條件下能獲得較小的響應振幅，這是由于對于系統的阻尼特性而言，k和m的影響規律相同。根據式(59)、式(62)，系統軸向總阻尼一定時，k，m增大都將使阻尼角θ減小并趨近于π/2，同時響應曲線的振幅隨tanθ的減小而增大。由式(55)可知，振蕩調節時間ts是響應曲線振幅、阻尼振蕩頻率和允許波動帶范圍三者共同作用的結果，振蕩調節時間隨軸向總剛度和浮動環質量的增大呈現階梯式非連續變化規律。隨著k和m的增大，響應曲線振幅增大，若當前振蕩周期的幅值超出了允許波動帶范圍，振蕩調節時間ts就從當前周期躍變至下一周期，這是造成振蕩調節時間非連續而呈階梯狀上升的主要原因。由圖4可知：阻尼振蕩頻率隨k的增大而單調遞增，故在兩個非連續躍變點之間k的增大會使得振蕩調節時間逐漸減??；而阻尼振蕩頻率隨m的增大呈現先增后減的變化規律，故m≤0.5c2/k時在兩個非連續躍變點之間振蕩調節時間隨m增大而減小，當m>0.5c2/k時隨m增大而增大，且增大的速率逐漸加快。值得注意的是，振蕩調節時間在隨剛度和質量增大的首個階梯內都獲得最小值，此時對應的響應最大振幅也較小，也即存在最佳的k和m使得系統兼具較好的阻尼特性和響應速度。

(a) 系統軸向總剛度

(b) 浮動環質量圖7 零初速度下剛度與質量對最大振幅及調節時間的影響Fig.7 Effects of stiffness and mass on maximum amplitude and adjusting time at zero initial velocity

綜上所述，在對干氣密封軸向自由振動穩定性的影響方面，系統軸向總阻尼起著決定性作用，其數值的變化可使得系統在穩定態和非穩態之間轉變；系統軸向總剛度和浮動環質量的改變不會影響系統的穩態狀態，而會影響響應曲線的最大振幅和振蕩調節時間。

2.3 干氣密封軸向強迫振動特性

相比于傳統機械強迫振動研究中主要關注質量體的響應運動，干氣密封強迫振動研究中更關注氣膜厚度的變化量，因其是決定干氣密封穩定性與密封性的關鍵。在受到固定動環的軸向激勵后，干氣密封膜厚變化量是靜環響應位移和動環軸向激勵之差。干氣密封膜厚變化量與軸向強迫振動各參數的關聯關系，如圖8所示。根據式(42)，浮動環的響應位移是初始條件響應z0、自由伴隨振動z1和強迫響應z2三者相加的結果，其中強迫響應z2是頻率等于動環激勵頻率的等幅振動；初始條件響應z0即為2.1節和2.2節中討論的由初位移和初速度決定的軸向自由振動，為研究方便起見，取z0=0；自由伴隨振動z1則只取決于系統本身的物理性質(m，k，c)和激勵的大小和頻率，而與運動初始條件無關。即使在零初始條件下，也有自由振動和強迫響應相伴發生。

圖8 干氣密封軸向強迫振動參數關系示意圖Fig.8 Schematic diagram of the relationship between axial forced vibration parameters of DGS

為驗證干氣密封軸向強迫振動響應解析表達式推導的正確性，將本文解析推導獲得的靜環響應位移和膜厚變化量計算結果與文獻[16]和文獻[21]中的數值計算結果進行對比驗證，結果如圖9(a)、圖9(b)所示。可以看出，本文所提供的解析表達式對于靜環響應位移和膜厚變化量的計算與文獻結果完全吻合。進一步，圖9(c)示出了與文獻[22]中膜厚振幅均方根試驗數據的對比結果?？梢钥闯?，本文計算結果與試驗值相近且趨勢一致，但隨著平衡膜厚的增大，發現計算偏差亦逐漸增大。這是由于膜厚擾動振幅較大時，氣膜壓力非線性凸顯，此時將氣膜視為具有一定線性化剛度kzz與阻尼czz的“彈簧-阻尼”結構將帶來系統誤差，但本文的方法仍可有效預測密封系統振動行為的趨勢，驗證了本文中相關解析推導過程的正確性。

(a) 靜環相對位移

(b) 膜厚擾動率

(c) 膜厚振幅均方根圖9 零初始條件下干氣密封強迫振動響應正確性驗證Fig.9 Verification of forced vibration response of DGS under zero initial condition

對于c>0的情況，無論受何種初始條件的作用，由于阻尼的存在，初始條件響應z0(t)與自由伴隨振動z1(t)都會在極短的時間內衰減為零，靜環持續的振動只有與外界激勵有關的強迫響應z2(t)。

分別引入兩個由外界激勵以及系統本身物理性質決定的相位角θ1和θ2以簡化式(45)的形式

(63)

則靜環穩態響應振動方程式(45)可化為

(64)

由靜環響應運動z(t)與軸向激勵運動zr(t)相減可得膜厚變化量Δz(t)為

(65)

膜厚變化量Δz(t)的振幅X即為氣膜在軸向激勵zr作用下，長周期穩定運行階段的周期軸向擾動峰值，簡稱為“周期峰”[23]。

(66)

式(65)可化為

(67)

由輔助角公式可得

(68)

將式(66)代入式(68)，可得到靜環撓性安裝干氣密封在受到軸向持續激勵作用下膜厚變化的周期峰X為

(69)

周期峰X反映了干氣密封在受到軸向持續激勵下保持長周期動態穩定運行的能力，較小的周期峰可避免因膜厚過大或過小而造成的過量泄漏或端面碰磨失效。由式(69)可知，無量綱周期峰X/Arz與軸向激勵頻率ω、浮動環質量m、彈簧剛度ks、輔助密封阻尼cs、氣膜剛度kzz以及氣膜阻尼czz6個因素相關。式(69)分別對以上6個變量求偏導并令其為零，可得到周期峰X關于各變量的極大值和極小值。

根據式(69)獲得的周期峰X隨各影響因素的變化曲線，如圖10所示。顏色加深區域為干氣密封涉及的參數變化范圍。由式(69)可知，周期峰關于激勵頻率的函數X=f(ω)為一偶函數，圖10(a)所示的“X-ω”圖線關于ω軸對稱，這說明軸向激勵的相位對周期峰沒有影響。ω=0為函數X=f(ω)的極大值點，而在ω>0的小范圍區間內還存在一極小值點，即低頻時X隨ω呈先減小后增大的變化規律，這與陳源等所得的結論一致。激勵頻率ω趨近于無窮時，周期峰X將趨近于軸向激勵振幅Arz，也即干氣密封在受到軸向持續高頻激勵時，動環振動的速度方向變化過快，浮動靜環不能及時跟隨動環運動，將處于準靜止狀態。

(a) 軸向激勵頻率

(b) 浮動環質量

(c) 彈簧剛度

(d) 輔助密封阻尼

(e) 軸向氣膜剛度

(f) 軸向氣膜阻尼圖10 各因素對干氣密封強迫振動周期峰的影響Fig.10 Influence of various factors on the forced vibration period peak of DGS

對于浮動環質量m，函數X=f(m)在m>0的區間內同時存在極小值與極大值點，隨著m的增大，周期峰X呈現出先減后增再逐漸減小并最終趨近于Arz的規律，即在質量無限大時靜環將由于慣性幾乎不跟隨動環的激勵，此時周期峰等于動環軸向激勵的振幅。不過實際干氣密封中的石墨靜環質量一般為0.1～20.0 kg，處于曲線極小值點的左側或附近，周期峰X隨m的增大呈現出單調遞減或先減后增的變化規律，該極小值點是浮動環質量m的最優值，如式(70)所示。為獲得較好的軸向動態追隨性，建議選取密度較大的浮動環材料，不過當質量超過式(70)所示的優選值后，繼續增大質量則會使干氣密封的軸向動態追隨性迅速惡化。

(70)

對于彈簧剛度ks和輔助密封阻尼cs，在其橫軸正半軸范圍內，周期峰X隨著ks和cs的增大都先略有減小，后迅速增大直至趨于激勵振幅Arz。考慮到實際干氣密封的參數范圍[24-25]一般為ks=103～107N/m，cs=101～105N·s/m，周期峰X隨彈簧剛度ks和輔助密封阻尼cs的增大都呈先略有減小后迅速增大的變化規律，其中極小值點如式(71)和式(72)所示，也即當所選取的ks和cs小于極小值點時，ks和cs對周期峰影響不大，而當其超過極小值點時，周期峰迅速增大。為了獲得較好的干氣密封動態追隨性，建議彈簧剛度和輔助密封阻尼都應不超過式(71)和式(72)所示的優選值。

(71)

(72)

對于軸向氣膜剛度kzz和氣膜阻尼czz，其周期峰曲線的變化規律相似且與前述4個變量有著明顯差別，當氣膜動態特征參數趨于無窮時，周期峰X都將趨近于零而非軸向激勵振幅Arz，這是因為當剛度和阻尼無窮大時，氣膜類似為一剛性體，此時膜厚將基本不變。周期峰關于kzz和czz的曲線都存在一對稱軸，且在對稱軸處取得極大值，其中“X-czz”曲線關于czz=-cs對稱，而“X-kzz”曲線則關于kzz=-(ks-mω2)對稱。對于軸向氣膜阻尼，由于輔助密封阻尼cs為正值，其對稱軸恒在czz軸負半軸，故在干氣密封實際設計中，周期峰隨軸向氣膜阻尼的增大單調遞減，較大的軸向氣膜阻尼有利于提高密封追隨性。對于軸向氣膜剛度，其對稱軸相對原點的位置取決于彈簧剛度ks、浮動環質量m和激勵頻率ω的大小。軸向氣膜剛度的設計應盡量遠離對稱軸數值，特別是當ks-(ks-mω2)時，增大軸向氣膜剛度才有利于密封追隨性。

密封氣膜類似于一“剛度-阻尼”結構，其氣膜剛度與彈簧剛度、氣膜阻尼與輔助密封阻尼之間存在著最佳匹配的問題。干氣密封強迫振動中剛度參數或阻尼參數對周期峰的共同影響,如圖11所示。從剛度參數或阻尼參數的匹配來看，氣膜剛度與彈簧剛度、氣膜阻尼與輔助密封阻尼之間不存在明顯的交互影響；當氣膜剛度或氣膜阻尼一定時，周期峰隨著彈簧剛度或輔助密封阻尼的增大都呈現出先略減小后迅速增大的變化規律；當彈簧剛度或輔助密封阻尼一定時，由于在計算參數下-(ks-mω2)<0，周期峰隨著氣膜剛度或氣膜阻尼的增大都單調遞減。對于剛度而言，當彈簧剛度小于式(71)所給出的優選值，軸向氣膜剛度越大時，能獲得較小的周期峰；對于阻尼而言，提高軸向氣膜阻尼并采用減摩手段盡可能減小輔助密封阻尼可有效提高靜環撓性安裝干氣密封的動態追隨性?？傮w上，在本文計算參數條件下，系統剛度參數對周期峰的影響明顯大于阻尼參數的影響。

(a) 剛度影響

(b) 阻尼影響圖11 剛度或阻尼參數對干氣密封強迫振動周期峰的共同影響Fig.11 Joint influence of stiffness or damping parameters on the forced vibration period peak of DGS

3 結 論

(1) 系統軸向總阻尼對干氣密封軸向自由振動穩定性起決定作用；對于過阻尼系統，適當減小系統軸向總阻尼，增加系統軸向總剛度和浮環質量，使其過渡到臨界阻尼或是欠阻尼狀態有利于提升系統響應速度。

(2) 提出了響應最大振幅和調節時間兩個參數以表征欠阻尼狀態下干氣密封自由振動過渡階段的性能，獲得了響應最大振幅和調節時間的解析表達式，存在最佳的系統總剛度和浮動環質量使密封兼具最短的調節時間和較小的最大振幅。

(3) 推導獲得了干氣密封軸向強迫振動穩定運行階段周期峰的解析表達式，無量綱周期峰與軸向激勵頻率、浮動環質量、彈簧剛度、輔助密封阻尼、氣膜剛度和氣膜阻尼等6個因素緊密相關。

(4) 在干氣密封涉及的參數范圍內，當彈簧剛度和輔助密封阻尼低于某一閾值時，其數值變化對周期峰無明顯影響，一旦超過某一閾值，密封軸向動態追隨性迅速惡化；較大的軸向氣膜阻尼有利于提高密封追隨性，而只有當軸向氣膜剛度大于(mω2-ks)時，增大軸向氣膜剛度才有利于密封追隨性。