平板靜電四極透鏡的電場及其數(shù)值模擬

王福謙，廖明芳

（1.長治學(xué)院 物理系，山西 長治 046011；2.同安中學(xué)，四川 成都 610100）

文獻(xiàn)[1]對靜電透鏡的點(diǎn)聚焦特性進(jìn)行了分析與仿真，文獻(xiàn)[2-4]分別用CST、ANSYS 軟件和阻尼最小二乘法對靜電透鏡進(jìn)行了仿真與優(yōu)化設(shè)計，文獻(xiàn)[5-6]分別用改進(jìn)型的Poweell 為基礎(chǔ)的有約束參數(shù)方法及龍格-庫塔法對靜電透鏡進(jìn)行了設(shè)計和模擬計算，文獻(xiàn)[7]用Lie 代數(shù)方法分析了帶電粒子在靜電四極透鏡中的非線性傳輸，但對靜電透鏡電場分布定量研究，有關(guān)文獻(xiàn)還鮮見涉及。為此，文章擬將保角變換法、格林函數(shù)法和計算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，研究平板靜電四極透鏡的電場，得到其電勢和場強(qiáng)分布函數(shù)，利用軟件MATLAB 對場分布進(jìn)行數(shù)值模擬，畫出其電場線和等勢線圖，并闡明平板靜電四極透鏡對電子束的聚焦原理。

1 電勢與電場強(qiáng)度

平板靜電四極透鏡由間距為h、電勢分別為U1及U2（U1＜U2）的兩組互相平行的極板組成，各平板長度為L1，極板的寬度為L2，且L1＞L2，左、右兩組極板的間距為2d，其沿寬度方向的截面如圖1 所示。若忽略長度方向的邊緣效應(yīng)，則在垂直于極板長度方向的所有截面上的電場分布都相同，故可取任一截面為z平面來討論電勢和場強(qiáng)在其上的分布（見圖1）。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)可將z平面上 水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數(shù)法計算z平面上平板靜電四極透鏡的電勢分布，可作如下的保角變換[8]

圖1 平板靜電四極透鏡的橫截面

經(jīng)變換式（1），z平面上由平板電極位置所限定的水平帶形域 ，就映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上各平板電極橫截面的位置及其坐標(biāo)可由式（1）確定，如圖2 所示。

圖2 變換后的上半平面

經(jīng)此變換后，z平面上平板電極間電勢分布就變換為ζ平面上的位于其上半平面如下的邊值問題對式（2）應(yīng)用格林函數(shù)法[9]，可得ζ平面上的電勢分布為

由場強(qiáng)與電勢的微分關(guān)系E=-φ? ，利用式（6）可得

式（7）為平板靜電四極透鏡電場的場強(qiáng)表達(dá)式。

2 電子束靜電聚焦原理

2.1 平板靜電四極透鏡電場分布的數(shù)值模擬

為了給出平板靜電四極透鏡電場分布圖的圖像，下面用數(shù)學(xué)軟件MATLAB 對該電場分布進(jìn)行數(shù)值模擬[10-11]，其等勢線的分布見圖3 和圖4，其等勢面關(guān)于零等勢面左右對稱。

圖3 平板靜電四極透鏡電場的等勢面

圖3 平板靜電四極透鏡電場的等勢面

2.2 平板靜電四極透鏡電子束靜電聚焦原理

對如圖1 所示的平板靜電四極透鏡的橫截面，由式（7）可知，當(dāng)U1＜U2時，對于x＜0、y＞0區(qū)域，有Ey＞0，而對x＜0、y＜0區(qū)域，有Ey＜0；對于x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＜0，而對x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＞0。由透鏡左側(cè)的電場分布可知，當(dāng)電子束水平向右入射時，在透鏡的左側(cè)x＜0區(qū)域，該透鏡對電子束由會聚作用；而又由式（7）可知，當(dāng)U1＜U2時，對于x＞0、y＞0區(qū)域，有Ey＜0，對y＜0區(qū)域，有Ey＞0，即當(dāng)電子束水平向右入射時，在透鏡的右側(cè)x＞0區(qū)域，該透鏡對電子束由發(fā)散作用；圖3 及圖4 中靜電透鏡的等勢面由兩電極中心向兩側(cè)彎曲，且關(guān)于電極中心對稱分布，由場強(qiáng)方向垂直于等勢面且指向電勢降落方向的特點(diǎn)，也能得出與上述討論相同的場強(qiáng)分布結(jié)果。因在圖3 及圖4 的透鏡場強(qiáng)中的場強(qiáng)方向總沿著x軸的負(fù)向，電子在透鏡中的運(yùn)動過程是始終在加速，故其在透鏡左側(cè)的運(yùn)動時間長于在右側(cè)的運(yùn)動時間，靜電透鏡對電子束的會聚作用大于其發(fā)散作用，為會聚透鏡。

3 結(jié)束語

計算機(jī)數(shù)值模擬的研究方法已成為繼實(shí)驗(yàn)研究和理論分析之外的第三種研究手段。文章將保角變換、理論分析與計算機(jī)數(shù)值模擬相結(jié)合，通過保角變換法和格林函數(shù)法，研究了平板靜電四極透鏡的電場，得到其電勢和場強(qiáng)分布，利用軟件MATLAB 對場分布進(jìn)行數(shù)值模擬，并說明了該透鏡對電子束的聚焦原理。文章的研究過程具有物理意義明確、計算方法簡便的特點(diǎn)，其研究思路和方法對新型靜電透鏡的設(shè)計和研發(fā)具有一定的理論意義和實(shí)用價值，也可作為相關(guān)問題研究的參考。