滾插刀嚙合參數設計及其精度策略研究*

裴智明,王時英,張 迪,劉澤楷,鄭哲全,李 苒,劉貝貝,盧 楓

(太原理工大學 機械與運載工程學院,山西 太原 030024)

0 引 言

齒輪加工在機械行業發揮著舉足輕重的作用,然而現有的齒輪加工方法卻難以滿足產品需求。特別是對于汽車中廣泛使用的非貫通未設退刀槽的內斜齒輪,若使用滾齒、插齒、拉齒等方式進行加工,都會涉及精度和成本等問題。

而滾插加工方法創造性地解決上述這一問題,開創了齒輪加工行業的新局面。

從20世紀開始,國外許多專家對滾插加工理論進行了較為深入的研究,并對滾插加工進行了許多實踐探索。HARTMUT M等人[1]設計了一種新的車齒刀具,但其對于檢測時的精度準確性要求較高,可管理性能差。ARBOR A等人[2]研制了全自動的滾插加工機床,是滾插加工的成功實踐,但其生產技術對我國嚴格封鎖。

國內在該領域的研究也取得了一定的成果,但是滾插加工方法廣泛應用于齒輪加工的生產實踐還需要一定的努力。金精[3]研究了車齒加工原理和加工工藝,為車齒加工提供了理論指導作用,是我國滾插技術的先驅。婁本超[4]建立了剮齒的切削角模型,研究了加工參數對于刀具切削角的影響,對刀具切削角設計做出了有益嘗試。陳新春等人[5]設計了直齒車齒刀,開啟了刀具設計新階段,為后期的車齒刀設計提供了基礎;但是該研究缺少對于法面和端面的設計角度計算。西安交通大學的毛世民團隊[6]計算了車齒刀的齒面,分析了滾插加工的齒形誤差,構建了齒形刀具的基本設計方法,指導了滾插加工的生產實踐。郭二廓等人[7-9]研究了斜車齒刀的切削刃計算;但對于滾插刀參數的迭代計算未作詳細的說明。鄭國等人[10]提出了無切削刃的加工模型,證明了輪廓偏差與刀具安裝誤差的適應性;但其未對滾插加工的安裝參數進行設計計算。楊亞蒙等人[11]提出了減小刮齒的加工誤差的新模型,并證明了該模型的有效性,是滾插技術發展的重大突破;但其未解決滾插加工中的嚙合參數求解問題。

針對滾插刀具的加工嚙合參數設計問題,筆者首先進行滾插加工模擬仿真,并對其優勢進行分析,采用VERICUT建立滾插刀具與被加工齒輪的無隙共軛嚙合模型;利用MATLAB完成滾插刀加工結構參數的迭代計算,并分析其迭代精度;最后設計滾插刀參數的優化迭代算法,給出滾插加工的安裝方法及安裝參數計算方法,搭建滾插刀嚙合參數設計平臺,使得滾插刀參數設計更加便捷化、智能化。

1 滾插加工及其優勢

滾插加工是將滿足空間交錯軸嚙合的一對螺旋齒輪中的一個作為刀具,基于滾插刀具和被加工件的齒向滑移,利用其相對運動速度完成切削加工的。

滾插加工模擬仿真過程圖如圖1所示。

圖1 滾插加工模擬仿真過程圖

滾插刀具加工工件的切削過程圖如圖2所示。

圖2 滾插刀具加工工件的切削過程圖

圖2中其加工過程是:滾刀在滾刀架上傾斜一定的角度安裝,進行繞軸線的旋轉運動和沿刀具軸線的直線進給運動;而工件以相應旋轉速度和旋轉方向進行旋轉運動,切削過程如圖2中1～5順序進行[12]。在1～2位置，刀具對工件的齒槽齒廓進行進刀切削;在位置3處完整地切削出齒槽,對齒槽根部完成加工;而后4～5過程中逐漸退刀完成一次切削。如此往復進行,直到加工出完整的齒形。

而整個過程中,切屑始終隨著刀具的前刀面滑移,直到最終完成切削，才完成斷屑。這一特點對于非貫通未設退刀槽的齒輪以及超大直徑的內斜齒輪加工，凸顯出其強大的加工優勢,這也是滾插刀具加工的一大特性。滾插刀具設計是在空間軸交錯的螺旋齒輪嚙合原理[13]基礎上,再配以刀具的輔助設計等完成的。

目前,在滾插刀具材料的革新、滾插切削工藝的改進和數控機床的控制等方面,滾插技術正不斷取得更新的研究成果。

2 滾插刀嚙合參數計算

2.1 無隙嚙合參數設計

基于無隙共軛嚙合原理進行滾插刀具設計,需要設計刀具和被加工齒輪的嚙合參數,并建立滾插加工安裝位置及其參數計算的模型。這就要求滾插刀具和被加工件的嚙合線要與其連軸線相垂直,并滿足交錯軸螺旋齒輪的基本嚙合條件[14]。

其中:

(1)

(2)

其中:

(3)

式中:pjn—滾插嚙合中的節圓法向齒距。

其中:

(4)

聯立式(1～4),便有:

(5)

式中:βb1,βb2—刀具和被加工齒輪的基圓螺旋角;βb—刀具和被加工件的基圓螺旋角的統稱。

2.2 滾插加工嚙合參數迭代式

2.2.1 牛頓迭代法

滾插刀具嚙合參數的迭代流程圖如圖3所示。

圖3 滾插刀具嚙合參數的迭代流程圖

由泰勒公式可知:

(6)

(7)

其中:

(8)

空間交錯軸螺旋齒輪的法面嚙合參數滿足交錯收斂式:

(9)

(10)

式中:F—迭代定義常量;αt1,αt2—滾插刀具和被加工齒輪的端面壓力角。

該函數迭代式中,F可以由已知參數進行實值計算,從而對迭代參數αn′求迭代解值。

該方程完整地建立了滾插刀具的法面嚙合參數模型,極大地方便了滾插刀的法面嚙合參數設計計算。

由漸開線函數方程invα=tanα-α,有:

(11)

(12)

式中:D,ξ—定義的迭代變量符號。

其中:

(13)

(14)

由此,筆者完整地構建出了滾插嚙合中的端面嚙合參數設計的數學模型,進而計算出了滾插嚙合過程的端面嚙合參數。

2.2.4 滾插加工模型及其安裝參數

為了充分利用相對運動速度進行滾插加工,在滾插刀具進行加工時,要求滾插刀具的安裝軸線與被加工件的安裝軸線有一定的傾斜角度值∑′,根據空間無隙共軛嚙合原理，可得此時的安裝軸交角。

∑′的表達式為:

(15)

式中:∑′—滾插加工模型機的安裝軸交角。

其中:

(16)

特別地,對于滾插刀具加工內外齒輪時,筆者給出如下正負號取用規則:

(1)對于滾插加工外齒輪時,滾插刀具與毛坯工件旋向不同取“-”,反之取“+”;

(2)對于滾插加工內齒輪時,滾插刀具與毛坯工件旋向不同取“+”,反之取“-”。

通過軸交角的設定確保了滾插刀具和被加工件實現無隙共軛嚙合,這樣滾插刀具加工出來的齒輪便是預先設定的共軛齒形。

同樣,為了使得滾插刀具與被加工件完成強制運動以完成切削加工,需要對安裝的中心距a′設計求解。

根據空間關系可知,滾插刀具安裝軸線和被加工件的軸線屬于空間異面直線,所以筆者定義兩異面直線的最短距離為名義中心距。

其中:

(17)

(18)

由此,設計出滾插加工模擬實驗臺,可以直觀地展示安裝位置。

滾插加工模擬實驗臺及其安裝參數示意圖如圖4所示。

通過設定的安裝參數，進行安裝后,筆者將滾插刀具頂在被加工件的端面上,按照預定的進給運動進行切削加工,便能得到所需加工的齒形。

2.3 滾插嚙合參數的精度策略

通過上述迭代式可以求解出滾插加工過程中的嚙合參數,筆者在研究中對精度進行了策略分析。

其中:

(19)

式中:error—迭代精度定義符號;αk—滾插嚙合參數的第k次迭代結果;αk-1—滾插嚙合參數的第k-1次迭代結果。

2.3.1 初值對滾插參數的迭代影響

初值對滾插加工參數迭代精度的影響分析如圖5所示。

圖5 初值對滾插加工參數迭代精度的影響分析

由圖5可知:在選定不同迭代初值下,其迭代精度在[10-16,10-10]之間浮動,基本滿足迭代預設精度,亦即可知迭代初值對迭代精度影響較小。

圖6 初值對滾插加工參數迭代終值的影響分析

由圖6可得:迭代初值在預設范圍內迭代時,迭代終值α′收斂近似不變,實驗結果表明,迭代初值對于滾插參數迭代終值的影響在10-6位數后才會體現。

圖7 初值對滾插加工參數迭代時間的影響分析

圖7中顯示:隨著迭代初值在設定區間的變化,運算時間也會逐漸改變。非合適的迭代初值不僅會使得迭代速度減慢,時間損失最大可達到214.6%,而且在某些非適合的迭代初值，迭代無效。

綜合分析后可得以下結論:

筆者基于初值優選，提出了新的迭代優化方法,以提高滾插加工嚙合參數的迭代速度。

2.3.2 滾插嚙合參數優化算法

綜合以上分析可得,新的優化方法應以能夠加快迭代速度為目的。而基于在j維空間下的粒子群的最優路徑搜索原理,迭代初值經過對于鄰近初值的判定,并結合自身的歷史軌跡,能夠選擇最優的路徑進行決策,顯著提高迭代速度。

利用粒子群算法收斂迅速的特性,可以通過很快的更新速度完成迭代初值的優選[15]。

其中:

(P(ij)-L(ij))+m2r2(P(gj)-L(ij))

(20)

式中:V(ij)(n),V(ij)(n+1)—第i個初值第n次和第n+1次的迭代的速度;r1,r2—(0,1)之間的隨機數;P(ij)—單個初值最優迭代終值的位置;P(gj)—全局搜索最優位置;m1,m2—非負數學習因子;L(ij)—第i個初值在空間的位置。

其中:

(21)

而考慮到粒子群算法的收斂速度快,但難以控制后期的發散性;結合牛頓迭代的迭代特點,不難想到以粒子群算法作為牛頓迭代前端,將構建的混合算法應用于嚙合參數的迭代計算中,將顯著提高嚙合參數的迭代速度。根據這一設想,筆者采用粒子群算法進行初值優選,而后進行牛頓迭代。

其計算步驟如下:

(1)根據預設迭代精度初選迭代終值滿足的定義域區間,并選取若干點進行離散處理;

(2)求解初始化離散點的位置信息L(ij)和速度信息V(ij);

(3)判斷迭代初值的適應值,將其位置信息和適應度信息儲存在單個初值離散點的P(ij)best,P(ij)best中所有的優選個體儲存在P(gj)best的全局搜索最優位置中;

(4)進行迭代計算并及時判定其位置和速度的更新信息,并在P(ij)best中及時尋優,并替換為當前值后,比較當前的P(gj)best和P(ij)best,完成P(gj)best的更新;

(5)經過多次迭代計算,直到達到預設的迭代精度要求,完成優選的初值,而后轉入牛頓迭代,迅速給出相應迭代終值最優解。

實驗中筆者對優化效果進行了分析。

兩種算法在相同迭代次數下的適應度信息比較如表1所示。

表1 兩種算法在相同迭代次數下的適應度信息比較

從表1中可知:牛頓迭代的適用度函數在初次迭代時,從23.920處開始遞減,而迭代優化算法的適用度函數在初次迭代時,從0.022處開始遞減,遠遠小于牛頓迭代。

由此可以得出結論:在相同迭代次數下,迭代優化算法有更優的最優適應度。

筆者分別利用牛頓迭代算法和迭代優化算法對滾插嚙合參數進行迭代求解,并對兩種算法的求解情況進行比較,分析了優化算法的優勢所在。

兩種算法求解結果比較分析如表2所示。

表2兩種算法求解結果比較分析

從表2中可知:迭代優化算法的迭代時間將減少到牛頓迭代算法的16.19%,大大提高了運算速度;計算精度error提高了102倍以上。該結果也證明,從初值角度提出的迭代優化算法能在保證求解準確性的前提下,有效減少迭代次數,提高滾插嚙合參數的求解速度和迭代精度。

3 滾插嚙合參數設計平臺

齒輪嚙合傳動的有效平穩、傳動比可靠等重要優點,使得齒輪傳動的應用十分廣泛,而生產方面卻亟需齒輪刀具的設計軟件來填補刀具仿真設計的空白。高效簡易的滾插刀具設計軟件對于減少設計工作量和提高設計精度意義更加重大。

筆者利用C#語言進行窗體應用程序設計,結合滾插嚙合參數設計的計算過程,利用滾插嚙合參數的迭代關系式開發了滾插刀具結構參數設計軟件。

滾插刀具參數設計軟件界面如圖8所示。

圖8 滾插刀具參數設計軟件界面

由圖8可知:基于迭代優化算法,通過該設計平臺可以對滾插加工嚙合參數進行快速準確的迭代計算,提高了滾插嚙合參數計算的速度和精度,解決了滾插刀結構參數設計的人機交互問題,給滾插刀具的生產實踐應用帶來極大的方便。

4 滾插仿真實驗及其加工模型

筆者以法向(標準)模數mn=1.75,滾插刀具和工件的端面壓力角αt1=20°、αt2=20°;滾插刀具和工件的設定螺旋角β1=0°、β2=20°;滾插刀具齒數Z1=70,工件齒數Z2=40;分度圓上滾插刀具和工件的法向齒厚為Sjn1=4.712、Sjn2=4.712;法向(標準)壓力角αn=20°;滾插刀具和工件的基圓螺旋角為βb1=0,βb2=18°52′54″為一組參數進行模擬仿真。

筆者通過優化算法給出如下求解結果,滾插加工模擬仿真參數計算結果如表3所示。

表3 滾插加工模擬仿真參數計算結果

滾插加工模擬安裝參數設計結果如表4所示。

表4 滾插加工模擬安裝參數設計結果

筆者以該實例為基礎,以VERICUT構建了相應的滾插機床模擬實驗機。

VERICUT仿真的滾插加工模型如圖9所示。

圖9 VERICUT仿真滾插加工模型

通過VERICUT模擬滾插加工的過程,可以直觀地展示滾插加工的切削過程。

通過切削性能分析,筆者研究了基于無隙共軛原理設計的滾插刀具的安裝中心距和安裝軸交角的可行性,證明了筆者設計的滾插刀加工的仿真模型和安裝方法具有良好的工業設計應用前景。

5 結束語

針對滾插加工的發展現狀,筆者基于空間交錯軸的螺旋齒輪嚙合基本原理,進行了滾插加工的優勢分析,利用VERICUT構建了滾插刀具加工嚙合模型,求解了滾插加工嚙合參數,分析了嚙合參數的迭代精度,設計了滾插嚙合參數的優化迭代方法,最終搭建了滾插嚙合參數設計平臺和滾插加工模擬實驗臺。

研究結論如下:

(1)筆者推導了滾插加工嚙合參數的迭代式,利用數值分析對滾插刀具的嚙合參數進行了迭代求解,設計了滾插加工模擬實驗加工臺,直觀地展示了滾插刀具安裝的名義中心距a′和無隙軸交角∑′,并最終利用VERICUT對滾插加工過程進行切削過程仿真;

(2)采用實驗實例，研究了迭代初值對于滾插嚙合參數的精度、終值和速度方面的影響,詳細分析了嚙合參數的精度策略,設計了新的參數優化算法并進行了優勢分析,結果顯示,迭代時間將減少16.19%,計算精度提高了100倍以上;

(3)基于提出的迭代模型,筆者利用C#語言開發了滾插刀具參數計算應用平臺,使得參數計算更加智能化、系統化,極大地方便了滾插刀具的參數設計。

筆者在研究中解決了滾插嚙合參數的計算問題,極大地方便了滾插刀具的參數設計。在接下來的工作中,筆者將進行滾插刀具設計人機交互平臺的開發,使得滾插加工在齒輪加工行業得到更加廣泛的應用。