天基星空背景觀測覆蓋范圍計算方法研究

孫楊雨茜，喬棟，張晨，朱政帆，溫昶煊，*

1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2. 中國科學院 空間應用工程與技術中心，北京 100094 3. 航天東方紅衛星有限公司，北京 100094

1 引言

近年來，人類持續的太空活動導致空間碎片數量急劇攀升，空間環境日趨復雜。針對空間碎片這類大規模微小目標，傳統地基觀測由于受到大氣環境干擾和探測目標尺寸限制任務所需成本較高。相對地基觀測，天基觀測不受大氣影響，在監測暗弱目標時具有獨特的優勢，可作為傳統地基觀測的有效補充。

遙感衛星的觀測覆蓋問題包括兩類：①對地觀測覆蓋問題，也稱之為“地球背景觀測”(Below-The-Horizon，BTH)；②對空間目標的觀測覆蓋問題。由于地球的熱背景干擾會使衛星對空間目標的探測失效，因此第二類問題也被稱為“星空背景觀測”(above-the-horizon，ATH)問題。

需要注意的是區分BTH和ATH的邊界(horizon)并不是真正的地球幾何形狀邊界，而是基于大氣影響考慮的一個地球同心球面(tangent height shell，THS)[1]，如圖1所示。BTH和ATH問題可以通過一個切線高度圓錐(tangent height cone，THC)來界定，該圓錐由無數條從衛星出發與THS相切的切線(tangent line，TL)構成。為更好地說明兩類覆蓋情況關系，圖1給出了由TL劃分的ATH與BTH區域示意，TL以上為ATH區域，TL以下為BTH區域。當前，以全球連續覆蓋[2-7]或特定目標區域覆蓋[8-12]的星座設計為代表的BTH問題研究已經較為完善，而針對ATH問題的研究較少，尤其是復雜約束下的覆蓋問題仍待解決，有必要開展更為深入的研究。

圖1 ATH與BTH覆蓋示意Fig.1 Diagram of ATH and BTH coverage

ATH問題可分為如下幾類不同的覆蓋情況。

單高度面覆蓋：研究對象為圖1中紅色實線所示目標球面(target altitude shell，TAS)，研究內容具體分為一維覆蓋弧角和二維空間覆蓋球面兩類。

雙高度段覆蓋：研究由目標高度下限(lower TAS，LTAS)和目標高度上限(upper TAS，UTAS)決定的三維目標球層，如圖1中黃色區域所示。研究內容具體分為二維平面覆蓋面積和三維空間覆蓋體積兩類。

此外，根據是否考慮傳感器有效范圍約束，ATH問題又可劃分為“無限傳感器范圍”和“有限傳感器范圍”兩類。

早期ATH研究主要考慮無限傳感器范圍的情況。文獻[13-14]研究了空間ATH覆蓋問題。但在對地指向大視場角或位于高軌道的無限傳感器設定下，極限覆蓋情況一定出現在LTAS處。因此該階段研究實際只針對LTAS單高度面展開，并等效于三維空間覆蓋情況。之后，文獻[15]在自身研究的基礎上降低軌道高度使衛星處于雙高度段目標之間并進行了星座設計。但該研究僅針對平面覆蓋情況展開設計，同時未考慮傳感器有效距離，沒有對于覆蓋類型進行全面的討論。

近年來，有限傳感器范圍的ATH問題得到了更多關注。文獻[16]通過計算UTAS，LTAS，傳感器范圍和TL的14個交點，共給出了18種不同的雙高度段平面覆蓋情況及對應的覆蓋面積函數。同時，利用該方法對給定目標雙高度段和傳感器范圍情況下使得覆蓋面積最大化的最優衛星軌道高度進行了計算。然而，該研究只能用于平面內的ATH問題，由于二維平面覆蓋最優性并不能直接映射到三維空間的最優覆蓋性，故文獻[16]所給出的平面覆蓋面積的求解方法不能用于三維空間覆蓋體積的計算。而隨后采用切片思想建立的由不同平面疊加而成的三維體積計算方法在計算效率和誤差方面均存在不足[17]，因此也沒有針對空間覆蓋的最優衛星高度進行研究?，F有文獻尚無專門針對雙高度段ATH的三維覆蓋體積的精確計算這一復雜問題的專門研究。

針對上述問題，本文提出了一種基于分段積分函數的ATH雙高度段平面覆蓋面積和空間覆蓋體積的求解方法。該方法的基本思路如下：首先，根據遙感衛星觀測軌道高度與目標球面高度的相對位置關系和傳感器范圍是否涉及地球遮擋區域，將單高度面覆蓋問題分為四種情況進行分析，得到單高度面覆蓋地心角計算公式；然后，將覆蓋地心角作為被積函數，擴展到雙高度段極坐標和球坐標下平面和空間的分段解析積分函數；最后，結合實際雙高度段ATH問題不同組合情況，并給出其具體計算公式。通過將由積分得到的平面覆蓋面積與文獻[17]中的解析方法進行比較，證明了本文方法的有效性。

2 雙高度段ATH覆蓋的積分函數

設衛星觀測軌道半徑為RSat，目標高度上限為RUtas，目標高度下限為RLtas，地球同心球面半徑為RThs，傳感器范圍為RSen。實際應用中，上面各項參數為已知參數。為了求解[RLtas，RUtas區間的平面區域和空間體積覆蓋，首先需分析衛星對單個TAS的覆蓋情況。

設TAS的半徑為r，根據RSat和r的相對高度位置關系，存在的兩種情況：①RSat≤r，衛星軌道不高于TAS，單高度球面覆蓋區域不考慮THS影響；②r

2.1 RSat≤r時ATH覆蓋的積分函數

針對RSat≤r的單高度球面ATH覆蓋問題(見圖2)，定義4個位置點：衛星所在位置A，TL與THS切點B，由A點出發的切線TL與TAS交點C以及傳感器最大范圍與TAS交點D。

圖2 單高度球面ATH平面覆蓋(RSat≤r)Fig.2 ATH coverage of TAS(RSat≤r)

通過4個位置點定義輔助變量：衛星位置A與切點B的距離R1和對應地心角θ1；TL與TAS交點C與切點B的距離R2和對應地心角θ2；衛星位置A與傳感器和TAS交點D對應地心角θ3。這里的交點和切點均關于地心與衛星連線OA對稱，本文只取其中一點結合覆蓋的對稱性進行計算。

由于RThs、RSat和r三者相對位置關系固定，分析由RSen取值不同造成的影響。已知TL與THS相切，通過圖2中幾何關系可以得到

由三角形余弦定理，地心夾角θ3為

由于地球遮擋的影響，RSen>R1+R2后傳感器范圍的增長對于覆蓋區域沒有影響，也即傳感器范圍達到了THS視線遮擋的有效增長上限。因此，ATH覆蓋區域對應地心角θ分情況1和2來討論，表示為

(1)

式中：情況1中單高度面的覆蓋地心角θ的端點C由傳感器范圍決定；情況2中單高度面的覆蓋地心角θ的端點C由切線TL決定。

通過式(1)可以得到計算目標面半徑r≥RSat時給定區間[RL，RU中任意單高度面的覆蓋地心角θ。為了得到該區間的平面覆蓋面積，在極坐標系下將其擴展到二維平面(如圖3所示，由內到外依次為A(2)和A(1)情況)。極徑r即為目標球面半徑，極角α根據對應覆蓋地心角θ選取，此時的平面覆蓋面積表示為

(2)

圖3 [RL，RU]區間ATH平面覆蓋(RSat≤r)Fig.3 Planar ATH coverage of the dual-altitude band defined by [RL，RU](RSat≤r)

結合式(1)(2)可以得到情況1和情況2的平面覆蓋面積A(n)，表示為

式中：RL1、RU1為情況1的目標高度上下限；RL2、RU2為情況2的目標高度上下限。

針對給定區間[RL，RU，在球坐標系下將平面覆蓋擴展到三維空間覆蓋，如圖4所示(情況1)。

圖4 [RL，RU]區間ATH空間覆蓋(RSat≤r)Fig.4 Spatial ATH coverage of the dual-altitude band defined by [RL，RU](RThs

計算點到原點的距離r即為目標球面半徑，天頂角α取為對應覆蓋地心角θ的一半?？紤]到全向天線假設，單高度面覆蓋區域擴展到三維空間后由球冠構成，即方向角β取為[0，2π]。此時的空間體積覆蓋表示為

(3)

結合式(1)(3)可以得到情況1和情況2的空間覆蓋體積V(n)

2.2 r

r

θ4=θ1-θ2

圖5 單高度面ATH平面覆蓋(r

同樣，考慮由RSen取值不同造成的影響，分為情況3和4來討論，得到覆蓋地心角為

(4)

式中：情況3中單高度面的覆蓋地心角θ的端點C2和D分別由切線TL和傳感器范圍決定；情況4中單高度面的覆蓋地心角θ的端點C1和C2均由切線TL決定。

在極坐標系中考慮r

(5)

圖6 [RL，RU]區間ATH平面覆蓋(r

結合式(4)(5)可以得到對應情況3和4下的平面覆蓋面積A(n)

式中：RL3、RU3為情況3的目標高度上下限；RL4、RU4為情況4的目標高度上下限。

只存在單個情況時，

RLn=RLTAS且RUn=RUTAS

當兩者同時存在時，

RL4=RLTAS，RU3=RUTAS，RU4=RL3=

單高度面覆蓋區域擴展到三維空間后同樣需要減去BTH覆蓋區域。針對r

V=?dxdydz=

(6)

圖7 [RL，RU]區間ATH空間覆蓋(RThs

結合式(4)(6)可以得到對應情況下的空間覆蓋體積V(n)

以上討論了4類不同情況下單高度面的覆蓋地心角θ，并在此基礎上推導了以目標高度半徑r為變量的平面和空間覆蓋區域的分段解析積分函數，實際的雙高度段ATH覆蓋問題則由這4類情況組合構成。下面將針對不同組合情況進行討論。

3 雙高度段ATH體積覆蓋計算

為了方便討論，先針對RThs、RSen和RSat決定的傳感器覆蓋區域類型進行分析并確定其構成，再考慮目標高度段[RLtas，RUtas]與傳感器覆蓋區域的位置關系。

定義兩個新的位置點：①傳感器范圍與TL交點E和②A點關于OB的對稱點A′。圖8展示了不同傳感器范圍下E點的分布情況，Ei，i∈{1，2，3}。同時根據上文討論的4種覆蓋情況的切換點以及傳感器范圍設定4個高度輔助變量：

1)a=max{RSat-RSen，RThs}，為傳感器覆蓋高度下限；

2)b1=RSat，為傳感器中心點即衛星軌道高度；

圖8 傳感器覆蓋區域類型Fig.8 Coverage regions of different sensor ranges

4)c=RSat+RSen，為傳感器覆蓋高度上限。

根據RThs、RSen和RSat與切線TL的幾何位置關系，E點存在3種情況：

E點位于A點與B點之間，如圖8中E1點所示。

由于C1和C2關于OB對稱，A和A′關于OB對稱。后續討論中僅說明其中一點位置，另一點由對稱關系得出。目標覆蓋區域類型取決于C2點與E點關系。

在給定RLtas和RUtas高度限制后，此時所有可能的雙高度段的覆蓋區域由情況1和3兩部分組成，具體判斷RLtas、RUtas與b2、b1、c數值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區域情況下3種雙高度段的覆蓋情況，詳見表1。

E點位于A′點與B點之間，如圖8中E2點所示。

對考慮RLtas和RUtas高度限制的雙高度段覆蓋由情況1，3和4三部分組合構成，具體判斷RLtas、RUtas與a、b2、b1、c數值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區域情況下6種雙高度段的覆蓋情況，詳見表1。

E點位于AA′延長線上，如圖8中E3點所示。

此時所有可能的雙高度段的覆蓋區域由情況1，2和4三部分組成，與情況2的區別在于b1與b2的數值關系，即[b1，b2]段的覆蓋類型。具體判斷RLtas、RUtas與a、b2、b1、c數值大小之后，可得到該類傳感器覆蓋區域情況下6種雙高度段的覆蓋情況詳見表1。

表1 不同約束參數下雙高度段覆蓋情況

綜上，共得到15種可能的雙高度段覆蓋情況以及其對應的10類平面和空間覆蓋區域計算公式，幾何構型如圖9所示。因此對于任意目標區域的覆蓋問題均可通過本節的積分方法進行求取，進而可對傳感器范圍和衛星軌道高度進行組合優化設計。

圖9 對應編號情況的幾何構型Fig.9 Geometric configuration of the corresponding cases

4 仿真算例

4.1 精度驗證和最優觀測軌道高度

本算例在給定任務目標的前提下，設定不同的傳感器范圍和衛星軌道高度，對于表1中的15種參數取值對應的10類積分情況進行具體說明分析，任務參數如表2所示。為避免地球表面地形和大氣折射等影響，將切面半徑RThs設為6 418 km。

表2 仿真算例參數

同時，以平面覆蓋為例驗證本文計算方法的正確性。采用文獻[17]中的解析圖形法將覆蓋區域拆分為三角形、圓弓形并根據交點坐標對各覆蓋情況進行計算，得到解析圖形法與本文積分給出的平面覆蓋面積如表3所示。

表3 解析與積分平面覆蓋面積之差

由表3可以看出本文所提方法與參考方法之間的相對誤差量級為10-15，驗證了方法的精度和可靠性。

在確定計算方法的正確性后，進一步對不同衛星軌道半徑RSat的平面覆蓋面積AD與空間覆蓋體積VD進行計算。當RSen=5 000 km時，考慮RSat在可行域[6 578，7 378] km上變化，由表1可知：

1)當RSat∈[6 578，6 708] km時，覆蓋類型由情況2構成；

2)當RSat∈(6 708，6 848.94] km時，覆蓋類型由情況4、2構成；

3)當RSat∈(6 848.94，6 887.72] km時，覆蓋類型由情況4、2、1構成；

4)當RSat∈(6 887.72，6 928) km時，覆蓋類型由情況4、3、1構成；

5)當RSat∈[6 928，7 105.41] km時，覆蓋類型由情況4、3構成；

6)當RSat∈[7 105.41，7 378] km時，覆蓋類型由情況3構成。

計算結果如圖10所示，藍色虛線為不同軌道高度的平面覆蓋面積，黃色圓圈標注為最大平面覆蓋面積；紅色實線為不同軌道高度的空間覆蓋體積，綠色方塊標注為最大平面覆蓋面積。

圖10 平面覆蓋最優性與空間覆蓋最優性Fig.10 Optimality of planar and spatial coverage

從圖10可以得出，最大平面覆蓋面積ADmax=2.050 8×106km2，在RSat=6 885 km處取得。而最大空間覆蓋體積VDmax=1.637 0×1 010 km3，在RSat=7 026 km處取得。由此可見，相同參數下，平面與空間最優觀測軌道高度并不相同。

4.2 基于最優觀測軌道高度的星座覆蓋率

考慮平面和空間不同最優觀測軌道高度的星座連續覆蓋問題。M顆衛星對應的星座覆蓋體積滿足

M·VD=VCov1X+VCov2X+…+VCovNX

式中：VD為單顆衛星的空間覆蓋體積；VCovNX為星座的N重目標覆蓋體積。則基于單顆衛星空間覆蓋體積最大化設定的星座在覆蓋率上達到最優，而相同衛星數目的不同星座構型設計能夠具體分配任務所需的VCovNX。

現設定一個構型碼為6/2/0傾角為60°的Walker星座，考慮星座衛星軌道高度取為RSat1=6 885 km和RSat2=7 026 km的情況，分別對應上一節中平面與空間最優觀測軌道高度，對于式(7)進行驗證。

同樣，本算例研究在該Walker星座構型下對于RLtas=6 708 km，RUtas=6 928 km雙高度目標段的一重覆蓋率和二重覆蓋率。采用衛星軌道預報給出這兩種星座在30 min內覆蓋率的連續變化，較為全面地對比實際任務應用中平面與空間最優覆蓋差異。評估結果如圖11所示。

圖11 基于平面與空間最優觀測軌道高度星座的空間覆蓋率對比Fig.11 Coverage comparison between constellations deployed on planar and spatial optimal altitudes

圖11中藍色虛線為RSat1=6 885 km情況下的空間一重及二重覆蓋率，紅色實線為RSat2=7 026 km情況下覆蓋率，可以看出兩者覆蓋率呈周期性變化，且RSat2的實時一重覆蓋率始終大于RSat1。在平面最優觀測軌道高度時平均一重覆蓋率為59.20%，平均二重覆蓋率為8.74%；在空間最優觀測軌道高度時平均一重覆蓋率為62.46%，平均二重覆蓋率為8.92%。進一步說明平面覆蓋最優性與空間覆蓋最優性的差異，在實際的星座覆蓋設計中應采用空間最優觀測軌道高度使覆蓋效率最大化。

5 結論

針對遙感衛星空間背景觀測的覆蓋問題，本文推導了由單高度面一維覆蓋地心角擴展到雙高度段二維平面覆蓋面積以及三維空間覆蓋體積的分段解析積分函數，并討論了實際雙高度段存在的15種約束參數情況和對應的10類計算公式。與現有研究相比，本文簡化了討論分類并將問題由單高度面圓環覆蓋和雙高度段平面覆蓋進一步推廣到雙高度段空間覆蓋，增加了其實際應用價值。

研究發現，對相同的傳感器和目標區域，滿足平面覆蓋最優性與空間覆蓋最優性的觀測衛星軌道不在同一高度?；诳臻g覆蓋最優的軌道高度設計的星座能夠在覆蓋率上達到最優，從實際應用來看則是更長的觀測時間和更多的觀測目標。因此，本文給出的空間覆蓋計算方法及其對應的最優觀測衛星軌道高度對構建最優覆蓋星座具有重要意義。

中國空間科學技術2022年5期

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