數學教育的關鍵所在：探究閱讀、計算推理、思辨交流、快樂學習
——與美國國家奧數隊總教練羅博深教授的對話

袁智斌 [美]羅博深

（1. 陜西師范大學現代教學技術教育部重點實驗室暨教育學部，西安 710062；2. 深圳外國語學校（集團），廣東深圳 518083；3. 卡內基梅隆大學數學系，美國匹茲堡 15213）

一、前言

數學教育與人才培養，特別是數學教育與創新人才的培養是世界各國都十分關注的話題，也是廣大教師與家長十分關注的重要問題。在2015—2019 年間，羅博深教授4 次帶領美國國家奧數隊獲得了國際數學奧林匹克競賽（IMO）團體冠軍。作為美國國家奧數隊的總教練和一名IMO 銀牌得主，他還一直奮戰在從小學到研究生數學教學工作的第一線。羅博深教授的成長過程、數學學習經驗與數學教學方法是數學教育研究的重要對象與典型案例。

2018 年3 月13 日，羅博深教授受邀到深圳科學高中進行考察，并發表了關于數學教育的講座。在考察結束之后，應陜西師范大學博士候選人、深圳外國語學校（集團）正高級教師袁智斌的邀請，羅博深教授接受了本次專訪。專訪的現場實況錄像和錄音由深圳科學高中信息中心任亞捷和馬裕老師負責。

深度訪談有助于了解情況、尋找方法、揭示規律和探究深層原因。在本次專訪中，袁智斌與羅博深教授雙方就兒童數學啟蒙、數學學習經驗、數學教育、奧數培訓、家庭教育、數學能力與人才培養等話題進行了對話交流，從中進一步了解到羅博深教授獨到和具有啟發性的數學學習經驗與數學教學方法。

本文主要在數學學習經驗與數學教學方法等方面，與羅博深教授展開對話，并在最后對本次對話加以總結與反思。

二、對話實錄

（一）探究閱讀：猜想探究與計算推理為特征的數學教材與疑難問題解答的探究閱讀方法

袁智斌：當您在中小學讀書的時候，您應該既解答過常規題，又解答過您當時不會的一些難題。對您而言，當時解答常規題的主要目的可能是熟悉數學知識方法與提升您的解題速度，或者訓練解題格式；而對那些您當時不會的一些難題，特別是那些看上去一點思路都沒有的題目，您當時是怎么探索解答的?您有哪些難忘的解答難題方面的經驗、感悟或案例?

羅博深：如果讓我回頭看一下我自己的成長經歷，特別是我自己小的時候數學解題經歷，其實印象最深的就是當時遇到那些難題的解答探索過程了，我至今都還記得。如果當時解答的只是一般的題目，現在就沒有什么印象了；但對自己當時花了好大勁才解決的問題或者才發現正確解答思路的題目，自己至今都還記得那些難題以及自己當時思考那些難題的過程。我的經驗是，如果自己真的要學東西，就需要跟學習內容來競爭一下。如果自己從來都沒有經歷過與難題競爭的苦思冥想的深度思考過程，而是只解答一些不需要認真思考的常規題，其實那不是真正的數學學習，那只是憑記住了常規習題的解題套路來照貓畫虎地機械解答曾經見過的類似的題目而已。我印象最深的數學學習過程就是我以前與所遇到的各個難題的競爭過程。我的意思是，有一些當時經過自己獨立思考探索的難題至今都還記憶猶新，就是因為當初我做不出來或經過探索后才成功解答出來，而這些題目至今都還記得。

袁智斌：您還記得當時探索那些難題的具體經歷嗎?

羅博深：是的，至今還記得。在我的數學學習中，我會對那些難題進行探索，特別是我在大學學習數學定理或對數學定理進行證明時，我也是把大學數學教材上的那些定理和定理的證明當成題目來進行獨立探索的。在大學的數學教材中往往都是先呈現新的定理，然后再給出新定理的證明，接著又是一個新的定理，然后又是定理的證明，即大學數學教材中沒有那么多的例題。大學數學教材上的很多篇幅都是數學定理，以及對它們進行證明的內容。大學數學教材定理證明中的那些字詞、那些句子，其實都是晦澀難懂的，因為讀者常常不知道書上那個定理的證明為什么要這么寫，讀者會感覺書上定理的證明咋那么奇怪。所以我的方法就是，先看那個定理說的是什么內容，以及那個定理的證明長度，以此來估計那個定理證明的難度。然后就合上教材，開始思考那個定理的證明。我自己在探尋定理的證明中，有的時候要想一兩個小時。如果成功了，我就會永遠記得那個題目的證明過程；如果不成功，我就看教材的證明中我想不出來的那幾句話是怎樣寫的，然后我又合上教材，自己又來獨立思考。如果還不成功，我再打開教材看卡殼的地方。如果你們也堅持這樣做，相信你們也會把書上那些定理的證明過程全部都想出來的。當自己回過頭來看書上那些在之前思考中卡殼的部分時，會有一種成就感，進而會從中積累解題經驗，同時以后也不會忘記那個定理的證明為什么是那樣的。我為什么要先看定理證明的長度呢?如果看到定理的證明就這么長（備注：羅博深教授用手比劃了一個較短的長度），我就知道我的方法太復雜。如果看到證明是這么長（備注：羅博深教授用手比劃了一個較長的長度），我就知道不能用太簡單的方法來解決了。我以上所說的學習數學的經驗，就是想讓大家明白，大家都可以用我剛剛說到的這種解決難題的經驗或方法來學習大學數學教材上的定理證明，從而就不會被動地去看教材上那些證明的內容了。

袁智斌：也就是說，當我們看到數學書上的定理后，不要急著去看其證明過程，而是要盡量自己想辦法去證明。

羅博深：對的。自己先獨立思考并證明后，再看教材上對那個定理的證明。因為如果自己已經把那個定理的證明問題解決了，然后再看教材上的證明，那就都明白了；否則要是未經思考就去看教材上的證明，那就不一定知道為什么應該是從那個地方開始證明的。

袁智斌：原來您把數學閱讀看成一種探尋數學結論的過程。閱讀中您常常思索別人是怎么想出那個證明的，并獨立探尋那個定理的證明思路與方法，經過努力，您最終獨立探索出來了，從中您就非常開心與更加自信。

羅博深：是的。我就是用數學探究與計算推理等方法來閱讀數學教材的。

（二）思辨交流：學生除了認真聽講外，還須主動學習、猜想探究與思辨交流

袁智斌：那您剛才談到了家庭教育、學校教育，和您在小學、初中、高中和大學里的學習過程，以及您的博士階段的學習。請問在小學階段，您覺得還有什么往事值得回味?

羅博深：我是在美國長大的。美國的小學、初中，包括幼兒園都不要學那么多數學內容的。所以我記得在我上小學的時候，我就是在家里學習數學，在學校里我就學會跟別的小朋友溝通。由于我已經會做數學課堂上正在教的內容了，老師就幫我找了一間教室去學習新的內容，而當時那間教室里有幾臺電腦。那時候電腦也才剛剛開始進入學校，老師也不太清楚如何正確使用電腦，就好像二十多年前大家剛剛接觸MS-DOS 系統一樣，電腦顯示器上顯示的都是一些字符或者數字，誰都不知道這些字符或數字是干什么用的。我就是從那時開始接觸電腦，并由此逐步了解到怎么編程的。其實小學階段我就覺得學會跟別人溝通交流是非常有用的。所以我們在美國小學里就主動和同學們一起交流。

袁智斌：您從小學就開始和同學一起討論？

羅博深：不能說是討論。小朋友，不知道什么討論，我們就是相互打招呼，和說說話。

袁智斌：那您能回顧一下當時小學的數學課堂教學流程是怎樣的嗎?

羅博深：這個問題我不大清楚。因為當時我是在家里學習小學數學的，而不是在數學課堂上學習數學的。我的同學在課堂上學數學的時候，我在另外的教室里學習別的內容，所以我不太知道美國小學階段的數學課堂是怎么樣的。

袁智斌：也就是說，您在上小學的時候就是在家里學習數學的?

羅博深：小學階段，我回家后就在家里學數學。

袁智斌：老師們允許您當時在學校不上數學課嗎?

羅博深：就我個人經歷來說，如果一名學生已經對課堂上所要講授的內容全部都學會了，學校就會想辦法來給他安排別的教學內容進行新的學習。因為那時我已經會了小學數學，老師就帶我到別的教室，我就有機會來學習電腦。別的同學在課堂上學習的加減乘除，我當時已經都會了，于是我就有機會去學習其他的新內容，訓練新技能。

袁智斌：美國的小學數學教學中，只要學生已經達到了課程教學要求后，就可以自由開展學習了嗎?

羅博深：這樣說也不太對。我那時的老師們常常會這樣想：我們可以給那些已經學會課堂教學內容的學生提供哪些幫助，來促進他們開展新的學習？有一年，我好像熱衷于思考一些沒有數字但需要運用邏輯的一些內容，也有一年熱衷于做一些有關電腦編程的事情。當有一些學生已經學會并掌握了小學數學的知識后，老師們就會為那些同學找別的新教學內容來讓他們學習。

袁智斌：小學階段的數學課您就基本上沒有上，那初中呢?

羅博深：初中的時候，我就開始跳級；但不是全面各科都跳級，我和同年齡的同學一起學英語跟歷史等；而數學和科學這兩門課程，我就跳到上一年級進行聽課學習，并與那個班的同學一起學新的東西。其實那時候我已經學到一些在家還沒有學到的東西了。在我所了解到的大多數美國課堂上，老師都是先用一點時間來解釋新的知識點，然后就用很多時間讓大家在課堂上來做練習題。因為我已經有這些數學知識與相應的解題經驗了，所以大部分時間里我自己就很快做完數學題。做完了題目以后我就幫旁邊的同學做那些他們認為比較難的練習題，或者如果他們碰到困難時，我就幫旁邊的同學來探尋那些難題的解答方法。幫助他們學會怎么做那些難題，我就好像老師一樣對這些學生進行輔導。那是很有意義的，因為我很喜歡幫助別人。從小學、初中起，我就開始為別的同學解答數學疑難問題了。

袁智斌：請問您自學數學，跟您給別人解答一道數學難題，這兩者之間有什么差異?

羅博深：如果自己做一個題目，可以有自己的思路。如果我幫別人答疑的時候，我就會先問那位同學，你現在的思路是什么。如果他用了另一個解題思路，我就會告訴他，如果考慮某一點的話，你就會發現你的這條解題思路為什么不行。解答一道題，往往既有正確的思路也有錯的思路。若你能快速發現哪條思路有問題，就可以省很多時間。我幫助別人不只是告訴別人最快的那條思路，而是要幫助他們了解他們現在用的思路有什么問題。

袁智斌：您自己做一道題，跟給別人講解一道題，在思路和方法上有什么不同?

羅博深：在為別的同學講解疑難問題的解答過程時，他會有疑問，他可能會問這一步為什么是這樣的，他也可能會問你剛說的那一句真的對嗎。在為別的同學解答疑難問題的時候，不是自己獨立解題，別人會問這一步為什么，別人會自己思考與提出疑問。給別人講一道疑難問題的解答過程，比自己單獨做一道題的效果會更好一些，因為別人的提問或質疑會促進我進一步思考與理解那道難題的數學本質。因此，給別人講難題的解答過程就變成了一個討論。

袁智斌：給同學答疑講解中的質疑與討論，又幫助您修正不足并增強您數學思維的嚴密性，還促進了您的反思，加深了您的理解，這應該就是您一直主張同學之間應多進行討論的原因吧。那您在高中階段呢?

羅博深：我上高中的跳級情況也和初中差不多。我也是在數學和科學兩門課程上跳了一個年級。我也是在做完數學作業后就去幫助同學解答難題。相比初中而言高中會自由得多。我的意思是說，美國的高中學生可以選擇自己想上的那幾門課，可以選課并決定自己怎么上課。比如，我上高中的最后那年，我就只選了四門課。這樣我的課程就比較少，空閑時間就比較多，于是我就用那些多出來的時間來做自己喜歡的事情。美國高中也有許多課外活動。比如，我在高中參加了課余辯論活動。因為我覺得有條理地說話其實非常重要，所以我就參加了課余辯論活動。到現在我都還常常感到當年高中階段參加課余辯論活動形成的能力與積累的經驗都是很有用的。因為有了當年課余辯論的經驗，在講課中我就可以更容易地解釋我自己真實的想法，尤其是自己的獨立思考所得。如果我跟別人討論問題，而且若我要說一句話，我就可以很快地說出我自己想說的話。換言之，我并不是課前仔細詳盡地準備我的講課語言，我不是考慮上課時要先說這一句，然后再說那一句。因為我懂數學，我知道應該怎么講授那些數學內容，再加上我有高中課余辯論的經驗，因此在課堂上我就可以快速、精準和深入淺出地進行講解。所以說高中課余辯論的經驗和數學思考能力綜合在一起，我就可以快速、有效地進行數學教學了。我可以針對課堂上的教學內容與學生們的現場反應，當時想說什么，就可以立即說出來。

袁智斌：課余辯論在提升您的語言能力的同時，也還促進了您的思考，促進了您的思辨能力，這是非常好的。您還記得您當時的數學老師是怎么上數學課的嗎?

羅博深：美國高中的數學課堂，有一部分就是解釋一個新的知識點，有一部分是來講評昨天的課后作業，還有一部分是在課堂上再做一點練習。當然每個老師的數學課堂教學都不盡相同，但基本上都有以上這三個部分。

袁智斌：關于美國中小學數學課堂教學的三個組成部分的具體內容，您可以再具體說一下嗎?

羅博深：第一個就是，先講評昨天的作業；第二個就是，講授新的數學知識點；第三個就是，進行數學課堂練習。因為學習數學，不可能只是聽別人講，而必須自己親自獨立解答數學題目。我想其實全世界的數學課堂教學大致都是由這樣的三部分組成的。

袁智斌：關于講評作業，您覺得應該是老師講好還是學生講好?

羅博深：有的老師讓學生講得多一些，有的讓學生講得少一點，每一個數學教師的課堂教學方式方法都是不一樣的。我自己個人覺得最好是讓學生先說，老師再點評與重復說一下，這樣效果就會更好一些，也是最好的。

（三）快樂學習：快樂體驗，突出學生主體地位，加強過程教學，多給學生思考時間

袁智斌：您既熟悉美國數學教育，您也了解一些中國的數學教育。若我們要給學生提供更加優質的數學教育的話，請問您可以給我們中國的數學老師提什么建議呢?

羅博深：我覺得中國的數學教師都是非常好的。如果要我給中國數學教師一點建議的話，就是教師上課中要給學生更多的時間來鍛煉他們的思考能力。我的意思是，如果學生只是為了準備考試，那么他們主要是來學習解題方法和解答常規習題套路的。當這些只注重學習數學解題套路的學生在解答試卷上數學試題的時候，往往只會照搬以前學到的常規習題的解題方法來解答那些似曾相識的題目。若一個人只會用套路而不會現場獨立思考問題的話，那就沒有學習到思考問題的方法。數學教師要選擇哪些題目來當學生作業?如果你選擇那些需要更多思考時間的題目來當作業，學生們就有更多的機會來練習尋找解題思路的方法與技能。在數學學習中，學生需要努力培養自主、獨立和深入地思考疑難問題的能力與習慣。注重并堅持做好這些，我想就會更好。

袁智斌：您對我們中國學生的數學學習有哪些建議?

羅博深：我覺得中國大多數中學生都是非常好的。很多數學題目他們都會做。我今天講座的時候，有一個同學在提問環節中說他以前學習數學比較快樂，現在對學習數學好像不太快樂了。所以我的建議就是，如果可以讓他們再次感受到數學學習的那個快樂體驗，那就更好。其實對我來說數學學習的快樂體驗就是我真正想了解數學內容的內在動力，真正有數學學習與研究的成就感，真正好像碰到一個新的問題被自己解決了。如果更多人有這種數學學習與研究的快樂體驗或經驗，那就會有更多人可以做得更好。

為此，我建議教師們應該通過激發學生的數學學習興趣并讓他們快樂學習來幫他們提高其數學成績。當學生們都學會了思考數學問題的方法時，他們今后的成績就會變得更好，所以數學學習的興趣與學習成績兩邊都應該受到關注與重視。

袁智斌：請問是否需要我們的學生進行超前學習?

羅博深：超前學習，我覺得比較有用的就是要超前讓學生們學會努力。我的意思是說，在美國，那些學習奧數的學生，有很多人是到了高中以后才開始學習需要長時間思考的那些證明題的。那么，當他們從原來只習慣解答初中以計算為主、不需要長時間深度思考的競賽題而轉到解答高中需要深度思考的奧數訓練的證明題的時候，他們可能會一時很難轉過來。因為美國的初中數學競賽主要是用快速算數來解答不需要長時間思考的計算題，所以初中數學競賽相比高中數學競賽而言就比較簡單和比較好玩，從而到了高中數學競賽階段，他們就不大習慣努力深入地思考數學難題。當他們在大學里面繼續學習數學時，若他們從小就學會了深入思考問題的方法，那他們就可以習慣需要思考半小時或以上的那些大學數學證明題或數學定理證明了。

袁智斌：您對我們的數學教師有什么教學上的建議?

羅博深：我覺得你們的數學教師都是非常好的。今天下午前來參加我們的數學教育報告會的老師們都非常好。我覺得數學教師專業化成長的最有力、最持久的內驅力可能就是教師自發自覺地一直在尋找新的教學方法。因為世界上沒有一個人是最好的，所以如果你可以整天來考察和了解大家在干什么以及大家是否采用了什么新的思路與方法來開展教學工作與教學研究，那你就可以創造出自己的更好的教學方法了。我就是通過到世界各地的講座并從中考察和了解各地的老師是怎么做的，從而學習到了一些新的東西。我今天來到你們這里，希望可以為你們帶來一些從外面學來的新的教學方法。如果大家經常留意觀察別人是在干什么以及別人又采用了什么新的思路與方法來開展教學或進行新的研究的話，就可以見賢思齊而不斷學習和進步。

（四）勤奮努力：專心致志、深度思考又統籌安排時間

袁智斌：您幾次都講到了真正的努力。您從小的時候就知道要努力，后面也非常努力。那您能幫我們再簡單講講這幾個階段的真正努力的含義是什么嗎?

羅博深：對于小朋友而言，如果他愿意坐下來靜靜地思考問題就是一種努力。因為小的時候我們大家都喜歡出去玩，對不對?但我很小的時候就可以安靜地坐下來長時間思考數學問題。當我準備參加初中數學競賽時，我發現在思考問題中我可以讓頭腦動得更快。正如要步行一段距離，既可以用普通的速度，也可以用快跑的速度。頭腦想問題也是一樣的。你在思考問題時，你也可以讓頭腦用“快跑”的速度進行思考，以便用更多的力氣來專心思考問題。我覺得我自己最努力的時期是上博士研究生階段。我是本科畢業之前的那一天結婚的，所以我在念博士的時候已經生了兩個孩子了。那時候我的時間是非常緊的。那種努力就是說每天只有二十四個小時，但每一個小時的工作、學習與休息都要排滿。我當時既注重專心思考問題，也很細心地把時間排滿，不浪費時間，每一分鐘都要抓緊。

（五）教學視頻：讓學生課余觀看并體會數學是有趣的

袁智斌：您今天下午為深圳市的數學教師們所做的教學講座中播放了一個勾股定理教學視頻。請問您們在美國課堂教學中一般是怎么使用教學視頻的?

羅博深：今天下午的講座中使用的那個視頻其實不是供老師在課堂上用的。我們所制作的那個視頻其實是讓學生課外觀看并從中感到數學是有趣的。那是我們的一種課余數學教學輔導方法。大部分美國教師都不是在課堂中播放視頻的，大部分老師都是自己講課。學生回到家可能還要復習一些數學知識點。在美國和在中國現在都有許多網上課程。在美國這些網上課程有很多都是免費的，其實有很多美國高中學生如果在家不會某些數學知識點，他們就會上網來看一下這些數學知識點的教學視頻。所以我們制作的這個視頻不是供課堂教學之用的，我們制作的這些視頻是讓學生課余來看數學是有趣好玩的。

袁智斌：請問您當時是怎么想到錄制這個勾股定理的教學視頻的?

羅博深：制作這些視頻是我自己想到的。我當時是這樣想的：如果我們真的要大家都喜歡學習數學的話，我們可能還需要從廣告中來學習一些教學方法。廣告是要你買什么東西的，而我不是要學生買什么東西；我們是“賣”數學愛好的，如果我們想要讓學生們都喜歡學習數學，那我們應該怎么做呢?讓孩子們在視頻中看和他們一樣的人是怎么學習或研究數學的，你看我們錄制的勾股定理教學視頻上的主角不是老師而是兩個高中學生。讓孩子們在我們錄制的視頻中看到他們自己或他們的同齡人怎么愉快地學習數學，對不對?那是一個部分。另外一部分也是很重要的，那就是要讓他們感受到學習數學是很開心的。在很多電影里，有些數學家被塑造成奇怪或者有神經病的樣子。我們要介紹數學學習中大家應該怎么討論數學問題，以及引導大家向教學視頻中那些人那樣享受數學學習的快樂，同時我們制作的視頻中也包含了一些數學知識點。因為我知道很多人，平時利用搜索引擎來尋找所需的數學知識點，比如勾股定理。據我所知，每一個月大約有十萬多人次利用搜索引擎來檢索勾股定理。于是我就想把勾股定理拍成數學教學視頻。如果我們把這個視頻打包上傳到網上，就會有很多人檢索到我們拍攝的勾股定理教學視頻。不是我一個人來拍那個勾股定理教學視頻的。當然我是數學家，我就帶領一些人來制作數學教學視頻，找一些人來幫我們寫對話，我負責數學內容應該怎么樣呈現，然后再找一些會拍攝電影的人來參與拍攝工作。所以今天下午在講座中播放的那個短視頻看起來是比較成功的數學教學視頻。

（六）教學PPT：“無字”PPT 更利于教師講解與課堂生成

袁智斌：我發現您在今天下午的講座中沒有用寫有文字說明的PPT，而是用現場手寫的方式來授課。試問您為什么要用現場手寫和現場演算的方式來開展數學教學呢?

羅博深：其實我喜歡用現場手寫教學內容的方式來講課，因為我在現場教學中常常會改變我自己原計劃想說的話。我的意思就是說，我要看聽眾現場的反應。如果我的解釋大家都已經聽明白了，那我就要比較快速地往下講了，或者我可能就要跳過去講新的內容了。如果我事前準備了一個寫有文字說明的PPT，現場跳過那些大家都已經明白的內容是很突兀和很難的。但是更難的是，如果現場講解中發現大家不太了解我剛剛說的話或所講的內容，如果繼續使用事前寫有文字說明的PPT，就不方便更換要講的話。同時，如果你臨時需要添加新的東西進去就更不行了。所以，我最喜歡用現場手寫方式授課，因為我每寫一句后，來看大家學得怎么樣，如果大家理解了，那我就現場快速跳過去。其實今天下午我的講座中也用了沒有文字說明的PPT。你可以看到我用的那些PPT 上沒有具體的數學教學內容，甚至一個字都沒有。因為那些PPT 上都是照片。我講過了許多講座，我每次都是用照片來制作PPT 的，這樣可以簡明直觀地呈現講座內容，并且我始終都不在那些用照片來制作的PPT 上面事先寫上具體的教學內容，以此來幫助我講解相應的數學內容。若大家在現場聽講中理解了我說的，我就要跳過去；要不然，我就不能臨時根據聽眾的反應來隨機應變地調整要說的話或修改教學內容，也不能根據聽眾的反應來說其他更加貼近現場聽眾的數學內容。所以在每次講座中，我都希望根據大家現場聽講的反應來選擇最合適聽眾的講座方式，并及時進行現場調整。

（七）數學教育的價值：讓學生學會思考

袁智斌：請問您認為我們為什么要學習數學?學習數學有什么好處?

羅博深：學習數學的好處就是它可以教你學會怎么思考問題的方法。如果你很會解答數學疑難問題，那你就很會分析與思考問題。如果你會分析與解決問題，相信你的生活會比還沒有學會思考方法的人要好得多。其實今天我給大家做的講座，就是想讓學生來真正理解數學。如果學生們能夠用思考與研究數學的方法來分析今天下午講座中的那些游戲的話，他們也可以贏我今天下午講座中的那些游戲。我就是想用這些游戲來說明如何學會思考問題的方法的，這只是一個很小的例子。其實生活未必永遠都是公平的，而是非常復雜的，所以你需要想出最好的那個辦法來解決問題，而最好的那個辦法是可以用數學思考得出來的。我認為數學跟想象力、思考能力是結合在一起的。

袁智斌：您講得非常好！最后，您能總結一下今天所講內容的要點嗎?

羅博深：我希望學生和老師都一起不斷地學習，因為我也一直堅持學習。希望大家一起去發現更多創新的數學方法，一種真正學習數學的思考方法，同時提升我們的思考能力。其實數學是想象力與思考能力的有機結合，如果把這兩個結合在一起，我們就可以更好地學習數學、思考問題，也可以更好地幫助他人和服務社會。

袁智斌：感謝您今天跟我們進行了富有啟發的深度訪談。特別是您談到的在數學教學中，教師要科學地讓學生通過解答一些需要深度思考才能解答的問題，真正地讓學生去學習數學的思考方法而不是那些解答常規題目的套路，注重提升學生的思維能力，始終注意把想象力與思維能力有機結合；在數學教材的教學中，教師應該讓學生先獨立思考并自主運用猜想、計算推理等核心方法進行嘗試證明后，才去看教材上的證明過程，從而將數學教材的閱讀轉變為具有數學探究與計算推理為特征、突出猜想探究與演繹推理的過程教學，這對我們今后開展數學教育具有十分重要的啟發意義。非常感謝您，歡迎您有空再來深圳做客！

羅博深：謝謝！

三、總結與反思

對于如何更好地培養創新人才的問題，我們除了從理論層面進行研究外，還應該從實踐層面，特別應從對創新人才的個案研究中來進行突破。

（一）總結

羅博深教授既有深度思考與探究學習的經驗，又有參加IMO 并獲獎的顯著成績，更有從事從小學至研究生階段的全程數學教育教學的豐富經歷。從這個意義來看，羅博深教授是數學、數學競賽和中小學數學教育教學領域的難得的創新人才，他的成長過程、數學研究過程、數學學習經驗、突出的競賽成績和獨到的教學方法等都應該是我們中小學數學教育領域的難得的研究對象與典型案例。

1. 探究閱讀是一種非常有效的數學閱讀方式

羅博深教授以數學學習，尤其是在大學里學習高等數學定理的證明為例，詳細談到了他自己將數學教材的閱讀變成數學思辨與數學結論探索的以計算推理為主要特征的猜想探究與演繹推理過程，這一數學學習經驗與數學閱讀方式對其數學素養與數學能力的提升起到了積極的推動作用。

2. 獨立思考、猜想探究、計算推理、思辨交流有助于深度的數學學習

羅博深教授在專訪中認為，“如果自己真的要學東西，就需要跟學習內容來競爭一下”，這句話所闡述的主張是，我們在數學學習中應該開展以獨立思考、猜想探究與創新研究，尤其是需要主動進行探究閱讀、計算推理與思辨交流等方面的深度學習。

3. 課件（微課）制作與使用中應該關注的兩個問題

（1）以現場演算板書為特征的過程教學比單向線性播放PPT 更有利于促進學生獨立思考與深度學習。數學課堂上是否應該使用寫有文字說明的PPT?以及如何使用PPT?羅博深教授“喜歡現場手寫”的做法值得借鑒，因為現場手寫可以根據學生們的反應來及時調整教學內容與講解方式。在這個方面，北京大學柳斌教授也表達過同樣的觀點：“用PPT 去講數學課對老師來說非常方便，基本上不用備課，但學生理解和接受起來就有很大困難，因為沒有給學生留出反應時間。”可見，這是一個很有價值的做法。

學生的數學學習必須經歷感知、建構與理解知識意義的過程，所以我們的數學教學必須尊重和遵循學生的認知規律。而當下某些“快速、高效”地單向播放PPT 的教學操作在客觀上違背了學生的認知規律，導致學生感知的信息過載，不利于學生的獨立思考與猜想探究。

（2）揭示本質、激發興趣應是“微課”制作與使用的價值取向，但“微課”不能完全替代教師講授。羅博深教授認為，“視頻其實不是供老師在課堂上用的”，而主要是讓學生在課外“感到數學是有趣的”。這個觀點可以引起我們對當下部分學校開展的“微課”教學，以及“微課”進課堂的一些不當操作進行反思。我們在“微課”制作與“微課”使用上，存在將教材上印刷的數學知識簡單直白地變為PPT 等的電子呈現、將本應由課堂上教師根據學生情況進行講解點評的話語提前錄音后在課堂上無視學生情況而機械播放、將本應師生互動生成出豐富多彩而又富有針對性的課堂教學變成了PPT 單向線性的播放推進等等的不當操作，從而導致我們課堂上使用的“微課”缺乏趣味性、針對性、科學性，以及缺乏深入淺出揭示數學本質與規律的體現教師富有個性、智慧與人情味的解惑答疑的講授，這既不利于發揮教師的主導作用，又容易導致形式主義或技術至上的傾向進而違背教育教學規律。

4. 教學中要多提供一些學生思考的機會與時間

知識建構需要時間，深度學習需要時間，問題解決更需要時間。羅博深教授認為，“如果要我給中國數學教師一點建議的話，就是要給學生更多的時間來鍛煉他們的思考能力”。這個建議值得我們學習、采納和反思，并幫助我們改進我們的數學教學，力求減少機械操作并同步增加自主學習、獨立思考和思辨交流的時間與程度，即增加思維活動時間與思維深度。

在“超前學習”這個問題上，羅博深教授認為“比較有用的就是要超前讓學生們學會努力”的觀點也具有積極的參考價值。羅博深教授所言的“努力”就是主張學習者通過自主學習、深入思考來與其所學的內容進行“競爭”，即開展以獨立思考、猜想探索、計算推理等為特征的深度學習，這為我們的家庭和學校開展“超前教育”提供了一個新的思路。

5. 興趣是數學學習的內驅力、快樂是數學學習的潤滑劑

關于學生數學學習興趣的培養以及在“快樂學習”方面，羅博深教授認為最好的做法是讓他們再感受到數學學習的那個快樂體驗，在他看來，如果更多人有這種數學學習與研究的快樂體驗或經驗，那就會讓更多人做得更好。這種觀點對我們開展數學教育具有積極的啟發意義。我們應在教學中充分激發學生的興趣，切實讓學生體會到對數學學習的思考和探究的樂趣，喚起其自信和逐步培養其自我效能。

羅博深教授認為，一個人若真正想學好數學就會想許多辦法來努力學好，同時，他在談到數學教材的探究閱讀方法、數學教學視頻制作，以及在給中國學生的學習建議中，都多次強調數學學習應該是快樂的。

基于此，我們在數學教材編寫和數學教學中，應該把如何激發學生的數學學習興趣和如何讓學生切身感受到數學學習的成就感并由此產生數學學習樂趣擺在突出地位，通過激發數學學習的興趣和讓學生在數學學習中不斷經歷探索并獲得成功，使學生體驗到學習的快樂和不斷形成自我效能，進而從中指導和幫助學生更好地學習數學、提升成績、發展思維能力。

6. 數學課堂教學三階段的劃分

羅博深教授將數學教學劃分為以下三個階段：第一階段，“講評昨天的作業”，這體現了及時反饋原則；第二階段，在“講評昨天的作業”后才“講新的數學知識點”，這體現與強調了應該在了解學生學習情況、及時幫助學生消除學習障礙并初步達到新學習的教學必備基礎后才能開展數學新知教學的原則；第三階段，“進行數學課堂練習”，這體現與強調了將所學數學知識內化為數學技能技巧所必須經歷的訓練、形成與提升過程。

7. 教師專業化發展的一個新思路

羅博深教授認為，數學教師專業化成長的最有力和最持久的內驅力可能就是教師自發自覺地一直在尋找新的教學方法，這個觀點為我們的教師專業化發展提供了一個自強不息、樹立目標、留心觀察、見賢思齊、同伴互助、榜樣引領、主動學習的新思路、新方法與新途徑。

8. 數學教育的價值

羅博深教授認為：“學習數學的好處就是它可以教你學會怎么思考問題的方法。如果你很會解答數學疑難問題，那你就很會分析與思考問題。如果你會分析與解決問題，相信你的生活會比還沒有學會思考方法的人要好得多。”這一觀點進一步闡述了數學教育的價值所在。此外，羅博深教授還說：“希望大家一起去發現更多創新的數學方法，一種真正學習數學的思考方法，同時提升我們的思考能力。其實數學是想象力與思考能力的有機結合，如果把這兩個結合在一起，我們就可以更好地學習數學、思考問題，也可以更好地幫助他人和服務社會。”他的這個觀點啟發我們要注重學生的數學想象力與思維能力的開發與培養。

（二）反思

在對羅博深教授的專訪中，我們進一步了解他獨到的數學學習經驗、教學方法與教育觀點，可以促使我們不斷地進行教學反思。

1. 突出勤奮努力的教育價值取向

中小學生是處于不斷學習與逐步成長的青少年。鼓勵和引導中小學生養成勤奮努力、獨立思考、猜想探究、深度學習和創新發展等的意向、毅力、能力、習慣與素養等，是教書育人，特別是數學教育中應始終追求的目標之一。

2. 充分發揮數學難題的教育功能，特別是處于學生最近發展區的數學難題的教育功能

應該科學精準地確定學生的最近發展區，并據此精心選編與學生最近發展區相適宜的難題，通過解答難題深化學生對所學知識方法的理解、對問題的研究，從而進一步提升學生解答難題的技能、積累成功解答難題的經驗以及更好地促進其創新和發展。

3. 正確認識傳統教學方法與信息技術各自的教育教學功能，并充分發揮二者互補融合的作用

信息技術有利于知識的可視化呈現，即信息技術可以動態、直觀、高速與反復再現相關內容，這是信息技術的優勢。但信息技術的這些特點在教學實際使用中容易導致學生感知的信息過載，這種教學內容一閃而過的高速呈現方式與操作方式又常常弱化甚至省略了教學過程，尤其是忽略了學生的感知、學習、思考和內化數學知識方法的必要過程，同時還有可能使教師忽視了在教學過程中對學生的數學想象力、深刻理解能力與思維能力的培養。而黑板、粉筆、現場演算與板書等傳統的教具、教學手段與方式，雖存在短期的、顯性的效率低下問題，但其實施速度或實施進程又正好和學生的感知、理解和掌握新知大致同步，從而更有利于學生想象力、理解能力與思維能力的培養，更有利于學生對其所學知識方法的感知、意義建構和掌握，而這正是傳統教學方式方法的獨特長處所在。

為此，我們應該深入數學教學一線，通過開展教學調查和教學實驗研究等途徑，正確認識傳統教育教學方法與信息技術各自的教育教學功能，并將它們有機融合并充分發揮其各自作用。

4. 突出學生主體地位、注重思維訓練、開展快樂學習應是課堂教學的價值取向

數學課堂教學應該怎么進行？既不能滿堂灌，也不能形式化地淺層合作學習，而應在深入研究課堂教學的本質特征和必要的教學流程的基礎上，注重過程教學，突出學生的主體地位，追求教學的針對性與有效性。

在過程教學中需要強調的是：首先，在知識習得階段和解題階段，應該有學生自主學習與獨立探索的必要過程；其次，在自主學習與獨立探索基礎上應該引導或組織學生們開展思辨交流；其三，在相應的數學技能的訓練與形成過程中，應該有學生對所學知識方法和形成的相應技能的反思、提煉與內化過程；同時，在數學教學中應該讓學生們切身感知或感受到學習結果與進步，以及張弛有度、幽默風趣、主動思考、互動交流、快樂學習的課堂教學氛圍。

簡而言之，探究閱讀、計算推理、思辨交流、快樂學習是成功的數學教育的關鍵所在。

羅博深教授這些獨到的數學學習經驗、教學方法與教學觀點等具有一定的針對性與啟發性，有助于提升我們對數學課堂教學的本質與規律的認識水平，促進我們改變觀念與改進實際操作。同時，也為我們的數學教育，特別是通過數學教育開展創新人才的培養，提供了一些可資借鑒的思路與方法。