指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)問題鏈設(shè)計
——以《指數(shù)函數(shù)的概念》教學(xué)為例

徐小平

（1.廈門第一中學(xué)，福建 廈門 361003；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.［1］深度學(xué)習(xí)所提出的“學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題進行學(xué)習(xí)”的思想源自蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論.他認為，學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，也就是通過教學(xué)所獲得的潛力.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.［2］深度學(xué)習(xí)是學(xué)生以高階思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標(biāo)，積極主動地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識和思想，并將它們?nèi)谌朐械恼J知結(jié)構(gòu)中，且能將已有的知識遷移到新的情境中的一種學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實呼喚指向深度學(xué)習(xí)的教學(xué).

問題鏈?zhǔn)侵附處煘榱藢崿F(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，針對教學(xué)過程中學(xué)生可能出現(xiàn)的困惑和障礙，將教學(xué)內(nèi)容分解為層次分明、相互聯(lián)系的一系列教學(xué)問題.［3］深度學(xué)習(xí)強調(diào)高階思維發(fā)展，與問題鏈教學(xué)的思維理念相契合，問題鏈教學(xué)是能夠發(fā)展核心素養(yǎng)、有效實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一種教學(xué)策略.問題在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要的地位，是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要抓手，但在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)課堂中，不少教師照本宣科，問題的設(shè)計采用拿來主義，問題均是孤立的個體，沒有經(jīng)過思考和加工形成拾級而上的數(shù)學(xué)問題鏈，在這樣的數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)習(xí)很難發(fā)生，這樣的教學(xué)不利于學(xué)生數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí).如何設(shè)計指向深度學(xué)習(xí)的問題鏈，促進學(xué)生的深度學(xué)習(xí)呢？文章以《指數(shù)函數(shù)的概念》教學(xué)為例，探索指向深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)問題鏈設(shè)計.

一、指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)問題鏈設(shè)計

指數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分；是對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、概率統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，其思想方法與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容有緊密的聯(lián)系；它作為重要的函數(shù)模型具有廣泛的應(yīng)用，是分析和解決大量數(shù)學(xué)問題和實際問題的重要工具.它是刻畫呈指數(shù)增長或衰減變化規(guī)律的函數(shù)模型，新教材在指數(shù)函數(shù)的概念這一節(jié)的教材中通過多個實際應(yīng)用背景重點揭示指數(shù)增長或衰減的規(guī)律，教學(xué)時需要精心設(shè)計進階問題鏈才能引導(dǎo)學(xué)生理解有關(guān)實際背景，抽象概況出指數(shù)增長或衰減的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并歸納出它們的共性，從而抽象概況出指數(shù)函數(shù)的定義并能應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的模型解決有關(guān)的實際問題.

（一）指數(shù)函數(shù)概念抽象的問題鏈設(shè)計與剖析

例1：隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B兩地景區(qū)自2011 年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？（教材用表格給出了A，B兩地景區(qū)2011 年至2015 年的游客人次以及逐年增加量的數(shù)據(jù)）

對于例1，設(shè)計由如下4 個問題構(gòu)成的問題鏈：

問題1：用什么方法來表示表格中的數(shù)據(jù)能使表格數(shù)據(jù)更加直觀呢？

問題2：根據(jù)你的方法，你能發(fā)現(xiàn)兩景區(qū)游客人數(shù)的變化規(guī)律嗎？

問題3：年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？

問題4：我們把增加量為常數(shù)的變化方式稱為線性增長，增長率為常數(shù)的變化方式稱為指數(shù)增長.如果我們假定B地景區(qū)每年的游客人次的增長率均為0.11，并設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次是2001 年的y倍，y與x是函數(shù)關(guān)系嗎？如果是函數(shù)關(guān)系，能求出解析式嗎？

設(shè)計意圖：首先拋出問題1，引導(dǎo)學(xué)生利用圖象（散點圖）定性分析數(shù)據(jù).其次給出問題2，學(xué)生通過思考分析得出：由圖表，A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），年增加量大致相等（約為10 萬次）；B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長，年增加量越來越大，但是從圖象和年增加量都難以看出變化規(guī)律.然后給出問題3，引導(dǎo)學(xué)生理解增加量和增長率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個很重要的量，并通過類比用減法計算增加量得出用除法得到增長率.再通過運算得到B地景區(qū)每年的游客人次符合增長率為常數(shù)的變化規(guī)律.最后，通過問題4 引導(dǎo)學(xué)生對實際問題進行理想化假設(shè)，并從特殊到一般研究從2001 年開始，x年后B地景區(qū)的游客人次與2001 年的倍數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似的描述為：如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次是2001 年的y倍，則y=1.11x，x∈[0,+∞).通過用函數(shù)關(guān)系進一步刻畫B地景區(qū)的變化規(guī)律，從而引出用函數(shù)刻畫指數(shù)增長的問題，為抽象出指數(shù)函數(shù)作準(zhǔn)備.

通過這幾個遞進的問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生從利用散點圖直觀感知趨勢變化升華到更深層次的數(shù)據(jù)中蘊含的變化規(guī)律，從對知識的定性分析到數(shù)據(jù)的定量分析，幫助學(xué)生學(xué)會將實際問題進行理想化處理，學(xué)會從特殊到一般研究變化規(guī)律，并從數(shù)據(jù)處理的過程中培育了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)，從而引導(dǎo)學(xué)生的思維從淺表走向深層，促進了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

（二）指數(shù)函數(shù)定義的問題鏈設(shè)計與剖析

指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)y=ax（a>0 且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

例2：當(dāng)生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14 含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

對于例2 及指數(shù)函數(shù)概念的抽象，設(shè)計由如下5個問題構(gòu)成的問題鏈：

問題1：能否根據(jù)碳14 含量的半衰期求出死亡生物體內(nèi)碳14 含量的年衰減率？

問題2：生物體內(nèi)碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

問題3：像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.比較兩個實例：B地景區(qū)游客人次增長與碳14 衰減，它們所反映的變化規(guī)律分別從數(shù)據(jù)、圖象和解析式來看，有什么共同特征？

問題4：我們把上述函數(shù)y=1.11x和y=稱為指數(shù)函數(shù)，觀察這兩個函數(shù)形式上的特征，你能否給出指數(shù)函數(shù)的定義？

問題5：在定義中為何規(guī)定a>0 且a≠1?

設(shè)計意圖：學(xué)生已有例1 的基本活動經(jīng)驗。為了使學(xué)生進一步能夠遷移到教材問題2 的解決，即研究“生物體內(nèi)碳14 含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系”這一問題，設(shè)計問題1 引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般發(fā)現(xiàn)年衰減率p滿足(1-p)5730=在解方程的過程中復(fù)習(xí)指數(shù)的運算性質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)，求得p后，學(xué)生便能進一步解決問題2，得出死亡x年后，生物體內(nèi)碳14 的含量為y=，x∈[0,+∞).接下來通過3 個進階問題進行指數(shù)函數(shù)概念抽象的教學(xué)，首先問題3 引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)據(jù)、圖象、解析式等角度進行歸納概括，發(fā)現(xiàn)刻畫問題1 中的指數(shù)增長和問題2 中的指數(shù)衰減的函數(shù)的共同特征.接著問題4 引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較兩個買例，概括它們的本質(zhì)特征，從而得到指數(shù)函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，得出指數(shù)函數(shù)的定義.最后問題5 進一步深化對指數(shù)函數(shù)定義的理解.通過這5 個問題進一步滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)概念抽象的深度學(xué)習(xí).

二、指數(shù)函數(shù)概念的理解及應(yīng)用的問題鏈設(shè)計與剖析

（一）指數(shù)函數(shù)概念理解的教學(xué)

教材主要通過例1 及P115 頁的練習(xí)1 和練習(xí)2，從函數(shù)的種表示形式，加深學(xué)生對于指數(shù)函數(shù)概念的理解，教學(xué)時可以以教材內(nèi)容為主適當(dāng)變式，設(shè)計由如下5 個問題構(gòu)成的問題鏈：

問題1：例1 已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax（a>0 且a≠1），且f(3)=π，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

問題2：已知指數(shù)函數(shù)f(x)滿足f(3)=π，求f(-3)的值.

問題3：已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(2,4)，求f(-3)的值.

問題4：（教材P115 練習(xí)1）下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（ ）

問題5：（教材P115 練習(xí)2）已知函數(shù)y=f(x)，x∈R，且f(0)=3，，…，=2，n∈N*，求函數(shù)y=f(x) 的一個解析式.

設(shè)計意圖：問題1 通過求函數(shù)解析式，并根據(jù)解析式求不同的函數(shù)值，從指數(shù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律的角度理解指數(shù)函數(shù)的概念.問題2 則在例1 的基礎(chǔ)上進行簡單的變式，問題3 則通過對冪函數(shù)解析式的研究，指出指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別，這兩個問題能使學(xué)生進一步理解指數(shù)函數(shù)的概念.問題4 從圖象的角度引導(dǎo)學(xué)生用圖象表示指數(shù)函數(shù)，問題5 則進一步地從運算的角度理解指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，以開放題的形式培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)概念理解的深度學(xué)習(xí).

（二）指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用的教學(xué)

例2（1）在問題1 中，如果平均每位游客出游1 次可給當(dāng)?shù)貛?000 元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150 元，比較這15 年間A，B兩地旅游收入變化情況.

（2）在問題2 中，某生物死亡10000 年后，它體內(nèi)碳14 的含量衰減為原來的百分之幾？

教材主要通過例2 研究指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，教學(xué)時對于例2 的處理，建議以（1）為主進行教學(xué)，（2）則留作學(xué)生課后探究，對于例2（1）的教學(xué)，設(shè)計由如下4 個問題構(gòu)成的問題鏈：

問題1：可以用我們學(xué)過的什么關(guān)系來表示這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.

問題2：如何求A，B兩地旅游收入與所經(jīng)過的時間（年）的函數(shù)關(guān)系.

問題3：要比較這15 年間A，B兩地旅游收入變化情況，可以比較哪些方面，如何比較？

問題4：設(shè)原有量為N，每次的增長率為P，則經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y與x的關(guān)系是什么？

設(shè)計意圖：對于這一例題，學(xué)生只要對（1）研究清楚了，完全可以自主研究（2），由于本節(jié)課的教材內(nèi)容較豐富，因此在教學(xué)時要注意突出重點，著重研究（1）.如果直接就問比較兩地旅游收入變化情況，那么對于學(xué)生而言，難度較大，之前沒有相關(guān)的活動經(jīng)驗，因此將原問題分解為問題1、問題2 和問題3 引導(dǎo)學(xué)生逐步分析出比較的方法和比較的角度，即可以比較初始狀態(tài)、中間趨勢以及終止?fàn)顟B(tài)；可以通過運算和圖象進行比較，在同一直角坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，利用信息技術(shù)工具（幾何畫板、Geogebra 等）數(shù)形結(jié)合分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論等等.根據(jù)學(xué)生回答的情況，再讓學(xué)生閱讀教材關(guān)于這一問題的表述，使學(xué)生學(xué)會這類開放題的答題角度和答題規(guī)范.學(xué)生通過這一系列問題的解決，就能掌握這類開放式的應(yīng)用題的分析思路，并學(xué)會清晰規(guī)范地表達，更深層次地發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).問題4 則進一步升華，將模型一般化，并在學(xué)生得出y=N(1 +p)x，x∈N后，進一步總結(jié)出形如y=kax（k≠0，a>0，且a≠1）的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長獲指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型，并展示教材章引言中的良渚遺址的例子，從而進一步鞏固對指數(shù)函數(shù)概念的理解，進一步感知指數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用，實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)用的深度學(xué)習(xí).

（三）指數(shù)函數(shù)課后拓展問題鏈設(shè)計

基礎(chǔ)性作業(yè)：教材P115 練習(xí)3 及教材P119 習(xí)題2，4，5，7，8.

拓展性作業(yè)：

思考題1：基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=en描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0=1 +rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R03.28，T=6.據(jù)此可得，在新冠肺炎疫情初始階段，大約經(jīng)過幾天累計感染病例數(shù)增加1 倍？

思考題2：指數(shù)型函數(shù)f(x)=kax（k≠0，a>0，且a≠1）從x0到x0+△x的函數(shù)值的變化規(guī)律.

實踐題：閱讀教材P115 閱讀與思考，請你通過上網(wǎng)查詢，給出一個倍增的指數(shù)函數(shù)模型實例.

設(shè)計意圖：基礎(chǔ)性作業(yè)能讓大部分同學(xué)鞏固知識，增加學(xué)習(xí)的信心，而拓展性作業(yè)則是為思維層次更高的同學(xué)提供挑戰(zhàn)性的任務(wù)，能讓他們在解決富有挑戰(zhàn)性的問題中提高興趣，提升思維。這樣不同層次的問題作為作業(yè)有助于讓不同層次的同學(xué)都能得到相應(yīng)的發(fā)展.

三、指向深度學(xué)習(xí)的問題鏈設(shè)計建議

問題鏈教學(xué)為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和深度學(xué)習(xí)的實現(xiàn)提供了抓手.那么，該如何設(shè)計有效的問題鏈，更好地實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)呢？筆者建議在進行問題鏈教學(xué)時要注意做好以下幾點：

一是要精準(zhǔn)把握課標(biāo)要求、教材意圖、學(xué)生思維水平及思維生長點.教師只有理解了課標(biāo)和教材，才能更好地用好教材，最大程度地挖掘教材的價值，做到用教材教，而不是教教材.教師只有充分了解學(xué)情，才能根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的思維水平，設(shè)計出符合學(xué)生思維發(fā)展特點的問題，調(diào)動學(xué)生的積極性，發(fā)揮其潛能，超越其最近發(fā)展區(qū)而達到下一發(fā)展階段的水平，然后在此基礎(chǔ)上進行下一個發(fā)展區(qū)的發(fā)展.因此，要設(shè)計出符合學(xué)生思維水平的問題鏈，首先必須精準(zhǔn)把握課標(biāo)要求、教材意圖、學(xué)生思維水平及思維生長點.

二是要不斷學(xué)習(xí)，深入研究，根據(jù)課標(biāo)要求以及學(xué)生思維水平和思維生長點用好教材設(shè)計難度合適的起點問題，逐層深入、緊密關(guān)聯(lián)的過渡性問題，具有挑戰(zhàn)性的最終問題以及體現(xiàn)批判性思維的發(fā)展性問題.如何設(shè)計出這樣的問題鏈呢？首先，教材是專家們經(jīng)過多次打磨形成的成果，教師在教學(xué)中要立足教材、深挖教材意圖，對教材的問題情境進行加工，將教材問題進行創(chuàng)造性地整合和改造，設(shè)計出指向深度學(xué)習(xí)的好問題構(gòu)成的問題鏈.以本節(jié)課為例，筆者所設(shè)計的問題均依托教材并對教材的問題情境進行了深度加工.另外，由于不同學(xué)生之間的思維水平存在一定的差異，那么教師必須設(shè)計一些更具有挑戰(zhàn)性和發(fā)展性的問題任務(wù)供思維水平較高的學(xué)生思考，這樣才能促進這一群體的素養(yǎng)提升和深度學(xué)習(xí).因此，還需要尋找教材之外適合的素材進行加工，這就需要教師不斷學(xué)習(xí)，深入研究適合的挑戰(zhàn)性任務(wù).思考題是很好的形式，筆者任教的一個班級是廈門一中的競賽班，在教學(xué)中，筆者在每節(jié)課中都會留適當(dāng)?shù)乃伎碱}給學(xué)生課后思考，在日積月累中，有效地提升了學(xué)生的思維，發(fā)展了他們的核心素養(yǎng).

三是問題的解決要讓學(xué)生充分思考、充分表達.只有讓學(xué)生充分思考和表達，才能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，不斷產(chǎn)生思維沖突，進而在教師的引導(dǎo)下逐步解決問題，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考，從能解題升華到會解決問題。教師也只有將課堂的時間還給學(xué)生，以學(xué)生為主體，為學(xué)生的學(xué)習(xí)指引方向、指導(dǎo)方法，才能成為學(xué)生深度學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人，才能讓核心素養(yǎng)培養(yǎng)得到落實，讓深度學(xué)習(xí)成為可能.

總之，問題是數(shù)學(xué)的心臟，好問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的催化劑.作為新時代的數(shù)學(xué)教師，我們要在教學(xué)中努力設(shè)計由若干好問題構(gòu)成的問題鏈，以此提高學(xué)生的分析和解決問題的能力，特別是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，引導(dǎo)他們更好地用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達世界，促進他們高階思維的發(fā)展，提高他們解決問題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，使他們學(xué)會像數(shù)學(xué)家一樣深度思考.