正方形對角線性質的再探究

?寧波科學中學 王 震

1 引言

正方形是初中數學的一個重要內容，因其具有獨特的圖形特點、圖形風格、圖形性質，也是中考的一個重要考點，特別是正方形的對角線更值得深入探究.下面就一起走進正方形對角線的探究天地，共賞正方形的美景！

2 性質探究

圖1

下面給出性質①的幾種證明，供學習時借鑒.

證法1：三角形全等法.

因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC，BD相交于點O，所以∠OCF=∠OCG=45°.

因為OG⊥CD，OF⊥BC，所以∠OFC=∠OGC=90°.又OC=OC，所以△OFC≌△OGC.即得OG=OF.

證法2：三角形面積法.

這里僅提供兩種常見的證明方法，供參考.其余性質的證明讀者感興趣的，可以嘗試自己完成.

3 性質應用

3.1 借助四邊形的面積，求正方形的邊長

例1(2021·重慶中考)如圖2，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，M是邊AD上一點，連接OM，過點O作ON⊥OM，交CD于點N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長為( ).

圖2

解析：如圖3，過點O分別作OG⊥AD，垂足為G，OH⊥CD，垂足為H.根據性質，得OG=OH.

圖3

∵OH⊥OG，OM⊥ON，

∴∠GOM=∠HON，

∠OGM=∠OHN.

∴△OGM≌△OHN.

故四邊形GOHD的面積等于四邊形MOND的面積，等于1.

由四邊形ABCD是正方形，則其面積為四邊形GOHD的面積的4倍，等于4，所以AB=2.

故選答案：C.

點評：根據正方形的特點，過正方形的中心引兩邊的垂線，利用三角形的全等，化已知四邊形的面積為正方形一角四邊形的面積，從而根據正方形的面積是一角四邊形面積的4倍計算即可.這個結論有著重要的應用，若遇到填空題或選擇題是可以直接運用，從而提高解題的效率.

3.2 構造中位線，求中位線的長

例2(2021年天津)如圖4，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別在BC，CD的延長線上，且CE=2，DF=1，G為EF的中點，連接OE，交CD于點H，連接GH，則GH的長為．

圖4

解析：如圖5，過點O分別作OM⊥BC，垂足為M，ON⊥CD，垂足為N，連接OF.

圖5

在Rt△ONF中，根據勾股定理，得

點評：解答時，把握好如下三點.(1)學會過正方形對角線交點引垂線構造頂角正方形，為性質的使用奠定基礎；(2)靈活運用三角形中位線定理找中點，求線段的長度；(3)活用正方形的性質，定直角確定直角三角形，為勾股定理的使用創(chuàng)設解題條件.

3.3 利用性質，判斷結論的正誤

圖6

A. ①②③④ B. ①③④

C. ①②③⑤ D. ①②④⑤

解析：因為正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，所以OD=OB.因為點F是DE的中點，所以OF是△DBE的中位線，即OF∥BE，并且BE=2OF.因為CE=4，OF=6，所以BE=12，BC=8.又OG是△DBC的中位線，所以OG=4，于是GF=2.故結論①正確.

圖7

故選答案：C.

點評：解答時，要把握如下幾個關鍵知識點.一是熟練掌握正方形的性質，特別是對角線平分對角性質；二是熟練掌握等腰直角三角形的性質；三是靈活運用直角三角形斜邊上的中線性質；四是靈活運用特殊角的三角函數值，銳角的正切的性質，這也是解題的有效方法；五是熟練掌握三角形面積不同表示法，這也是一種經常用到的解題思路，特別是當思維打不開時，聚焦這個思維方向，往往會收到柳暗花明的效果，值得多重視、多運用、多關注.

4 解后反思

通過解題，得到如下啟示：(1)正方形是一種特殊的四邊形，其特殊性往往是解題的重要依據或是解題的重要途徑，因此常態(tài)學習中，要引起高度重視，并熟練掌握和活用.(2)以正方形為背景的考題非常容易與勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、三角形的中位線定理、等腰直角三角形、圖形的面積、特殊角的三角函數值有機融合，成為培養(yǎng)知識綜合運用能力、解題能力的有效載體，更值得重視.(3)對正方形的學習要從章內綜合和跨章節(jié)綜合兩個層面去把握.章內綜合要立足正方形的性質，重點放在對角線的性質、正方形的對稱性質；熟練掌握好正方形的對角線與邊之間的關系，這是一個非常關鍵的結論型關系，往往成為解題的“橋梁”.跨章節(jié)綜合立足于三角形的相似、三角函數，特別是特殊角的三角函數值問題，更是生成跨章節(jié)綜合的有效生長點和重要結合部，在常態(tài)的學習過程中，要格外重視，且養(yǎng)成主動向這個方向拓展、延伸的好習慣，進而提升自我數學綜合解題能力；正方形與勾股定理的聯系也十分密切，正方形四個角是直角，對角線互相垂直、平分又生成直角，這些都為勾股定理的使用培植了知識沃土，為定理運用創(chuàng)造了條件.當然，正方形的跨章節(jié)綜合還有旋轉、平移、全等等類型，鑒于篇幅，在這里就不再贅述.