基于數形結合思想培養初中學生數學核心素養

□甘肅省天水市秦安縣古城中學 張霞霞

進入新時期，我國社會對人才類型的需求更加傾向于邏輯強、思維靈敏的復合型人才，而思維的培養不是一蹴而就的，需要長期的引導和科學的運用。初中階段作為思維初步成型且不斷發展的重要時期，需要融入素質教育理念，幫助學生形成良好的思維邏輯，從而在學習和思考問題時能游刃有余。在實際應用過程中，數形結合能幫助初中生形成思維建模，具有一定的邏輯性和系統性，與核心素養的培養理念相一致。

一、數形結合在初中數學中的教學原則

（一）雙向性原則

雙向性原則是落實數形結合法的基礎性原則，需要教師針對某一抽象的數學問題進行幾何分析，實現互補，將復雜的代數關系轉換成圖形，再針對其內涵進行精準解讀；同時，利用幾何圖形來重新縷清代數關系，降低數學知識點的難度，形成系統化的解題思路，既要做到“以形助數”，又要做到“以數思形”，久而久之形成抽象思維，培養核心素養，這類方式主要見于初中數學完全平方公式和幾何圖形類知識點。

（二）由繁化簡原則

由繁化簡原則，顧名思義就是利用數形結合，將抽象的內容進行直觀演示，在“數”與“形”的變換中更加清晰、具體地展示圖形，將煩瑣且長篇幅的數字關系逐一轉換成圖像語言，加深記憶，在腦海中形成思維建模，簡化分析流程。在由繁化簡的過程中需要注意數形結合方式的運用，若題目過于煩瑣，可以用圖形來加以解讀，若是圖像不細致，則要利用數字關系解讀圖形，切忌本末倒置。

（三）等價性原則

等價性原則要求教師在解讀幾何性質與代數時要充分反映二者的關系，確保做到無偏差、互補。在初中數學中有很多圖形關系和動點問題，或一些示數不規范，使圖像理解存在歧義的現象，導致學生思維空白。基于等價性原則的數形結合法能有效彌補這一缺陷，確保幾何關系與代數關系所表達內涵的一致性，降低解題失誤率。

二、數形結合培養核心素養的途徑

（一）導入數形結合思想完善思維

數學核心素養的培養是新時期初中數學教育的一項重點任務，這一過程中要求教師將側重點放在思維方面的培養上，然而核心素養的養成需要長期的積累與循序漸進的引導，因此教師可以在教育初始階段引入數形結合思想，提升學生認知，在其腦海中構建一個完整的輪廓，再進行接下來的針對性引導，重塑思維邏輯，形成完善的知識網絡體系，在學到新知識時能自然而然地利用數形結合法進行思維轉換。

代數是初中數學中比較基礎的部分，但其知識點在后續教學中所涉及的部分很多，需要教師打下良好基礎。例如，在華師大版初一數學第二章“有理數”的學習過程中，首先需要詳細講解有理數、無理數、整數、正數、負數等內容的具體概念。為了在學生思維中建立數形結合思想的基礎，教師可以運用具體圖像來幫助其強化理解，適當融入以往教學過程中的知識點，如小數、整數、分數等。在授課過程中可以采用問題式引導，根據圖1 橫軸示數的內容提出以下問題：0 點兩邊的數值有什么區別和共性？a 與b 之間存在多少有理數，多少整數？|a|與|b|誰大 ？ A 和 B 誰大？

有理數中比較容易混淆的知識點在于數值的正負性比較和絕對值比較，通過數形結合的方式能有效規避這類問題，讓學生了解和掌握數形結合的基本運用方式，提升思想認知，若遇到類似問題能巧妙運用數形結合思想，從而掌握有理數、正負數的規律。

（二）由“數”到“形”的分類討論法

邏輯思維能力是數學核心素養的重點部分，而數形結合思想理念正是培養邏輯思維的最佳路徑。現階段，核心素養的培養理念已經在各個中學普及，但部分初中教育工作者在授課過程中仍舊存在偏離理念、過于重視成績的現象，導致教學質量和效率始終保持在原本水平，無法實現突破。此外，還存在不知如何深度落實數形結合思想的現象。基于此，可以選擇最基本的分類討論法來落實數形結合理念，從“數”到“形”優化課堂內容，不僅能提高學習效率，還能培養數學核心素養。

函數是初中生公認的一大數學難點，很多學生對其望而卻步，甚至一看到有關函數的題目直接跳過，畏難心理較重，而初中數學中關于函數的知識占比很大，造成的直接影響就是數學成績一落千丈，還有部分學生會因此厭倦數學科目，而數形結合思想剛好可以打破這一教學困境。以華師大版初中數學“二次函數”為例，首先需要明確二次函數的難點是哪部分，從而對癥下藥，一般情況下基礎二次函數的難點在于規定某一范圍，求取最大最小值的部分。例如，這道題目：已知-1≤x≤a（a 為大于-1 的常數），求函數y=x2的最大值M 和最小值m。在解題之初需要教師帶領學生進行詳細分析，首先，需要明確二次函數y=x2的圖像；其次需要明確能夠決定y=x2變化的因素在于“a”的取值范圍，判斷最值時可以借助函數圖像，并將幾個數值節點“-1”“0”“1”視為關鍵點，可以歸納出四個范圍，即“-1≤a≤0”“0＜a＜1”“a=1”“a＞1”；最后，需要秉持直觀性原則畫出圖像進行分類討論（如圖2）。

根據函數圖像能讓學生清楚地了解到a 的不同范圍會得到不同的結果，為了確保不會出現漏項的問題，教師要按照圖像依次進行分類討論：

（1）-1≤a≤0 時，當 x=-1 時，y 最大為 1，當 x=0 時，y 最小值為 a2；

（2）0＜a＜1 時，當x=-1，y 最大為 1，當x=0 時，y 最小為0；

（3）a=1 時，當 x=-1 或 1 時，y 最大為 1，當 x=0 時，y 最小為 0；

（4）a＞1 時，當 x=a 時，y 最大為 a2，當 x=0 時，y 最小為0。

綜上，能夠直觀地向學生傳達解題思路，在其腦海中形成完整的思維邏輯，再遇到類似的題目時他們也會采用同樣的方法來進行作畫。在此過程中需要強調最后的總結部分，確保不要丟項漏項，書寫時務必將圖像與分類討論項對照，注明各個圖像范圍所對應的內容，尤其區分“＜”“≤”“=”以及范圍的正負性。

（三）由“形”轉“數”的圖像解析法

除了由“數”轉“形”外，教師還可以舉一反三，利用由“形”轉“數”方式來幫助學生提升思維靈活性。對初中生來說，幾何類圖形具有一定的抽象性特點，往往伴隨著長篇幅的定義，經常出現點位混亂的現象，導致思維模棱兩可，無法形成完整的記憶鏈。以往幾何圖形類教學只是在黑板上畫出圖形進行講解，有時涉及的圖形很多，讓人眼花繚亂，分不清線與線的具體關系，基于此，數形結合思想剛好能起到輔助作用。

由“形”轉“數”的圖像解析法主要針對一些復雜的圖形問題，可以合理引入直角坐標系來直觀展示圖形之間的數量關系，做到化繁為簡。以此題為例：在矩形 ABCD 上的 CD 邊存在一點 P（與 C、D 點不重合），連接A、P 兩點形成線段AP，并過點A 做一條垂直線與CB 延長線交于點Q，連接PQ，選PQ 的中點為M。在此圖中 AD=10，AB=a，PD=8，a 的值會發生大小變化，M 點位置也會隨之變化，當點M 落在矩形ABCD 外部后，求取a 值范圍。

根據材料內容可以發現題目十分煩瑣，若直接畫圖可能會更加混亂，思維無法拓展，尤其涉及動點知識，因此可以以直角坐標系為基礎完成圖像的繪制，從而直觀地展示數字關系（如圖3），建立以B 點為 0 軸的坐標系，BA 為 y 軸，BC 為 x 軸，根據題意可知 A 為（0，a），P 為（10，a-8），AP 的斜率 kAP=-4/5，因此可以得出AQ 的函數表達式y=4/5x+a，由于AQ與X 軸相較于點 Q，因此 Q 坐標為（-4/5a,0）,M 作為QP 中點，坐標為（5-2/5a，a/2-4），當點 M 落在矩形ABCD 外部時處于第二象限，可列出關系式5-2/5a＜0和a/2-4＞0,最終解得a＞12.5。

數形結合的圖像解析法能化繁為簡，更加清晰地展示圖形之間的函數關系，尤其針對一些比較復雜的動點問題很有成效，同時還能起到調動興趣、引領思維的作用，使其思維始終貫穿于課堂，即使在中途存在思維偏離的現象，也能根據圖像及時回到課堂，跟上教師思路，培養數學核心素養。

（四）信息技術引導思維建模

相比于以往的教學模式，數形結合更加注重數學建模思維的培養，通過圖形與數值轉換的方式強化對知識點的理解，從而讓學生深度了解圖形關系，在腦海中建立系統的解題思路和學習體系，在遇到新問題時能根據數值自然而然地帶入。仍以上述的動點問題為例，初中生的抽象思維尚未成熟，在利用由“形”轉“數”的過程中很難在腦海中形成動態的模型，教師可以利用信息技術的可操作性將標準坐標輸入在教學系統中，通過動點的移動感受其與之相關點的動態軌跡，從而在頭腦中形成思維建模。

除了解決實際問題外，還可以將其運用于教學中，例如，在教學華東師大版初中數學九年級“與圓有關的位置關系”時，由于教材中的關系類型很多，且圖形變換中涉及的數值也很多，若仍舊采用“黑板+粉筆”的方式會浪費更多課堂時間，且不符合由繁化簡原則，無法直觀地展示動態變化過程，在繪制的過程中學生思維也會出現中斷，導致教學效果不佳。基于此，教師可以采用信息技術的可操作性來進行數形結合引導，利用多媒體技術展示動態的效果，為了提升整體效果，可以選擇坐標軸的方式。以“圓與直線的位置關系”為例，在授課過程中教師可以在課件中作出直角坐標系和圓，將圓心點放在y 軸上，圓的半徑為r，圓心點到垂直于x 軸的距離為d，通過對d 輸入不同數值來展示圓和直線的位置關系，并讓學生觀察規律。此外，還可以利用教學軟件形成動態的移動軌跡，當到達臨界點時停頓，引導學生分析影響直線與圓關系的因素，并歸納為以下幾點：1.當d＞r，直線和圓相離；2.當d=r，直線和圓相切；3.當d＜r，直線和圓相交。通過這種方式能快速地在學生腦海中形成思維建模，并與理論相結合，充分了解知識點的形成過程，在進行后續教學時仍舊可以利用信息技術來調動學生的課堂積極性。如“圓和圓的位置關系”，可以在坐標軸上畫出兩個圓心均在x軸的圓，并將兩圓心點之間的距離設為L，兩個半徑分別為r1 和r2，在實際的演示過程中還可以讓學生親自到臺上通過移動鼠標來改變L 的數值，以此來調動學生的積極性，培養數學核心素養。

（五）數形結合培養數據分析能力

初中階段是養成良好數學思維的重要時期，教育工作者在選擇教學方法時務必要結合該階段學生的思想規律，從實際情況出發。數據分析能力要求學生具備認真的態度和縝密的思維，確保在書寫過程中不會出現遺漏現象和書寫錯誤現象，一般情況下被統計的數據會相類似，直接排列數值會造成視覺疲勞，導致最終結果偏離正確答案，尤其是帶有小數點的數據，因此可以采用繪制統計圖表的方式直觀展示數值的變化趨勢。在實際授課過程中，教師可以以組為單位開展統計活動，將學生分為3～4個小組，每組人數控制在8～10 人左右，為了突出學生的主體地位，可以采用組內合作的方式，通過討論選擇一個話題進行組內統計，如短跑成績、掰手腕堅持的時間、平板支撐堅持的時間等，盡可能選擇能夠以秒為計數單位的內容，以此來調動課堂氛圍，提高學生的課堂參與度，使學生快速進入課堂狀態。在完成統計圖后需要計算平均數、中位數、眾數、方差、標準差等。通過這種方式能直觀地看到數值的差異，引導學生注意細節變化，以數形結合的方式提升初中生的數據分析能力，做到認真仔細，避免出現丟項漏項的問題，間接培養數學核心素養。

總的來看，數形結合對初中生來說是效率較高的教育方法，對數學核心素養的培養具有一定的促進作用，通過圖像引導、思維導圖、對比等方式強化理解，提高記憶效果。作為新時期的數學教育工作者要不斷創新思維，探索更有深度的教學模式，加強思想引導，充分利用客觀條件采用多樣化的教學手段，幫助學生養成良好的學習習慣和思維能力。