外載作用下環狀周期結構固有頻率分裂特性研究

劉 晨， 王世宇,2,3， 高 楠

(1.天津大學 機械工程學院，天津 300350； 2.天津大學 機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津 300350；3.天津市非線性動力學與控制重點實驗室，天津 300350)

工程領域廣泛應用旋轉電機、陀螺儀、行星齒輪傳動及滾動軸承等基礎部件。根據幾何構型和受載特征，該類結構可視為受若干外載作用的環狀周期結構[1-4]。受周期構型的影響，該類結構通常存在固有頻率分裂問題。本文以受外載作用的環狀周期結構為對象，研究由外載引起的固有頻率分裂現象及其抑制條件。

國內外學者深入探討了各類因素對環狀周期結構自由振動的影響。Huang等[5]建立了彈性支承旋轉圓環的振動模型并分析了固有特性，通過分析“靜環動載”和“動環靜載”這兩類典型問題，揭示了科氏加速度對固有頻率及振型的影響規律。Cooley等[6]建立了受離散剛度支承的高速旋轉圓環的動力學模型，計算了軸對稱自由環與非軸對稱環在較高轉速時的固有特性。林杰等[7]基于波動法研究了旋轉圓環的模態特性。此外，Wang等[8]分析了振動波數、磁極數和轉速等參數對永磁電機環形轉子自由振動的影響。

還有學者研究了固有頻率分裂問題。事實上，該問題可追溯至教堂鐘的聲學研究。為了深刻揭示固有頻率分裂規律，Kim等[9]采用攝動法分析了盤形周期結構的分裂規律并給出試驗驗證。Wu等[10]建立了彈性支承靜止環狀周期結構的動力學模型，采用攝動法和Galerkin離散獲得特征解，揭示了固有頻率分裂規律。文獻[11]總結了等效對稱單元的分組方式與固有頻率分裂之間的映射關系。此外，有些學者研究了固有頻率分裂的抑制問題，Rourke等[13]建立了含質量缺陷的環狀周期結構的自由振動模型，研究了固有頻率分裂的抑制問題，指出由質量缺陷引起的非均布構型可改善動力學特性。Wang等[14]提出一種采用分組拓撲構型來抑制固有頻率分裂的方法。Liu等[15]研究了拓撲結構與固有頻率分裂的影響關系。應當指出的是，上述研究通常以離散質量或剛度來體現周期性。事實上，外載可導致非線性變形，進而顯著改變初始應力分布，因此影響固有特性。對于外載如何影響固有頻率的分裂行為，目前還未見報道。

本文考慮內外激勵共同作用下的環狀周期結構的幾何非線性變形，擬采用Galerkin離散能量法建立含外載因素的解析動力學模型，研究外載對固有特性的影響，具體將分析拓撲結構與固有頻率分裂的映射關系，并提出抑制固有頻率分裂的方法。

1 數學建模

1.1 模型描述

在工程實際中，外載通常作為受迫項影響機械系統，但事實上它還產生支撐作用。因此，本文建立了圖1所示含外載和支撐剛度的數學模型。其中，圖1(a)為固定在彈性基礎上受分組對稱外載作用的環狀周期結構數學模型，圖1(b)為外載分布規律。o-rθz為慣性坐標系，極點位于結構的幾何形心；v和u分別為圓環中性面上任意一點的徑向和切向位移;er,eθ和ez分別為徑向、切向及軸向單位矢量。圓環的中性面半徑、軸向高度、徑向厚度、徑向連續支承剛度、切向連續支承剛度以及彈性模量分別為R,c,h,kv,ku和E。外載共有N1組，每組含N2個等間隔分布的外載。θij為第i組第j個外載的位置角，其中θij=θi+αj，θi=2π(i-1)/N1，αj=(j-1)α，α為組內相鄰外載之間的夾角。第i組中的第j個外載記為Fij，為位置的函數，且每個外載與圓環徑向的夾角均為β，離散剛度kmij與外載有相同的位置與徑向夾角，同時為位置的函數。

(a)

(b)圖1 受分組對稱外載作用的環狀周期結構數學模型Fig.1 Schematic of RSPS subjected to grouping symmetrical external loads

1.2 能量分析

采用Euler-Bernoulli梁假設[16]，并應用能量法建立數學模型。在圖1所示慣性坐標系下，圓環中性線上任意一點(r,θ)處的位置矢量可表示為

r=(R+v)er+ueθ

(1)

1.2.1 動能

在慣性坐標系下，圓環的動能可表示為

(2)

式中,d為材料密度，且

(3)

1.2.2 外載功

作用于圓環上任意點(r,θ)處的外載可表示為

(4)

式中:fm為幅值;δ為Dirac函數。外載功可表示為

(5)

1.2.3 勢能

在平面應變狀態下，(r,θ)處的切向應變為[17]

εθ=εθ0+(r-R)εθ1

(6)

其中

則應變能可表示為

(7)

式中:I為圓環截面的主慣性矩(I=ch3/12);圓環截面積A=ch。

連續和離散支承剛度的勢能可分別表示為

(8)

(9)

其中

(10)

式中，km為幅值。因此，系統的總勢能為

U=U0+Us+Um

(11)

1.3 數學模型

根據Hamilton原理

(12)

同時應用非線性無延展假設[18]

(13)

并將式(2)、式(5)和式(11)代入式(12)，可得

(14)

根據式(13)，經多次逼近可將徑向和切向位移分別用時變廣義坐標An(t)和Bn(t)表示為

v(θ,t)=An(t)cosnθ+Bn(t)sinnθ-

(15)

(16)

式中,K=(n-1/n)2且n≥2，n為波數。

將式(15)和式(16)代入式(14)，分別乘以An(t)和Bn(t)的權函數

(17)

(18)

其中

A6=n2kmcos2β-kmsin2β，

式中：Kc為定常剛度矩陣；Kk為支承剛度矩陣；Kf為外載剛度矩陣。

由式(18)可知，通常作為受迫項的外載出現在動力學方程的剛度系數中，因此必然影響固有特性。事實上，外載使結構受預應力作用，進而影響了剛度分布規律，因此導致固有特性的改變。

2 固有頻率分裂特性分析

2.1 固有頻率

為求解固有頻率，假設

(19)

式中,ωn為固有頻率，將式(19)代入式(18)可得特征方程

(20)

解得

(21)

其中

2.2 固有頻率分裂規律

(25)

為了深入分析離散外載和剛度對固有頻率的影響，本文給出以下4種典型情形：① 自由模式(fm=km=0)；② 純外載模式(fm≠0,km=0)；③ 純剛度模式(fm=0,km≠0)；④ 復合模式(fm≠0,km≠0)。

2.2.1 自由模式

表1 固有頻率及其分裂規律(fm=km=0)Tab.1 Natural frequencies and splitting conditions (fm=km=0)

表1中

2.2.2 純外載模式

表2 固有頻率及其分裂規律(fm≠0,km=0;l,l′為正整數)Tab.2 Natural frequencies and splitting conditions (fm≠0, km=0; l and l′ are positive integers)

表2中

2.2.3 純剛度模式

表3 固有頻率及其分裂規律(fm=0,km≠0;l,l′為正整數)Tab.3 Natural frequencies and splitting conditions (fm=0, km≠0; l and l′ are positive integers)

表3中

2.2.4 復合模式

表4 固有頻率及其分裂規律(fm≠0,km≠0;l,l′為正整數)Tab.4 Natural frequencies and splitting conditions (fm≠0, km≠0; l and l′ are positive integers)

綜上可知，可利用振動波數與分組數的關系，初步判定固有頻率是否分裂，然后根據組內匹配關系最終確定是否發生分裂現象。由于外載與剛度的分布特征相同，因此除影響程度不同之外，固有頻率是否分裂的判定條件完全相同。因此，調整分組參數與外載可控制頻率分裂行為。

3 仿真分析

3.1 基本參數

表5為環狀周期結構的基本參數，如不作特殊說明，均使用表5中的參數進行仿真計算，具體將根據表5和式(21)分析4種模式及其他參數對固有頻率分裂行為的影響。

表5 環狀周期結構基本參數Tab.5 Parameters of a RSPS

3.2 離散外載影響

圖2描述了波數和外載對固有頻率的影響，其中第n階振型對應的固有頻率為ωn1和ωn2(ωn1≤ωn2)，rω(rω=ωn2-ωn1)表征固有頻率的分裂程度。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖2 固有頻率隨外載變化規律Fig.2 Natural frequencies versus external load ratios

由圖2可知，模式①的固有頻率不分裂，模式②、模式③和模式④出現固有頻率分裂且分裂規律相同。對比圖2(a)與圖2(b)可知，外載影響固有頻率，且隨著外載逐漸增大，固有頻率隨之增大。這表明在彈性變形范圍內，增加外載可提高固有頻率。觀察該組參數下的固有頻率分裂趨勢可知：增加外載可增大分裂程度。圖2(b)和圖2(d)給出了離散剛度與分裂程度的關系。以n=2為例，當frm=3時，模式②和模式④的分裂程度為rω=0.77與2.62，顯然模式④的分裂程度大；當frm=4時，模式②和模式④的分裂程度為rω=0.96與2.68，表明模式④的分裂程度更大。

3.3 離散剛度影響

圖3描述了波數和離散剛度比對固有頻率分裂行為的影響?？梢钥闯?，圖3(b)～圖3(d)的分裂規律相同。由圖3(c)可知，增大剛度將增加固有頻率分裂程度。比較圖3(c)與圖3(d)可知，在當前參數組合下，外載可降低固有頻率分裂程度。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖3 固有頻率隨離散剛度比變化規律Fig.3 Natural frequencies versus increasing stiffness ratios

3.4 傾角影響

圖4描述了波數和傾角對固有頻率的影響。對于模式②～模式④而言，隨著傾角的增大，固有頻率均有所下降。比較模式②和③可知，僅考慮外載模式的固有頻率下降較顯著，此時外載的施加方向由徑向逐漸變為切向。對比圖4(b)與圖4(d)，發現當n=4時，隨著傾角由π/4增至π/2，分裂程度分別由rω=0.52與0.91變為rω=0.91與0.97，可知模式④的分裂程度變化較小，表明當外載與離散剛度共同作用時，傾角對分裂程度的影響較小。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖4 固有頻率隨傾角變化規律Fig.4 Natural frequencies versus increasing orientation angles

3.5 間隔角影響

圖5描述了波數和間隔角對固有頻率的影響。當間隔角α=0時，對于模式②～模式④的不同波數，均存在固有頻率分裂現象。隨著間隔角的增加，分裂固有頻率出現波動現象，且在某些特殊位置不再分裂(為便于觀察，圖中的固有頻率分裂抑制位置用“·”標注，并給出了相應的角度)。因此，改變分組方式可調整分裂行為。

(a) 模式①

(b) 模式②

(c) 模式③

(d) 模式④圖5 固有頻率隨間隔角變化規律Fig.5 Natural frequencies versus interval angles

3.6 固有頻率分裂程度變化規律

(a)

(b)

(c)

(d)圖6 不同參數下固有頻率分裂程度Fig.6 Natural frequency splitting versus different parameters

3.7 固有頻率分裂抑制實例

表6給出組數、組內個數、間隔角及波數等不同參數匹配下周期結構的固有頻率。

表6 環狀周期結構固有頻率Tab.6 Natural frequencies of the RSPS

由表1～表4可知，若2n/N1不為整數，則對應的固有頻率必定重合，該結論與組內的外載分布特征無關。本文以參數組合{N1，N2，α，n}={4，2，π/6，4}和{4，2，π/8，4}為例，在不改變{N1，N2，n}的前提下，將間隔角調整為π/8。若不考慮計算誤差，則原分裂固有頻率(25.40，24.24)變為重合頻率(24.83，24.83)。在不改變波數和間隔角的前提下，通過改變分組方式也可抑制頻率分裂。以參數組合{2，3，π/6，3}和{3，2，π/6，3}為例，將分組方案{N1，N2}={2，3}調整為{3，2}，原分裂固有頻率(15.74，15.00)變為重合固有頻率(15.38，15.38)。若不改變外載組數N1，通過調節組內外載的數量和間隔角也可抑制頻率分裂。通過對比參數組合{4，2，π/6，4}與{4，3，π/12，4}可發現，在不改變分組數N1的前提下，如果將組內分布參數{N2，α}調整為{3，π/12}，原分裂頻率(25.40，24.24)將變為重合頻率(28.30，28.30)。在保證組內外載個數N2、間隔角α及波數n不變的前提下，可改變外載組數以使頻率重合。例如，若參數組合為{4，2，π/6，2}和{3，2，π/6，2}，可將外載的組數{N1}調整為{3}，原分裂頻率(11.41，9.842)即變為重合頻率(9.796，9.796)。上述結果表明，改變外載的構型及特征參數可顯著抑制固有頻率分裂。

4 結 論

本文研究了分組對稱外載荷對環狀周期結構固有頻率分裂特性的影響。主要工作及結論如下：

(1) 應用非線性無延展假設，采用Hamilton原理建立了受分組對稱外載作用的環狀周期結構的解析動力學模型，該模型計入了均布和分組對稱的外載及支撐剛度。

(2) 外載和剛度均影響固有頻率的數值及其分裂程度。若2n/N1不為整數，無論參數如何選取，固有頻率均不分裂；若2n/N1為整數，則固有頻率是否分裂取決于組內參數的匹配關系。

(3) 揭示了外載和剛度的傾角、間隔角等參數對固有頻率的影響規律，具體分析了4種典型模式下基本參數影響固有頻率的規律，還提出一種抑制固有頻率分裂的方法。