雨水入滲條件下地基瞬態極限承載力解析解及其應用

徐瑞麟，秦衛星,3，胡惠仁，劉澤辰，熊軒宇

(1.長沙理工大學 國際工學院，湖南 長沙，410114；2.長沙理工大學 水利與環境工程學院，湖南 長沙，410114；3.水沙科學與水災害防治湖南省重點實驗室，湖南 長沙，410114；4.長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙，410114)

基質吸力對地基承載性能有較大影響，合理考慮基質吸力貢獻，能有效挖掘非飽和地基承載潛能，確保工程設計安全，節約建設成本[1-6]。然而，在施工過程中，裸露地基經常遭遇降雨，雨水入滲會導致地基中上部土體基質吸力減小，進而引起地基承載性能降低，給工程安全造成不利影響[7-11]，因此，準確預測雨水入滲影響下地基基質吸力變化過程，揭示地基極限承載力演化規律，對正確評價雨季地基承載性能、及時采取針對性措施防止施工期地基失穩破壞具有重大現實意義。研究雨水入滲影響下地基基質吸力演化特性以及基質吸力對地基承載性能的影響，一直是非飽和地基領域的研究熱點。SRIVASTAVA 等[7]基于Richards一維非飽和滲流方程，研究了降雨過程中土體基質吸力演化規律，獲得了均質和雙層土體的瞬態滲流解析解。吳禮舟等[8]推導了單層和雙層土體滲流與變形耦合的基質吸力解析解，分析了雨強與土體參數變化對基質吸力分布的影響。胡惠仁等[11]探究了降雨條件下均質黏土地基基質吸力演化規律，并基于正交試驗方法分析了土體水力參數和降雨特征參數影響基質吸力的顯著性。VANAPALLI 等[2-3]通過室內試驗研究了基質吸力對非飽和砂土地基極限承載力的影響，試驗結果表明基質吸力為2～6 kPa區間的地基極限承載力為飽和時的5～7倍。李艷等[4]通過理論分析發現地基承載力在低基質吸力范圍內隨基質吸力增大而快速呈線性增加，在高基質吸力范圍內隨基質吸力增大而呈非線性緩慢降低，并逐漸趨于穩定。趙煉恒等[12]根據Fredlund非飽和抗剪強度理論提出了基質吸力沿深度均勻分布和沿深度線性減小時的非飽和地基極限承載力計算方法。VAHEDIFARD等[13]推導了穩定滲流情況下非飽和土淺基極限承載力計算公式，對比了不同降雨強度雨水穩定入滲情況下砂土、淤泥質土以及黏土地基的極限承載力。謝研[14]采用有限元分析方法研究了降雨條件下地基基質吸力演變特性，并利用可靠度分析理論進一步探究了地基極限承載力變化規律。張常光等[15]基于平面應變條件下非飽和土的抗剪強度統一解，推導了不同基質吸力分布時條形地基太沙基極限承載力公式。上述研究成果表明雨水入滲對黏土、砂土等各種地基極限承載力均有顯著影響，采用的研究手段為進一步深入研究和評價非飽和地基承載性能提供了有益借鑒，但當前研究多假定基質吸力為線性分布，這與實際雨水入滲過程的基質吸力非線性分布存在較大差異，也未能直接揭示雨水非穩定入滲過程中非飽和地基承載性能演化規律，影響了對雨季地基承載性能的快速、準確評價。為此，本文作者以非飽和均質地基為研究對象，針對恒定雨強非穩定入滲情況下地基基質吸力和承載性能演化規律問題進行研究。首先，基于Richards 瞬態非飽和滲流方程，引入Gardner 土-水特征曲線模型，獲得雨水入滲過程均質地基瞬態基質吸力解析解，并利用有限元模擬結果進行了考證。然后，基于非飽和土抗剪強度理論，推導基質吸力沿深度非線性分布時的地基極限承載力表達式，并利用試驗數據證明其正確性。最后，以某非飽和均質地基為例，根據建立的地基基質吸力解析解和極限承載力計算公式，揭示恒定雨強非穩定入滲影響下均質地基基質吸力和極限承載力演化規律。

1 降雨條件下地基基質吸力與極限承載力表達式

1.1 雨水入滲過程地基基質吸力求解

1.1.1 基本假定

進行如下假定：1) 地基土體均質且各向同性，雨水入滲過程土體孔隙保持不變；2) 雨水入滲過程地下水位保持不變；3) 地基遭遇降雨強度不大于土體飽和滲透系數的均勻型降雨(降雨強度與滲透系數的量綱相同)，雨水以恒定降雨強度入滲[7-8]。基于上述假定，繪制雨水入滲作用下地基基質吸力計算示意圖，如圖1所示。

圖1 地基基質吸力計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation of matric suction for foundation

1.1.2 控制方程及方程化簡

由Richards瞬態非飽和滲流方程，結合上述假定條件可得混合格式的地基滲流控制方程：

式中：k為非飽和土體滲透系數，cm/h；z為研究點相對地下水位對應深度，cm；hm為z處基質吸力水頭，cm；θ為體積含水量，cm3/cm3；t為時間，h。

為解決非飽和土滲透系數與基質吸力高度非線性關系給式(1)求解造成的困難，采用GARDNER 等[16]提出的滲透系數函數和土-水特征曲線模型來描述地基滲透系數k、體積含水量θ與基質吸力水頭hm的關系：

式中：ks為飽和滲透系數，cm/h；β為去飽和系數，cm-1；θr為殘余體積含水量，cm3/cm3；θs為飽和體積含水量，cm3/cm3。

由式(2)可知hm=(lnk-lnks)/β，將其代入式(1)，化簡后可得

由式(2)和(3)可知θ=θr+k(θs-θr)/ks，將其代入式(4)，整理后可得

1.1.3 初始條件及邊界條件

地基初始基質吸力狀態對雨水入滲過程基質吸力大小及其分布有重要影響。國內外研究者常以較小的前期降雨強度qA穩定入滲形成的基質吸力分布狀態作為初始條件[7-8,17]。本文采用該方法得到地下水位埋深小于10 m 的均質地基初始基質吸力分布：

式中：h0為地下水位處的基質吸力水頭，通常h0取0 cm。

式(6)直觀反映了土體特性、地下水位以及雨水穩定入滲強度等內外部因素對地基基質吸力的影響。當前期降雨強度qA=0 cm/h時，地基基質吸力水頭hm沿深度方向呈線性分布；當qA≠0 cm/h時，地基基質吸力水頭hm沿深度呈現明顯的非線性分布特征。

根據前面基本假定，計算模型的邊界條件設定為地下水位處基質吸力hm恒為h0，地表處入滲流量為后期降雨強度qB。

1.1.4 基質吸力解析解

參照文獻[7]的處理方法，將式(5)、初始條件與邊界條件化簡，再通過拉普拉斯變換得到土體瞬態非飽和滲透系數[18]，代入式(2)可求得任意時刻非飽和地基基質吸力水頭解析解：

式中：λn為方程tan(λβl)+2λ=0 的第n個根，可編制MATLAB 計算程序求解。為便于后文計算地基極限承載力，將式(7)中基質吸力水頭轉化為壓力形式表示：

式中：α為與去飽和系數β相關的參數，α=100β/γw；γw為水的重度。

1.1.5 解析解考證

某非飽和均質地基地下水位距離地表5 m，降雨過程保持不變，土體物理力學參數如下：飽和滲透系數ks為0.36 cm/h，去飽和系數β為0.001 65 cm-1，進氣值(ua-uw)a為26.32 kPa，儲水量(θs-θr)為0.27 cm3/cm，殘余含水量θr為0.20 cm3/cm，重度γ為20 kN/m，有效黏聚力c′為18 kPa，有效內摩擦角φ′為16°。假設地基分別遭遇無前期降雨和較小降雨2種初始狀態，即qA分別為0 cm/h和0.1 cm/h。后期遭遇降雨持續24 h、總雨量為72 mm 的大雨，可知后期平均降雨強度qB為0.3 cm/h。

取長為10 m、高為5 m范圍內的地基為研究對象，建立如圖2所示的均質地基雨水入滲分析有限元數值模型。分別利用Geo-Studio軟件的滲流有限元計算模塊SEEP/W 和式(8)所示基質吸力解析解，計算降雨過程地基基質吸力，對比二者計算結果，即可驗證非飽和地基基質吸力解析解的正確性。

圖2 降雨入滲有限元數值模型Fig.2 Finite element numerical model under rainfall infiltration

整個降雨過程非飽和地基基質吸力的演化規律如圖3所示，圖中點對應數值模擬結果，線對應解析解。從圖3可以看出2種方法獲得的雨水入滲作用下地基基質吸力大小及其變化規律幾乎一致：前期無降雨發生時初始基質吸力沿地基深度呈線性分布，但前期有降雨發生時初始基質吸力沿地基深度呈非線性分布；在遭遇同樣降雨強度和雨量的后期降雨入滲后，前期有降雨發生時地基沿深度的基質吸力明顯比無降雨發生時的小，充分體現了基質吸力初始狀態對最終狀態的影響；無論地基是否遭遇前期降雨入滲，降雨過程中地基上部土體基質吸力均隨時間推移不斷減小，基質吸力受影響深度持續增加，基質吸力沿深度演化呈現明顯非線性特點。因此，本文推出的非飽和地基基質吸力解析解可實時反映雨水入滲過程地基基質吸力分布狀況，為非飽和地基極限承載力計算提供了支持。

圖3 不同前期降雨強度qA下地基基質吸力演化對比Fig.3 Comparison of evolution of matric suction for foundation under different previous rainfall conditions

1.2 非飽和土地基極限承載力計算

1.2.1 非飽和土地基極限承載力表達式推導

對于非飽和地基極限承載力，應合理考慮基質吸力的影響。國內外學者通常基于Bishop 非飽和土抗剪強度理論，采用下列方法考慮基質吸力對地基極限承載力的貢獻[2-3,15]。

1) 基質吸力產生的吸附強度與一般黏聚力的性質相似，可由下式計算：

式中：Se為有效飽和度，Se=(θ-θr)/(θs-θr)。

2) 在非飽和地基極限承載力計算中，將吸附強度cs與土體有效黏聚力c之和作為總黏聚力來考慮基質吸力的貢獻。根據經典太沙基地基極限承載力計算理論，可得基質吸力沿深度均勻分布時寬為b、埋深為d的基礎，非飽和地基極限承載力計算公式為

式中：γ1為基底以下土體重度，kN·m-3；γ2為基底以上土體重度，kN·m-3；Nγ，Nq和Nc分別為重度、荷載、黏聚力對應的承載力系數；ξγ，ξq和ξc分別為重度、荷載、黏聚力對應的形狀系數，其求解方法和過程可參照文獻[3]。

由于降雨條件下地基基質吸力呈現明顯非線性分布特征，式(10)不能直接用于計算雨水入滲時地基的極限承載力。POULOS 等[19]通過研究指出上部荷載傳遞到地基時，對地基應力的影響范圍集中在基底以下1.5倍基礎寬度的球形區域。基于此研究成果，文獻[2]和文獻[13]分別在地基承載性能的試驗和理論研究中將基底下應力球內平均基質吸力用于地基極限承載力計算，較好解決了基質吸力沿深度非線性分布時地基承載性能分析與評價問題。因此，本文采用該方法來分析和計算降雨條件下地基基質吸力非線性分布時地基極限承載力。以基礎中心線與地下水位線交點為坐標原點，z軸鉛直向上，x軸水平向右，建立如圖4所示的坐標系。降雨任意時刻基質吸力的分布函數可通過式(8)轉化為函數x=f(z)表示。如圖4 所示，在基底以下1.5 倍基礎寬度b范圍內畫應力球，該應力球范圍內基質吸力分布曲線與坐標軸z圍成圖形形心O處的基質吸力即為該時刻平均基質吸力。圖中所示陰影部分形心O的縱坐標zO可由下式計算：

圖4 非飽和地基平均基質吸力確定Fig.4 Determination of average matric suction in unsaturated foundation

式中：A為陰影部分面積。

將式(11)代入式(8)得到平均基質吸力(ua-uw)zO，結合式(3)所示土水特征曲線模型，得到降雨過程非飽和地基極限承載力計算公式：

式(12)反映了極限承載力與地基土體物理力學參數、基礎形狀和尺寸、降雨強度和降雨歷時、地下水位位置之間的映射關系，反映了沿深度非線性分布基質吸力對地基極限承載力的影響。當平均基質吸力(ua-uw)zO為0 kPa時，式(12)退化為傳統飽和抗剪強度理論下的太沙基地基極限承載力計算公式。

1.2.2 解析解考證

VANAPALLI 等[2]開展了非飽和粗粒砂性土地基極限承載力模型試驗。試驗模型槽長×寬×高為900 mm×900 mm×750 mm。土體參數如下：重度γ為19 kN/m3，有效黏聚力c′為0.6 kPa，有效內摩擦角φ′為39°，β為0.131 4 cm-1，進氣值(ua-uw)a為5.68 kPa。試驗中采用埋深d為0 mm、寬b為100 mm、長f為100 mm 的矩形基礎，測試得到基質吸力為0，2，4 和6 kPa 時對應的實際基礎承載力分別為121，570，715和840 kPa。

采用式(12)計算基質吸力在0～30 kPa范圍內的地基承載力，與文獻[2]測試的地基極限承載力試驗結果進行對比，結果如圖5 所示。由圖5 可知：當基質吸力為0，2，4和6 kPa時，據式(12)計算的地基承載力與試驗結果非常接近，兩者的歸一化均方根誤差為7.8%，低于10%，表明式(11)的地基承載力計算結果準確率高[20]。從圖5 還可以發現：基質吸力對地基極限承載力影響顯著，基質吸力位于2～6 kPa區間的地基極限承載力為飽和時極限承載力的5～7倍；當基質吸力較小時，地基承載力與基質吸力隨基質吸力增大幾乎呈線性關系快速增大；當基質較大時，地基承載力隨基質吸力增加先非線性緩慢減小，然后趨于穩定，這一規律與文獻[2-4]的研究結論一致。綜上所述，本文推導的地基極限承載力計算表達式(12)可反映降雨導致的基質吸力改變對地基極限承載力的影響，為快速獲取降雨入滲過程地基實時極限承載力提供了一種簡便方法。

圖5 地基極限承載力對比Fig.5 Comparison of ultimate bearing capacities for foundation

2 降雨過程地基承載性能演化分析

2.1 計算模型及計算條件

以1.1.5節采用的非飽和均質地基為研究對象，計算示意圖見圖4。條形基礎寬b為1 m，長f為10 m，埋深d為0 m，基底完全粗糙。地表距地下水的高度l為5 m，應力球沿深度范圍為[0，1.5b]。前期降雨強度qA為0 cm/h，初始時刻基質吸力沿深度線性分布。在后期降雨過程中，地下水位保持不變，直接以降雨強度qB作用在地基表面。通過計算不同降雨歷時、降雨強度組合方案下地基基質吸力和極限承載力，揭示雨水入滲過程地基基質吸力和極限承載力的演化規律。

2.2 降雨歷時對地基極限承載力的影響

為探究降雨過程地基基質吸力和承載力的演化規律，選取降雨強度qB=0.36 cm/h的暴雨，對比分析降雨歷時0，12，24，48，96，168，240 和360 h 的地基基質吸力和極限承載力。在降雨過程中，地基基質吸力沿深度演化過程如圖6所示，基底以下1.5倍基礎寬應力球范圍內平均基質吸力以及飽和與非飽和地基極限承載力演變過程如圖7所示。由圖6和圖7可知：

圖6 降雨過程中地基基質吸力沿深度演化過程Fig.6 Evolution of matric suction along depth for foundation during rainfall

圖7 降雨過程中地基平均基質吸力和極限承載力演化Fig.7 Evolution of average matric suction and ultimate bearing capacity for foundation during rainfall

1) 隨著雨水入滲，地基基質吸力沿深度快速呈現非線性分布特征，中上部土體基質吸力不斷減小，地表處基質吸力從初始的50 kPa降低至15 d后的0.5 kPa；基質吸力受影響深度持續增加，下滲雨水歷時2 d左右到達地下水位附近。地基應力球內的平均基質吸力隨雨水入滲呈現先快后慢的減小趨勢，雨水入滲2 d 后平均基質吸力下降42%，15 d后基底應力球范圍內土體逐漸飽和，平均基質吸力最終將降為零。

2) 降雨入滲前非飽和地基極限承載力為414.6 kPa，約為飽和地基極限承載力的1.5 倍。隨著雨水入滲，地基極限承載力隨基質吸力減小而降低。雨水入滲15 d 后，基底應力球范圍內平均基質吸力將逐漸降為零，地基極限承載力最終降至飽和抗剪強度理論計算的極限承載力274.5 kPa。地基極限承載力降低趨勢隨降雨歷時整體呈現先快后慢的特點，因此，應重點加強降雨初期基底基質吸力和承載性能的監測預報，防止降雨過程中地基承載力快速下降誘發工程災害。

2.3 降雨強度對地基極限承載力的影響

分別選取0，0.04，0.10，0.20，0.30和0.36 cm/h共6種降雨強度作為后期降雨強度qB，用于分析地基基質吸力和極限承載力的演化規律。經過5 d雨水入滲后，各種降雨強度對應的地基基質吸力沿深度分布如圖8所示，基底應力球范圍內平均基質吸力以及飽和與非飽和地基極限承載力對比如圖9所示。

圖8 不同降雨強度下入滲5 d的基質吸力沿深度分布對比Fig.8 Comparison of matric suction distribution along depth at different rainfall intensity infiltrations after 5 d

圖9 不同降雨強度下入滲5 d的平均基質吸力和極限承載力對比Fig.9 Comparison of average matric suction and ultimate bearing capacity at different rainfall intensity infiltrations after 5 d

由圖8和圖9可知：

1) 各種降雨強度的雨水入滲5 d后，地基中上部土體基質吸力均呈現非線性分布特點。基質吸力減少幅值、受影響深度隨著雨強增大而增加，且上部基質吸力降低幅度大于下部區域的降低幅度，在6 種不同的后期降雨強度(0，0.04，0.10，0.20，0.30 和0.36 cm/h)下地表處基質吸力的減小幅值分別為6.6，15.3，27.3，37.8 和43.1 kPa。基底應力球范圍內平均基質吸力隨降雨強度增加幾乎呈線性下降，從最初的42.9 kPa 減小至qB=0.36 cm/h 時的7.8 kPa。

2) 在不同降雨強度入滲5 d后，地基極限承載力隨雨強度增加幾乎呈線性下降趨勢。當降雨歷時相同時，降雨強度越大，入滲地基的雨水越多，基質吸力減小幅度越大，地基極限承載力降低越快。當雨水以最大降雨強度qB=0.36 cm/h持續入滲5 d后，地基極限承載力由最初的414.6 kPa降低為315.1 kPa，降幅達24%。

3 結論

1) 獲得了雨水入滲過程均質地基瞬態極限承載力表達式，建立了極限承載力與地基土體物理力學參數、基礎形狀和尺寸、降雨強度和降雨歷時、地下水位位置之間的映射關系，為研究和評價雨季地基極限承載性能演化特性提供了一種便捷分析方法。

2) 雨水入滲會快速改變地基中上部土體基質吸力的大小和分布，使之沿深度呈現非線性分布特征，進而弱化地基極限承載性能。地基極限承載力受基底以下1.5倍基礎寬度應力球范圍內平均基質吸力的顯著影響，隨著雨水入滲時間或降雨強度增加而快速降低，最終在應力范圍內土體逐漸飽和并降低至最小值。

3) 根據降雨作用下地基基質吸力與極限承載力演化規律，建議重點做好基底以下1.5倍基礎寬度范圍內防滲排水工作，特別要加強降雨初期基質吸力監測，防止雨水入滲引起地基承載性能大幅降低誘發地基失穩破壞。

本文的研究以均質地基為對象，假定遭遇均勻型降雨入滲且地下水位維持不變，在后續工作中將豐富降雨雨型，考慮水位波動影響，更深入揭示雨水入滲作用下地基極限承載力演化規律，為雨季地基工程防災減災提供技術支持。