波前編碼對(duì)同軸反射系統(tǒng)失調(diào)像散鈍化研究

黃浩陽(yáng)， 王合龍， 陳建發(fā)， 許飛翔， 劉學(xué)松

(1.光電控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471000;2.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司洛陽(yáng)電光設(shè)備研究所，河南 洛陽(yáng) 471000)

1 概述

光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到各種光學(xué)像差的制約，傳統(tǒng)光學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中為了提升光學(xué)系統(tǒng)的成像性能，需要對(duì)各類光學(xué)像差進(jìn)行校正和平衡，從而使會(huì)聚光束的彌散斑接近衍射極限，盡可能完整地對(duì)目標(biāo)信息進(jìn)行采集。1976年，天文學(xué)家在一張?zhí)厥馄毓獾男强請(qǐng)D像中發(fā)現(xiàn)了“雙節(jié)點(diǎn)”像散現(xiàn)象(如圖1所示)，并對(duì)此開(kāi)展了一系列研究。SHACK，BUCHROEDER等提出了矢量像差理論，而后THOMPSON詳細(xì)分析了三階、五階矢量像差的多節(jié)點(diǎn)性質(zhì)和視場(chǎng)相關(guān)性[1-2]。研究顯示，已校正三階像差的系統(tǒng)在失調(diào)時(shí)會(huì)出現(xiàn)特殊的多節(jié)點(diǎn)像差，影響系統(tǒng)的成像質(zhì)量。矢量像差理論為反射系統(tǒng)的失調(diào)校正以及初始結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了一個(gè)良好的分析工具[3-5]。

圖1 雙節(jié)點(diǎn)像散現(xiàn)象

隨著計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理能力的增強(qiáng)，計(jì)算光學(xué)成像技術(shù)迅速發(fā)展，其將傳統(tǒng)光學(xué)設(shè)計(jì)與數(shù)字圖像處理技術(shù)有機(jī)結(jié)合的設(shè)計(jì)理念，為光學(xué)成像開(kāi)辟了一條新的道路，逐步發(fā)展出了波前編碼、廣域高分辨成像、單像素成像、光場(chǎng)成像等多條分支[6-7]，其中，波前編碼是計(jì)算光學(xué)較為典型的應(yīng)用技術(shù)。波前編碼技術(shù)最早由美國(guó)科羅拉多大學(xué)的學(xué)者DOWSKI和CATHEY于1995年提出[8]，利用非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的掩膜板對(duì)波前相位進(jìn)行調(diào)制，再通過(guò)一定的復(fù)原算法恢復(fù)圖像信息，從而擴(kuò)大光學(xué)系統(tǒng)的焦深。隨后國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究迅速開(kāi)展[9-13]，國(guó)內(nèi)圍繞波前編碼的研究取得了許多進(jìn)展，掩膜板構(gòu)型也發(fā)展出了高次方型、三角函數(shù)型等不同形式。三次相位板擴(kuò)展景深的本質(zhì)是通過(guò)引入特定的相位使系統(tǒng)對(duì)離焦像差不敏感，基于這一思路，2017年，史要濤[14]研究了波前編碼系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)單光學(xué)系統(tǒng)初級(jí)像差的鈍化作用并將相位板應(yīng)用于共形整流罩的優(yōu)化。

本文從矢量像差的角度出發(fā)，通過(guò)穩(wěn)相法推導(dǎo)了典型的三次方相位板對(duì)同軸光學(xué)系統(tǒng)在微小失調(diào)量狀態(tài)下產(chǎn)生的失調(diào)像散的鈍化作用。設(shè)計(jì)了一套卡塞格林折反射望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，將三次相位板與會(huì)聚鏡組融合置于望遠(yuǎn)鏡組出瞳處實(shí)現(xiàn)相位調(diào)制，將元件設(shè)置一定的偏心后對(duì)比了系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)，利用CODEV進(jìn)行了成像仿真，并利用算法對(duì)采集的模糊圖像進(jìn)行了復(fù)原。

2 光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)像差

2.1 波像差與矢量像差理論

理想光學(xué)系統(tǒng)能夠?qū)⑼晃稂c(diǎn)發(fā)出的光匯聚于一點(diǎn)，像方空間的波前是理想球面波，但對(duì)于一般光學(xué)系統(tǒng)而言，匯聚于像面的波前由于受到各種像差的影響而不再是標(biāo)準(zhǔn)球面波。用波像差W表示真實(shí)波前與標(biāo)準(zhǔn)球面波之間的光程差，W可表示為視場(chǎng)矢量H、光瞳孔徑矢量ρ的冪級(jí)數(shù)，并可與正交的澤尼克圓多項(xiàng)式一一對(duì)應(yīng)。在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱光學(xué)系統(tǒng)的像差場(chǎng)中，系統(tǒng)繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)時(shí)H，ρ的模及二者的夾角是不變的，如圖2所示。

圖2 視場(chǎng)矢量與光瞳矢量示意圖

因此，波像差可展開(kāi)為

(1)

式中：k=2p+m;l=2n+m；φ表示視場(chǎng)矢量與光瞳矢量的夾角；

|h

|,

|ρ

|分別為視場(chǎng)矢量、光瞳矢量的模長(zhǎng)。

在光學(xué)系統(tǒng)中，元件的偏心或傾斜會(huì)破壞系統(tǒng)的對(duì)稱性，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的像差理論無(wú)法處理此類問(wèn)題。1976年，Bok天文望遠(yuǎn)鏡對(duì)一片星空進(jìn)行了9次曝光，照片出現(xiàn)了特殊的雙節(jié)點(diǎn)像散現(xiàn)象，即僅在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處無(wú)像散，SHACK及其學(xué)生對(duì)此展開(kāi)了研究，提出了矢量像差理論。在偏心傾斜系統(tǒng)中，像差場(chǎng)的對(duì)稱中心不再是光軸與入瞳中心的交點(diǎn)，但其分布未發(fā)生改變。在像面處像差場(chǎng)對(duì)稱中心的位置發(fā)生了如圖3所示的偏移。

圖3 有效視場(chǎng)矢量示意圖

像差場(chǎng)對(duì)稱中心相對(duì)光軸光學(xué)與像面交點(diǎn)的偏移量用矢量σ表示，系統(tǒng)的像散、慧差、球差等以σ末端為中心對(duì)稱分布，每個(gè)元件的偏心和傾斜對(duì)σ都有一定的貢獻(xiàn)量。用Haj來(lái)表示有效視場(chǎng)矢量，代替式(1)中的視場(chǎng)矢量，即可得到失調(diào)系統(tǒng)的矢量波像差。

為方便計(jì)算，SHACK定義了不同于點(diǎn)積和叉積的新運(yùn)算法則——矢量乘法法則，兩矢量A，B相乘后模長(zhǎng)為二者模的乘積，AB的夾角為A，B兩個(gè)分量夾角之和，兩矢量相乘后仍為矢量，數(shù)學(xué)表達(dá)方式為兩矢量連在一起，不加任何符號(hào)。矢量乘法示意圖見(jiàn)圖4。

圖4 矢量乘法示意圖

2.2 光學(xué)系統(tǒng)的失調(diào)像差

三級(jí)矢量波像差中，像散和場(chǎng)曲表示為

W222(H·ρ)2+W220(H·H)(ρ·ρ)。

(2)

通常像散是以弧矢像面為參考定義的，借助三角函數(shù)運(yùn)算與矢量乘法展開(kāi)后可得到用中間像面定義的像散和場(chǎng)曲為

(3)

式中，H2，ρ2為按照乘法法則計(jì)算的矢量。對(duì)于像散項(xiàng)，使用有效視場(chǎng)矢量代入式(3)后，整理可得

(4)

由上述公式可知，光學(xué)系統(tǒng)即使已經(jīng)校正了三級(jí)像散，失調(diào)后仍會(huì)產(chǎn)生視場(chǎng)一次相關(guān)像散和視場(chǎng)恒量像散。

3 波前編碼對(duì)失調(diào)像散的鈍化作用

大口徑反射式光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量受到彗差和像散影響較大，本文針對(duì)失調(diào)系統(tǒng)的像散開(kāi)展研究，分析典型的三次相位板波前編碼成像系統(tǒng)對(duì)于失調(diào)引起的像散的鈍化作用。

3.1 波前編碼理論基礎(chǔ)

波前編碼系通過(guò)在光瞳處添加具有特殊相位調(diào)制功能的掩膜板對(duì)波前進(jìn)行編碼調(diào)制，一個(gè)經(jīng)過(guò)波前調(diào)制的光學(xué)系統(tǒng)，在入瞳處波前的相位分布可用含有波像差的廣義光瞳函數(shù)P表示為

(5)

式中，k為波矢，此處作為標(biāo)量參加運(yùn)算。非相干光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)OTF可表示為廣義光瞳函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，即

(6)

式中，u，v分別為空間坐標(biāo)x，y的空間頻率。對(duì)于含有快變相位因子的函數(shù)積分，被積函數(shù)快速振蕩，無(wú)法求出解析解，此時(shí)一維情況下可按照穩(wěn)相法計(jì)算，二維情況下可用最快速下降法計(jì)算。二者本質(zhì)相同，利用振蕩的相位項(xiàng)僅在穩(wěn)相點(diǎn)(駐點(diǎn))處對(duì)積分有貢獻(xiàn)的特性，利用泰勒展開(kāi)對(duì)被積函數(shù)作近似處理，最終求得積分解。對(duì)于積分

(7)

其積分值近似等于各駐點(diǎn)x=xi處積分的總和，若在積分區(qū)域內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn)x=x0，則其值等于無(wú)窮區(qū)域積分。在鞍點(diǎn)處對(duì)被積函數(shù)作泰勒展開(kāi)并整理，得到結(jié)果為

(8)

式中，π/4為菲涅爾積分算得的常數(shù)項(xiàng)。

3.2 失調(diào)像散的鈍化特性

采用典型的三次方相位板對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行編碼調(diào)制，含有失調(diào)三級(jí)像散的光瞳函數(shù)可表示為

(9)

先考慮式(4)中第一項(xiàng)視場(chǎng)二次方像散，系數(shù)1/2對(duì)推導(dǎo)過(guò)程影響不大，為計(jì)算方便先略去。

(10)

式中，θ為視場(chǎng)相關(guān)矢量H2與x軸的夾角。根據(jù)上文所述矢量乘法法則，光瞳相關(guān)矢量ρ2=(x2-y2)ei+2xyej。將ρ2代入光學(xué)傳遞函數(shù)并展開(kāi)后可得

(11)

分離變量并進(jìn)行積分，定義積分

(12)

(13)

用ψ表示像散第一項(xiàng)對(duì)OTF的貢獻(xiàn)，推導(dǎo)過(guò)程中省略了歸一化系數(shù)，對(duì)結(jié)果分析無(wú)影響。觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)相位板系數(shù)α取得足夠大時(shí)，像散中第一項(xiàng)對(duì)OTF影響較小可以忽略。

圖5 像面處像差場(chǎng)偏移矢量

綜上，當(dāng)相位板參數(shù)α取得非常大時(shí)，傳遞函數(shù)可近似為式(14)，雖然其值略小但不同空間頻率下的OTF幾乎不受式(4)中失調(diào)像散WAST3的影響，因此經(jīng)過(guò)三次相位板編碼的光學(xué)系統(tǒng)對(duì)于失調(diào)產(chǎn)生的像散項(xiàng)均不敏感。

(14)

4 仿真驗(yàn)證

以一個(gè)具有外部冷光闌的卡式折反光學(xué)系統(tǒng)為例，設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。采用長(zhǎng)波探測(cè)器，像元大小30 μm×30 μm，前端卡式折反望遠(yuǎn)系統(tǒng)放大率約8倍，物理尺寸不超過(guò)250 mm×250 mm×250 mm。

表1 光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)

優(yōu)化后的光學(xué)系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 光學(xué)系統(tǒng)圖

在實(shí)現(xiàn)100%冷光闌效率的同時(shí)將會(huì)聚鏡組的入瞳優(yōu)化至第一片透鏡處，在第一面上加工三次自由曲面以實(shí)現(xiàn)相位調(diào)制，與前端望遠(yuǎn)系統(tǒng)光瞳匹配后，系統(tǒng)可良好成像。將相位板置于會(huì)聚系統(tǒng)入瞳處可以使其對(duì)來(lái)自望遠(yuǎn)鏡組不同視場(chǎng)的平行光調(diào)制作用相同，確保不同視場(chǎng)的傳遞函數(shù)一致性良好。

為便于裝調(diào)，設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)卡式主次鏡單獨(dú)進(jìn)行了優(yōu)化，使得一次像點(diǎn)處成像質(zhì)量良好，主次鏡成像的調(diào)制傳遞函數(shù)(MTF)接近衍射極限，如圖7所示。

圖7 主次鏡單獨(dú)成像的MTF

設(shè)計(jì)會(huì)聚系統(tǒng)時(shí)，將相位板與鏡組進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)，使用透鏡第一面承擔(dān)相位調(diào)制功能，第二面承擔(dān)一定的光焦度，系統(tǒng)不增加額外相位板，僅使用3片透鏡完成會(huì)聚鏡組和波前編碼的設(shè)計(jì)，并使用CODEV與Matlab聯(lián)合優(yōu)化計(jì)算得到最優(yōu)相位板參數(shù)。

最終自由曲面參數(shù)為10-5量級(jí)，元件口徑20 mm左右，其矢高變化平緩無(wú)突變。現(xiàn)有的自由曲面加工精度可達(dá)亞微米量級(jí)，目前市場(chǎng)應(yīng)用的精密單點(diǎn)金剛石車削技術(shù)可以滿足加工要求。計(jì)算全息補(bǔ)償(CGH)法可對(duì)自由曲面進(jìn)行檢測(cè)，目前應(yīng)用較為成熟，根據(jù)相位板面型設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的CGH元件后，使用干涉儀測(cè)試元件面型。

在CODEV中使用多重結(jié)構(gòu)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的次鏡設(shè)置微小失調(diào)，失調(diào)狀態(tài)Z1，Z2，Z3，Z4的次鏡傾斜角度分別為0°，0.1°，0.2°，0.3°。

若系統(tǒng)不進(jìn)行波前編碼，相位板參數(shù)設(shè)置為0，在不同失調(diào)狀態(tài)下系統(tǒng)MTF如圖8所示。

圖8 常規(guī)系統(tǒng)不同狀態(tài)下MTF

而波前編碼系統(tǒng)在不同失調(diào)狀態(tài)下的MTF如圖9所示。可見(jiàn)，經(jīng)過(guò)波前編碼調(diào)制的光學(xué)系統(tǒng)在不同失調(diào)量下MTF一致性相對(duì)較好，且并未出現(xiàn)截止，能夠?qū)崿F(xiàn)信息的采集。通常在設(shè)計(jì)過(guò)程中，次鏡的傾斜公差控制在0.1°之內(nèi)，因此本文設(shè)置最大0.3°的偏移量能夠證明相位板的有效性。

圖9 波前編碼系統(tǒng)不同狀態(tài)下MTF

波前編碼系統(tǒng)采集到圖像后，需要進(jìn)行計(jì)算解碼，本文使用超拉普拉斯先驗(yàn)快速去卷積算法[15]對(duì)模糊的中間像進(jìn)行復(fù)原，算法模型為

(15)

式中：MN，i分別表示1幅M×N的圖像及其中的第i個(gè)像素；括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為保真項(xiàng)；λ為懲罰因子；第二項(xiàng)是基于超拉普拉斯模型的正則項(xiàng)，F(xiàn)1和F2為梯度算子濾波器，通常取F1=(1-1)和F2=(1-1)T來(lái)獲取圖像的水平梯度與豎直梯度；h表示先驗(yàn)PSF；f表示清晰圖像；g為采集到的模糊圖像。

利用CODEV的二維圖像仿真功能對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的成像進(jìn)行仿真，并利用算法對(duì)模糊圖像進(jìn)行復(fù)原，復(fù)原后結(jié)果對(duì)比情況如圖10所示。

圖10 常規(guī)系統(tǒng)和波前編碼系統(tǒng)成像對(duì)比

由圖10可知，添加了XY多項(xiàng)式自由曲面進(jìn)行波前編碼的光學(xué)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)計(jì)算解碼后最終成像效果良好，而無(wú)編碼的光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量隨著失調(diào)量增大而逐漸變差。

在計(jì)算過(guò)程中，由于失調(diào)系統(tǒng)的PSF與無(wú)失調(diào)時(shí)的PSF存在一定的差異，先驗(yàn)信息不夠準(zhǔn)確，因此復(fù)原圖像中會(huì)出現(xiàn)“偽像”，對(duì)成像質(zhì)量有一定影響。但整體而言，絕大多數(shù)高頻信息得到了良好的復(fù)原。

通常，圖像的復(fù)原效果用均方誤差(MSE)和峰值信噪比(PSNR)以及主觀評(píng)價(jià)法來(lái)評(píng)判，近年來(lái)，結(jié)構(gòu)相似性指數(shù)(SSIM)也逐漸被作為圖像評(píng)價(jià)指標(biāo)使用。SSIM包含了圖像的亮度、對(duì)比度以及結(jié)構(gòu)3個(gè)方面，由于人眼的視覺(jué)特性，SSIM相較于PSNR更加符合人眼對(duì)于圖像質(zhì)量的判斷。不同離焦量下有編碼光學(xué)系統(tǒng)和無(wú)編碼光學(xué)系統(tǒng)的成像客觀評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 常規(guī)系統(tǒng)與波前編碼系統(tǒng)成像PSNR及SSIM

綜合客觀評(píng)判和主觀評(píng)判，波前編碼和復(fù)原重建對(duì)不同失調(diào)狀態(tài)下光學(xué)系統(tǒng)的成像性能有良好的改進(jìn)作用。

5 結(jié)論

本文從矢量像差的基本理論出發(fā)，推導(dǎo)了光學(xué)系統(tǒng)出現(xiàn)傾斜時(shí)產(chǎn)生的失調(diào)像散，從理論上計(jì)算了三次相位板對(duì)失調(diào)像散的鈍化作用。利用卡式折反光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，三次相位板可在一定程度上使得光學(xué)系統(tǒng)對(duì)元件傾斜帶來(lái)的失調(diào)像散不敏感，經(jīng)過(guò)計(jì)算解碼后，系統(tǒng)成像效果良好，這對(duì)于加工裝調(diào)過(guò)程中不可避免的微小偏差有抑制作用，對(duì)提高復(fù)雜環(huán)境下工作的光學(xué)系統(tǒng)的環(huán)境適應(yīng)性具有一定價(jià)值。