指向高階思維的圓錐曲線解題教學

滕詩媛 (浙江省溫州市第八高級中學 325000)

圓錐曲線是高中數(shù)學知識中的重要內容之一，也是高考的一個高頻考點，往往出現(xiàn)在選擇或填空題的靠后位置和大題的倒數(shù)第二題，其難度和重要程度不言而喻．圓錐曲線主要考查學生的直觀想象、數(shù)學運算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，難點在于計算量大和幾何條件代數(shù)化．

圖1

(2)若存在不過原點的直線l，使得M是線段AB的中點，求p的最大值．

本題的第(1)題比較簡單，本文重點對第(2)題進行研究．學生拿到題目按照以往的慣性思維進行解題：設點A(線)、聯(lián)立(拋物線和橢圓方程)、建立目標函數(shù)求最值[1]．解題思路自然，但解法繁瑣，學生沒有足夠的時間將題目解完整，甚至沒辦法將目標函數(shù)與已知條件聯(lián)系起來.究其原因是學生未能思考問題本質進而形成自己的解題策略，而教師也往往停留在常規(guī)解題方法進行教學，沒有分出時間與精力處理學生這一個性化問題．

布魯姆教育目標分類原理將認知過程分為記憶、理解、應用、分析、評價、創(chuàng)造六個維度[2]．以 本題而言，考查的是學生邏輯思維能力(即能正確領會題意，明確解題目標，能尋找到實現(xiàn)解題目標的方向和合適的解題方法，對應應用與分析目標)，運算求解能力(即能根據(jù)法則、公式進行正確運算變形，根據(jù)問題的條件和目標，尋找多種途徑，設計較為適合的方法進行運算、變形，對應應用與評價目標)和綜合應用能力(即能對具體問題陳述的材料用數(shù)學語言正確地表述，用所學的數(shù)學知識、思想和方法解決問題，對應分析、評價以及創(chuàng)造目標)．對照布魯姆六大認知能力，這道題乃至這類題目的解題思維顯然屬于后三種的高階思維．在此類題目的解析過程中，幾何條件與代數(shù)表達進行互化無疑是引導學生形成高階思維的能力載體，因此如何引導學生利用已有幾何性質來分析與比較解題方法并將計算簡化、將幾何條件與代數(shù)表達進行互化成了教師必須研究的問題．

1 溯本清源，理清學生思維癥結

筆者根據(jù)布魯姆六大認知目標，對本題進行能力知識二維目標的編碼分析，形成了問卷，試圖通過學生答題結果與問卷調查的對應分析，找出學生“卡脖子”的具體原因，進而提出對應的解決方案．

問卷的問題大致設置如下：

1．本次考試你的得分為分．

2．第21題你的得分為分．

3．第(1)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．拋物線定義忘記了B．計算出錯

C．其他

4．為了建立目標函數(shù)，第(2)題你選取的自變量是( )．

A．k(直線l的斜率)B．點A坐標

C．m(直線x=my+t) D．其他

5．第(2)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．設出直線方程，與橢圓聯(lián)立后不知道該怎么做

B．用韋達定理得到點M,B坐標后，算不下去了

C．運算過程出錯，導致后面做不下去

D．想利用拋物線方程把點M和A坐標表示出來，有思路，不會算

E．想利用M是中點，用點差法轉化為斜率問題，沒算出答案

F．無從入手

G．其他

6．在解決這道題的過程中，你認為自己還存在哪些問題( )．

A．橢圓拋物線的幾何性質不熟練

B．運算能力不強

C．自變量選取和目標函數(shù)的判斷

D．動拋物線問題識別不出來

E．解題時，不會比較方法優(yōu)劣

F．其他

問卷的第1題和第2題統(tǒng)計學生整卷和第21題的得分情況，區(qū)分學生水平層次，結合問卷的問題設置，將不同水平學生的失分原因進行區(qū)分．學生水平與得分情況成正相關，整卷得分在80分以下的學生第21題的第(2)題得分很低，這部分學生基本屬于事實性知識和概念性知識沒有掌握，比如忘記拋物線性質，中點條件用不起來，是記憶、理解問題．

參照布魯姆六大認知目標，分解學生答題過程，問題3～6羅列了學生可能出現(xiàn)的錯誤、可能會用的解題方法以及存在的問題，試圖對照錯因與解題方法找出學生在程序性知識和元認知知識上存在的問題．統(tǒng)計學生第(2)題失分原因，如 表1所示．

表1 布魯姆認知目標下學生解題失分原因分析表

由表1可知，大部分學生在事實性知識和概念性知識的應用上已經(jīng)熟練掌握，也都清楚解析幾何解答題的變量最值問題的常用方法，但對于方法的選取以及數(shù)學運算等程序性知識和元認知知識的問題又顯得無從下手．多數(shù)學生失分點集中在選取合適的變量與方法進行求解，將方程、函數(shù)、不等式進行轉換，對應認知目標屬于分析、評價過程出現(xiàn)問題．因此課堂教學的目標應聚焦于審清題目要求，以及為了解決問題如何引導學生整理思路，找到數(shù)學方法簡化數(shù)學運算進而完成解答上．

通過以上問卷調查的數(shù)據(jù)分析，從低階到高階，學生的失分率越來越高，說明本題“卡脖子”的原因在于學生的高階思維存在不足．

2 策略引導，變換技巧尋求突破

上題考查橢圓、拋物線的簡單幾何性質，直線與橢圓、拋物線的位置關系，線段的中點，這些知識點對高三學生來說都很熟悉，但大部分學生卻做不出來，其原因在于缺乏對解決問題的路徑進行規(guī)劃，在變量的選取、方法的選擇等問題上仍有欠缺，關鍵問題在于數(shù)學運算素養(yǎng)亟待提高．

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果．在解析幾何問題中，運算素養(yǎng)主要體現(xiàn)在變量的選擇、條件的代數(shù)解讀、問題的代數(shù)解析．

常規(guī)做法很多時候不是最好的方法，在高考時間緊、難度大的背景下，若能對這一類題形成解題策略，學生便能提高得分率，更重要的是能引導學生從解題技巧的提高走向解題策略的提煉，成為以高階目標驅動技巧方法、提升思維能力的教學．為了引出仿射變換，尋求橢圓與圓之間的聯(lián)系，給出一道聯(lián)考試題進行變式：

對以上變式，常規(guī)解題路徑包括運用中點弦、聯(lián)立方程用韋達定理、刻畫三角形面積等，思路清晰計算量卻巨大．引導學生思考：是否還有其他方法？

橢圓可以看成是圓保持橫坐標不變、縱坐標壓縮后得到的圖形.圓有很多很好的性質，若能夠得到橢圓與圓之間的變換關系(即壓縮比)，解題就會簡化很多．解法如下：

3 目標高階，驅動性問題促進教學

一題多解在高中數(shù)學解題技巧中很常見，簡化運算的本質是提高解題過程的思維含量，因此教師在教學過程中借助問題進階將思維路徑可視化顯得尤為重要．

分析 課本上借助坐標關系求解軌跡方程的推理過程，旨在尋求點M與點P坐標之間的關系，以點P為中間量，得出點M橫縱坐標之間的數(shù)量關系，這一過程揭示橢圓與圓的幾何與代數(shù)關系，將學生不太熟悉的橢圓問題轉化為圓的問題簡化運算，將邏輯關系聚焦幾何問題坐標化上，引導學生理解問題本質．

引導學生猜想：圓具有良好的幾何性質，如垂徑定理等，能否將橢圓變成圓，利用圓的有關性質來輔助解決橢圓的相關問題？

為了更好地剖析問題，引發(fā)學生深度思考，對照布魯姆教學目標，設置以下幾個思考問題，如表2所示．

表2 認知目標與驅動性問題設置的對應關系