基于曲線特性的既有鐵路整正研究

韓玉龍 孫海麗 丁志剛 賈慶魯

(1.首都師范大學三維空間信息獲取與應用教育部重點實驗室，北京 100048；2.山東北斗華宸導航技術股份有限公司，山東淄博 255000)

截至2021年12月，我國鐵路營業里程達到15萬km。為保障列車運行的安全平穩，以及乘客乘坐的舒適性，必須保證鐵路軌道的高平順性[1-2]。

傳統的鐵路軌道平順性調整方案，通常使用全站儀、水準儀、道尺、弦線等儀器測量軌道的幾何狀態，再由內業人員計算調整量，使之滿足軌道平順性指標限差[3-6]。由于列車對軌道的沖擊，以及維護調整、地面沉降等原因，會使軌道實際中心線產生偏移現象[7]，這給軌道平順性調整帶來很大困難。因此，根據實測線路擬合出滿足要求的設計數據并計算調整量，對長期運營鐵路平順性測量與調整量計算具有重要意義。

目前，既有線路優化及調整多以高速鐵路無砟軌道為研究對象，對有砟軌道養護維修作業研究較少。有砟鐵路傳統的維護措施，由于缺乏精確的設計線路及調整方案的支持，會導致長距離平順性控制和整體線形幾何參數恢復都達不到理想效果。

在既有線路平順性調整中，李紅艷等提出了既有鐵路軌道線形及搗固方案優化技術，基于絕對測量數據計算軌道線形，并在此基礎上進行搗固調整[8]；張震等基于實測線形生成貼合實際線形的模擬設計線形，并以此為基礎進行調整[9]。在軌道搗固質量控制方面，楊飛等通過研究軌道狀態識別方法及控制標準，提出引入作業管理指標來輔助控制大機搗固質量[10]；張皓然等通過對搗固前后線路質量進行多維度評估，針對搗固作業后的軌道幾何形位的變化，提出了一套考慮波長因素的搗固方案[11]。

在以上研究的基礎上，提出一種基于曲線特性的既有線路整正研究方法，根據實測數據對既有線路進行分析，擬合生成與實際位置偏差小、符合軌道曲線幾何特性的模擬設計數據，以解決既有線路整正問題。

1 軌道設計數據線形特性

為保障鐵路運行的安全性，提高旅客乘坐舒適度，軌道線路平、縱斷面設計應滿足一定的數學特性，以實現線路空間曲線的平順性。軌道設計數據主要包括平曲線、豎曲線。

1.1 平曲線

鐵路水平線形主要由平曲線體現。一般包括直線段、緩和曲線段和圓曲線段，緩和曲線一般用于連接直線段和圓曲線段，起到線路轉角平穩過渡的作用。水平線形主要包括直緩點(ZH)、緩直點(HZ)、緩圓點(HY)、圓緩點(YH)，將線形整體劃分為直線段、緩和曲線、圓曲線。

平曲線設計數據主要由里程值、樁點X坐標、樁點Y坐標、樁點類型、切線方位角、圓曲線半徑、超高等因素組成[12]。水平設計線形一般滿足以下幾何特征：直線的曲率恒定為0，圓曲線的曲率與設計半徑R滿足K=1/R。

圓曲線段長度與角度關系為

L圓=Δθ1×r

(1)

式中，L圓為圓曲線長度；Δθ1為圓曲線轉彎角度；r為圓曲線半徑。

緩和曲線是圓曲線與直線段之間的過渡曲線。在鐵路從直線軌道駛入圓弧軌道的過程中起到緩沖作用，保障運行的安全平穩。緩和曲線滿足任意點的曲率半徑與緩和曲線起點的距離乘積保持不變的特性，即RL=A2(A2為常數)。其中，L為該點距緩和曲線起點的里程；緩和曲線曲率保持K=1/R=L/A2。因此，緩和曲線的曲率K是里程L的函數，即K=f(L)[13]。

緩和曲線段的轉折角與緩和曲線段長度關系公式為

L緩=2×Δθ2×r

(2)

式中，L圓為緩和曲線長度；Δθ2為緩和曲線轉彎角度；r為緩和曲線所連接圓曲線的半徑。

1.2 豎曲線

豎曲線是把縱斷面上兩條相鄰的縱坡線相交的轉折點連接起來的一段曲線，主要為了對變坡點處列車豎直方向的沖擊作用進行緩和。豎曲線中沒有緩和曲線部分，直線段直接與圓曲線相連。根據變坡點在整體曲線上的位置，豎曲線可以分為凹曲線和凸曲線。凸曲線中變坡點在整體曲線上方，而凹曲線變坡點在整體曲線下方。

2 軌道平順性理論

2.1 平面平順性

平面平順性主要是分析軌向方面，是指軌道中心線在水平面上的平順性指標。軌向不平順在直線段主要表現為不夠筆直，曲線段具體表現為不夠圓順。當軌道平順性達不到規范要求時，列車在行駛過程中就會出現較大的橫向運動，甚至引起蛇形運動，會威脅到行車安全以及平穩。

參考《高速鐵路工程測量規范》，軌道的軌向和高低測量要求計算3種不平順值，即短波、中波、長波不平順。短波以10 m弦線為基線，中波以30 m弦線基線，每隔5 m計算一次；長波以300 m弦線基線，每隔150 m計算一次。根據工程要求，以10 m弦短波不平順為例進行分析。

軌道短波不平順檢測方法是以10 m弦線為基線，計算5 m處實測正矢與設計正矢之間的差值作為軌道平順性的評價標準，短波平順性檢測方法公式為

Δh=|h設計-h實測|

(3)

式中，h設計為檢測軌枕處設計正矢；h實測為檢測軌枕處實測正矢。10 m弦短波不平順檢測方法示意見圖1，其中，N為檢測弦的起始位置。高低和軌向不平順計算方法與之類似。

圖1 10 m弦短波不平順檢測方法示意

2.2 豎向平順性

高低是指軌道鋼軌在豎直方向的平順性指標，主要為防止鋼軌存在高低不平的問題。由于地面沉降，扣件的松動以及列車行駛過程中的磨損等問題，高低不平順難以避免。高低不平順會造成列車在行駛過程中由于前后高低不平而產生沖擊力較大的情況，會發生點頭和振動，從而破壞軌道的高低平順度，甚至會發生脫軌現象。

3 軌道平順性調整方法

3.1 曲線約束下的線形計算

由于列車沖擊，以及維護調整、地面沉降等原因，會使長期運營線路軌道實際中心線產生偏移現象，從而影響行車安全。根據實測數據對既有線路進行分析，擬合出即與實際位置偏差較小，又符合軌道曲線幾何特性的模擬設計數據，能以較小的調整量使既有線路重新保持平順。同時模擬設計線形可以固定作為目標線形進行多次調整，并最終使實際線路與之完全符合。

由于緩和曲線兩端樁點位置曲率變化較小，只依靠線形擬合難以較為準確地確定直緩點與緩圓點，從而導致難以控制偏差計算結果。首先采用最小二乘法擬合計算直線參數；曲線段擬合獲得圓曲線半徑并根據曲率計算緩和曲線；最終通過樁點解算的方式反算模擬設計線形。

(1)線形計算

①直線段

選取明顯位于直線段內的測量點利用最小二乘法進行擬合[14]，得到直線方程，并確定線形參數，公式為

y=kx+b

(4)

式中，斜率為k；斜距為b。則可獲得直線方位角αl=tan(k)，以及曲線部分轉折角β=α1-α2。

②曲線段

選取明顯位于圓曲線段內的部分測量點，使用Taubin擬合理論[15]計算圓曲線方程，公式為

(x-a)2+(y-b)2=R2

(5)

由于緩和曲線兩端樁點位置曲率變化較小，難以區分，采用曲率計算的方式進行解算。直線段曲率K=0；圓曲線的曲率為圓半徑的倒數，即K=1/R；緩和曲線中曲率半徑R與距起點里程L與保持RL=A2，即K=1/R=L/A2，因此緩和曲線曲率K與里程L為一次函數關系，在里程-曲率關系上表現為斜率不為0的直線，見圖2。

圖2 里程-曲率關系

對軌道中心線實測數據求導，則各處曲率為

(6)

根據里程L和曲率K擬合參數A2，根據圓曲線曲率和A2，即可解算緩和曲線長度Lh。

由于曲線部分主要為兩端直線之間的過渡連接部分，故曲線所提供轉折角必須等于兩段直線轉折角，即β=γc+2γh。根據擬合獲取的關鍵參數，圓曲線半徑R、緩和曲線長度Lh，即可由曲線特性計算得緩和曲線轉折角和圓曲線長度，有

(7)

Lc=γcR

(2)樁點解算

曲線部分緩和曲線里程增加為Lh，起始方位角等于前段直線方位角即αh=α1，圓半徑為R，根據緩和曲線樁點計算公式，可得曲線切線增長和外矢距，有

(8)

式中，Hhx為曲線切線增長值；Hhy為外矢距。根據緩和曲線開始方位角，可計算x，y方向增量dhx1和dhy1。

根據圓曲線樁點計算公式，可得切線增長和外矢距，有

Hcx=Rsin(αc)

(9)

Hcy=R(1-cos(αc)

式中，Hcx為切線增長量；Hcy為外矢距；αc為圓曲線起始方位角。即可得到圓曲線x，y方向增量dcx，dcy。

Dx，Dy為兩段緩和曲線與圓曲線增量之和。此時，根據前后兩端直線參數與增量變化值，有

(10)

聯合計算可得樁點坐標，直緩點坐標為

(11)

ZHy=k1×ZHx+b1

緩圓點、圓緩點和緩直點坐標分別根據逐段變化求得。豎向線形計算與水平線形計算相似，不再贅述。

3.2 軌道平順性調整方法

(1)多項式擬合理論

軌道平順性調整量采用多項式擬合[16]的方法進行計算。多項式擬合是一種將誤差的平方最小化并獲取與數據的最佳匹配的函數，是一種經典的數學優化方法。假如已知數據點(xi，yi)(i=0，1，2，…，n)，則求多項式函數公式為

p(x)=a0+a1x+…+amxm(m+1

(12)

并使其滿足

(13)

稱為多項式擬合。參考聶松廣無砟軌道基準軌模擬調整量自動計算方法研究成果[17]，每分段中采用10階多項式進行擬合。

(2)分段擬合方案

為使調整后線路盡量符合原設計，在以往調整方案的基礎上，采取分段調整的方法；同時，為了保證整體的平順前后各搭接30 m，首先將偏差量調整到合理范圍，再進行多項式擬合。

平順性調整中，首先根據設計數據和實測坐標再進行里程修正，將實測數據的里程歸算至設計數據；對實測數據進行偏差計算，獲得各測量點的橫向偏差和垂向偏差數據。

各分段內部軌道平順性調整，以線路絕對偏差的平方最小化作為優化目標函數，有

(14)

式中，xi為i點里程值；yi為此處偏差值；p(xi)為該點多項式擬合結果。

在目標函數的基礎上，建立軌道各點調整量的約束條件。大機撥道作業的目標是使線路平面位置接近理想設計線形，然而受到復雜線路情況的干擾，以及機械設備自身調整范圍的限制，調整效果很難達到預期目標。因此，需要建立軌道調整極限約束，即

(15)

式中，Ci為單i點軌道調整量；a，b分別為該點調整量的上限和下限。

首先根據偏差數據對軌道進行第一次調整，偏差量小于等于調整極限的，直接將偏差調整為0，即

Ci=-Di(i=0，1，2，…，n)

(16)

式中，Ci為調整量；Di為偏差量。

偏差量大于調整極限時，令調整量為調整極限，即

Ci=Cmax(i=0，1，2，…，n)

(17)

之后對軌道進行第二次調整，即將目標函數和約束不等式聯合求解，獲得軌道平順性調整方案，實現了對軌道線形的調整和平順性狀態的控制。

4 應用測試

在某普速鐵路有砟軌道平順性調整工程中，應用基于曲線特性的既有線路整正方法，生成模擬設計線形，并計算軌道調整方案，從而使其滿足平順性要求。測試線路長約2 km，包括直線段和曲線段。

測試過程中，首先使用軌道測量小車采集測試軌道左右軌及中線坐標、軌距、航向角、橫滾角、俯仰角等數據；再根據線形計算和樁點解算測試區段線路的設計線形，并根據軌道平順性調整方法生成軌道平順性調整方案；最后將調整方案導入搗固大機，并進行平順性調整。軌道測量小車主要集成了GNSS/IMU組合導航系統，并搭載了3個GNSS接收器、高性能慣導及里程計等，可融合GNSS基準站觀測數據，解算軌道線路絕對坐標。在實際軌道平順性調整工程中，其軌道橫向偏差精度2 mm，垂向偏差測量精度2 mm，變形點水平方向精度1 mm，垂直方向精度1.5 mm，普速鐵路軌道數據采集現場見圖3。

圖3 普速鐵路軌道數據采集現場

本次平順性調整主要應用對象為普速鐵路有砟軌道，調整中主要根據基準軌調整絕對偏差，非基準軌及超高、軌距等由導軌調整車自動調整。具體調整方案中，先使用實測軌道中心線解算模擬設計數據，再根據模擬設計數據對軌道線路進行平順性檢測和調整。實測線路與擬合設計線路對比見圖4，可以看出，擬合線路在保證線路符合軌道曲線幾何規律的同時，與實測線路整體吻合較好。

圖4 實測線路與擬合設計線路對比

對軌檢小車采集的測量數據進行軌道調整量自動計算中，受限于普速鐵路導軌調整車橫向調整極限±30 mm，垂向調整0～30 mm，垂向調整中首先以±15 mm為極限，最后做整體抬升調整。誤差在調整極限內的首先將誤差調為0，再進行平順性調整。軌道平順性調整前后橫向偏差見圖5，軌道平順性調整前后垂向偏差見圖6。

圖5 軌道平順性調整前后橫向偏差

圖6 軌道平順性調整前后垂向偏差

本次實測線路為時速小于160 km的普速鐵路，軌向限差1.4 mm，高低限差為1.8 mm。調整前后軌向不平順對比見圖7、圖8。不難看出，調整后軌向不平順和高低不平順整體大幅降低(見表1、表2)。最終調整后，TQI合格率為100%，符合線路養護維修作業驗收要求。

表1 軌向合格率對比

表2 高低合格率對比

圖7 調整前后軌向不平順對比

圖8 調整前后高低不平順對比

受限于導軌車調整極限，實際線形無法通過一次調整到位。模擬設計線形可以固定，作為目標線形進行多次調整，并最終使實際線路與之完全符合。

5 結語

對于長期運營線路軌道實際中心線產生偏移的現象，研究一種基于曲線特性的既有線路整正方法。根據實測數據對既有線路進行分析，并擬合出與實際位置偏差較小，又符合軌道曲線幾何特性的模擬設計數據，以較小的調整量使既有線路重新保持平順，并且在長期的運營維護中可以將其固定作為目標線形。在實際工程中，對前述方法進行了應用，并針對工程需求提出軌道平順性分段調整的方案。在實際工程中對兩種方案進行實驗驗證，效果良好。