整體與關聯理念導向下的初中數學教學探析

陳吉標

（大田縣第五中學，福建 大田 366199）

在教學實踐中，常有一部分中學生在數學學習過程中遇到上升瓶頸。究其原因，是這些學生頭腦里沒有形成初中數學的知識結構、知識體系、知識關聯和知識應用的邏輯體系。這些學生頭腦里的定義、公式、定理法則等知識彼此是孤立的知識點，很難在不同單元、不同問題中進行知識遷移。而之所以會如此，與教師只重視數學知識的傳授而忽略學生學科素養培養有關。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：“為了實現核心素養導向的教學目標，不僅要整體把握教學內容之間的關聯，還要把握教學內容主線與相應核心素養發展之間的關聯。”因此，教師應擁有整體視野，從關聯視角看待教材內容、方法和思想，教學過程引導學生發現知識內部存在的關聯性，將思想與方法進行提煉、總結、歸類與融通。文章以2014 年北師大版初中數學教材的內容為例，就整體與關聯導向下的初中數學教學進行探索。

一、對初中數學“整體”與“關聯”的認識

（一）整體、關聯概念的理解與導向意義

整體，是對初中數學中將代數或幾何知識某一部分內容看成一個“整體”，教師在教學某一知識點時不是孤立地針對這一知識點進行施教，而是站在“整體”的高度，對這一知識點的教學進行設計、施教，同時引導學生用聯系的思維將這一知識點同以往學過的相關、相似、相異的知識點聯系起來一起學習。關聯，是對初中數學某一知識點用聯系的觀點將相關、相似、相異的內容聯系起來進行設計、施教；同時引導學生自主查找相關、相似、相異的內容，并在對比中進行探究學習。

整體、關聯理念導向下的教學有利于學生建構初中數學知識體系、知識結構和知識應用。建構知識的整體性、關聯性課堂就是要求教師在教學中引領學生整體、系統地研究問題，用整體觀學習所學的內容，用聯系的觀點將所學的內容與其相近、相似內容或似乎沒有關系的知識之間架起一座橋梁。這有利于學生自覺地進行深度學習，提高學習能力。

（二）整體、關聯理念導向下的教學關注點

1.關注數學概念。數學概念是數學知識的基礎，正確理解數學概念是理解運用數學定理、公式、圖形、符號的前提。當學生學的數學概念越來越多時，學生對數學概念的理解就可能出現混亂，影響了后續基礎知識的學習。因此，在教學數學概念時要從整體、關聯上對數學概念進行施教，通過整體性的教學讓學生分清這個數學概念在某一個整體范圍內其特殊性所在；通過關聯性的教學讓學生分清這個數學概念與其他相似數學概念的區別。

2.關注公式、定理。初中數學有一定量的公式、定理法則，這些公式、定理法則不僅需要學生記住，更需要學生靈活運用，但學生在學習數學公式、定理法則時常出現記錯、用錯的現象。究其原因是對相似公式未能正確區別，對定理法則的意義及形成過程沒有正確理解。所以，對公式、定理法則的教學要加強對比，關聯相關、相似的公式定理法則，讓學生對所學的內容用準用好。

3.關注數學思想方法。數學思想方法是數學問題解決的靈魂，對于一些綜合性較強或難度較大的題目形成正確的數學思想方法是解題的關鍵。通過整體性和關聯性關注數學思想方法的教學有利于培養學生數學思維能力和解決問題的能力，讓學生的數學學習能力提升一個臺階。

4.關注典型例題。數學能力的體現主要在于解題，而解題能力的培養離不開對典型例題的教學。典型例題教學的目的是讓學生“做一題，會一類”。教材中有大量的例題、習題，這些例題、習題題目雖然各不相同，但解題思路、解題方法均有規律可循，并且有許多的規律是相近或相似的。所以例題教學不能孤立地就例題講例題，而要從這個例題的類別出發，聯系相關的例題、習題進行分析，找出異同點，總結出同一類別的題型解法。

二、整體、關聯理念在初中數學教學中的運用探析

（一）用整體、關聯理念進行新知識教學

1.概念、公式的教學要重視相似或相異概念的關聯對比

數學概念相對比較抽象，這些數學概念有的用語言陳述，有的用式子表達。在教學實踐中，發現一些學生對數學概念的本質特征理解不到位，導致對概念的混淆錯解。因而，若將所學的概念同相似或相異概念關聯對比則可減少學生對所學概念混淆錯解現象的發生。例如，在教學二次函數概念一節，可同一次函數、反比例函數概念關聯對比，如下表：

通過本表的關聯對比，學生可以加深對用式子表達的數學概念的理解，從整體上把握初中三種函數的概念，并且能較好地區別這些函數的本質特征。

2.定理、法則的教學要重視整體或縱向的關聯對比

定理、法則是證明的主要依據。在初中數學里，定理一般指平面幾何中的定理，這些定理主要分兩類：一類是判定定理，另一類是性質定理。法則一般指代數中的運算法則。一些學生對定理法則能背誦，也能理解其所表達的意義，但不能靈活運用，主要原因是對定理法則的作用沒有弄清，沒有從定理法則的整體性去理解它的作用所在。所以對定理法則的教學不能孤立地講解，而要引導學生弄清定理法則的形成過程和它所在背景下的作用。教學時，可引導學生尋找定理法則背景的整體框架下的作用，并關聯相關的定理法則，讓學生弄清楚探究定理法則形成的意義和具體作用。例如，等腰三角形判定定理一節（八下P8）的教學，可以引導學生進行如下探究。

（1）探究背景：研究一個圖形兩邊相等或兩角相等的問題可用全等三角形來解決。用這一方法我們得到等腰三角形的哪些性質？

（2）探究元素：等腰三角形的判定所要的條件是兩邊相等還是兩角相等？

⑶定理類別：這個定理是判定定理，還是性質定理？

（4）條件結論：定理的條件是什么？結論是什么？

（5）定理作用：這個定理可作為等腰三角形的判定方法之一，判定一個三角形是否為等腰三角形，從邊看需要具備什么條件（定義判定）？從角看需要具備什么條件（定理判定）？

（6）定理關聯：與這個定理相關聯的定理有哪些？它們之間有何區別？

（7）定理延伸：用研究等腰三角形的判定、性質的方法研究等邊三角形、有一角為30°的直角三角形的判定、性質。

學生在這些問題的引導下，不僅探究了等腰三角形的一個判定定理，而且還能區別等腰三角形判定定理與性質定理的不同，運用整體和關聯的思維，站在一個較高的點來學習等腰三角形的判定定理就顯得輕松自如，對定理的運用問題也迎刃而解。

（二）用整體、關聯理念進行解題教學

1.典型例題教學要關注數學思想方法的整體運用

例題是教材的重要內容，是數學概念、公式、定理法則的具體運用。例題的解答蘊含著數學思想方法，初中數學常用的數學思想有函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想、分類討論思想、圖形運動思想、數學模型思想等；常用的數學方法有待定系數法、配方法、換元法、消元法、構造法、圖象法等。一個例題或習題的解答一般都會蘊含著一種或幾種數學思想方法。學生對數學思想方法的掌握來自例題的學習和完成一定量的練習。其中通過例題學習數學思想方法是重要的途徑。因此，例題教學不能只滿足幫助學生分析題目的解答過程，而應引導學生挖掘解答過程所蘊含的數學思想方法。當學生掌握了解題的數學思想方法，例題教學才能實現“做一題，會一類”的目標。例如在“確定二次函數的表達式”一節例2（九下P44），如果直接講解例題的解答過程，學生也能理解，或者學生自學也能看懂，但是這種沒有“深挖”的學習，很難達到舉一反三的目的，題目稍微變一下學生就無從下手了。要讓學生學到例題中的精髓，就要引導學生進入深度學習，為學生設計整體、關聯的深度學習“腳手架”。

題目：已知二次函數圖象經過（-1，10），（1，4），（2，7）三點，求這個二次函數表達式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標。

問題引領：

（1）求函數的表達式這類題型，前面有學過哪些例題？這些例題的解法叫什么方法？（九下P42 例1，八上P127 例）

（2）什么情況下可以用待定系數法？用待定系法解題的主要步驟有哪些？嘗試解答此題。

（3）本題為何可用待定系數法？有無其它方法可求出這個二次函數的表達式？

（4）本題求二次函數的對稱軸和頂點坐標，用到了什么方法？請用兩種以上的方法求解。

學生在這些問題的引領下進行自主學習，雖然學習的是一個例題，但掌握的是解決這類問題的通用方法。

2.典型例題教學要關注題型解法的橫向關聯變式

初中數學的例題往往是針對本節內容設計的，綜合性不大，有的例題也較難體現數學思想方法。如果只是就題講題，學生的收獲僅局限于這一例題所包含的知識點，不利于學生數學思維能力和解題能力的培養。整體、關聯理念導向下的例題教學可以將例題進行橫向關聯變式，即對例題所涉及的知識點尋找其更大范圍的知識體系進行橫向關聯變式，特別是在總復習中所設計的例題更需要進行橫向關聯變式，讓例題所蘊含的數學思想方法更加凸顯，使例題增加更多的“附加值”。例如，關于一次函數單元復習，我們可設計如下例題并進行橫向關聯變式。

例題：已知一次函數y=kx+b 的圖象經過A（-3，-2），B（1，6）兩點，求此函數的解析式。（復習待定系數法、二元一次方程組的解法）

變式1：當m、n 為何值時，函數y=（2m-1）x+（3n+2）是一次函數？當m、n 為何值時，此函數的圖象與y軸的交點在x 軸的下方？（復習一次函數的概念、一元一次不等式的解法）

變式2：若函數y=（2m-1）x+2 是一次函數，當m 為何值時，y 的值隨x 的增大而增大？當m 為何值時，y的值隨x 的增大而減小？當m 為何值時，函數的圖象經過點（1，0）？（復習一次函數圖象的性質、分類討論方法、一次函數與一元一次方程的關系）

變式3：若y-1 與x+2 成正比例且x=0 時，y=3，寫出y 與x 之間的關系式。（復習成正比例的概念、待定系數法）

變式4：畫出函數y=2x+4 的圖象，并回答：當x 為何值時，y>2？當x 為何值時，-3

變式5：若直線y=kx+b 平行直線y=3x-1 且過點（-2，1），求k、b 的值。（復習兩直線的位置關系、數形結合方法）

變式6：若一次函數y=2x+b 的圖象與坐標軸圍成的三角形面積是16，求b 的值。（代數、幾何相結合，復習數形結合方法、分類討論方法。）

在解題教學中，整體性、關聯性的變式教學在總復習中運用廣泛，一個例題講解完后將它所在的整體背景知識和相關聯的知識點結合起來進行變式，可大大提高復習效率。本例中進行6 個變式，可讓學生對一次函數的主要內容作了一次較全面的復習，同時復習了一些數學思想方法的運用，提高了學生的解題能力。

（三）用整體、關聯理念進行單元教學

初中數學的一個章節，一般就是一個單元，但對一個章節的教學不等于是單元教學，單元教學是從一個整體的角度去把握全章知識的教學，對每一知識點的教學既有其獨立性，又有其聯系性。教材中一個章節知識的呈現一般分為兩類：遞進式和并列式。遞進式的章節知識點的面越來越大，后面的知識總是以前面的知識為基礎；并列式的章節知識點并列獨立呈現，呈現的方法相似。教學時要引導學生分析章節的知識結構，“先總后分，前后聯系”，從整體出發搭建單元知識結構并引以學習方法，讓學生進入單元深度學習。例如，“特殊平行四邊形”（九上第一章）的教學可以進行如下單元設計。

分析：本章為并列式知識章節，分別陳述三種特殊的平行四邊形，即菱形、矩形、正方形，每種圖形的主要內容均為三個：定義、性質、判定。這三種圖形的共同點都是平行四邊形，都具有平行四邊形的性質。三種圖形特殊在哪里，有哪些性質，怎么判定？可用問題導學，引導學生探究學習。

1.對特殊平行四邊形定義的探究

（1）一個平行四邊形的邊如何特殊就變成菱形？角如何特殊就變成矩形？邊和角都如何特殊則變成正方形？

（2）畫圖分別說明菱形、矩形、正方形的定義。

（3）菱形的內角如何特殊化就變成正方形？矩形的邊如何特殊化就變成了正方形？是否可以說正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形？

2.對特殊平行四邊形性質的探究

（1）從邊、角、對角線三個方面研究菱形、矩形、正方形與一般的平行四邊形對比各有哪些特殊性質？

（2）分別寫出菱形、矩形、正方形的性質定理并畫出圖形，用幾何語言表示。

3.對特殊平行四邊形判定的探究

（1）用定義如何判定一個平行四邊形是菱形？矩形？正方形？請用幾何語言表示。

（2）從邊、角、對角線三個方面研究，一個平行四邊形加上什么條件就可判定為菱形？矩形？正方形？如果是一個四邊形則需要加上什么條件才可判定為菱形？矩形？正方形？

（3）分別寫出菱形、矩形、正方形的判定定理，并用幾何語言表示。

4.特殊平行四邊形的性質定理與判定定理有何區別？在具體運用中關鍵看什么？

從教材的安排上看，本章的教學一般需要10 課時，如果用整體、關聯理念按上述導學任務引導學生自主學習，一般只要6 課時，而且可以較大地提高教學效果：第一課時先由教師布置本單元學習任務，展示導學問題，介紹學習方法；第二課時讓學生展示1、2項學習成果（特殊平行四邊形的定義、性質），教師答疑指導；第三課時讓學生展示3、4 項學習成果（特殊平行四邊形的判定及與性質的區別），教師答疑指導；第四、第五課時是知識運用、拓展和補充，規范學生解題格式，并引導學生進行解題總結和關聯對比；第六課時對本章進行總結復習。

本章的單元教學教師引導學生抓主兩條主線：一條是研究內容的主線，即定義、性質、判定；另一條是研究方法的主線，即從平行四邊形的邊、角、對角線三個方面進行研究。雖然探究的有三種圖形，但探究的“套路”都相同，易于學生學習。這種引導學生從整體、關聯角度去進行單元學習的方法，有利于學生站在知識結構的高度和抓住知識間的聯系把握一個章節的重難點，能較好地提高學生的學習能力。