一道幾何題的解法探究與反思

史增習

(浙江省慈溪市橫河初級中學,315318)

2021年期末復習時,筆者評講了一道幾何題,在講完這道題后,感覺意猶未盡,在課后作了進一步研究,并積累了一些心得.現將所得心得整理成文,與各位同行交流分享.

一、原題呈現

如圖1,E,F,G,H分別是矩形ABCD四條邊上的點,連結EG,HF交于點O,EG∥AD,FH∥AB,矩形BFOE∽矩形OGDH,連結AC分別交EG,FH于點P,Q.下列一定能求出?BPQ面積的條件是( )

(A)矩形BFOE和矩形OGDH的面積之差

(B)矩形ABCD與矩形BFOE的面積之差

(C)矩形BFOE和矩形FCGO的面積之差

(D)矩形BFOE和矩形AEOH的面積之差

二、總體分析

這是一道以相似矩形為背景的具有寧波特色的PISA題,旨在考查學生觀察能力、邏輯推理能力、計算能力等核心素養,同時要求教師在教學過程中,應把握問題實質,實施針對性、導向性教學,讓學生跳出題海煩惱.

三、解法探究

1.代數法

解法1設OH=a,OG=b,矩形BFOE與矩形OGDH的相似比為k,則BE=ka,BF=kb.

∵EP∥BC,∴?AEP∽?ABC,

∴EP=b,PO=kb-b.

同理,可得QF=a,OQ=ka-a,

∴S陰影=S矩形EBFO-S?EBP-S?BFQ-S?POQ

而k2ab為矩形EBFO的面積,ab為矩形HOGD的面積,故答案選A.

2.幾何法

解法2如圖2,連結EH，HG.

由矩形BFOE∽矩形OGDH,可得矩形ABCD∽矩形HOGD，∴?ADC∽?HDG,∴∠DAC=∠DHG,∴HG∥AC.

∵EG∥BC,∴∠HGO=∠APE=∠ACB,

∴?HOG≌?AEP≌?QFC,

∴S?HEG=S?QBC.

∴S陰影=S?PBC-S?QBC=S?PBC-S?HEG

∵矩形HOGD∽矩形EBFO,

∴OG·OF=HO·AH,

即S矩形OFCG=S矩形AEOH,

故答案選A.

解法3不難發現,?BPQ是兩個大?ABQ與?PBC的重疊部分,

∴S陰影=S?ABQ+S?PBC-S?ABC

故答案選A.

四、解題反思

1.對于PISA題,我們通常可以從代數和幾何兩個視角入手解決.代數法只要增設一些變量,雖然思維含量小,操作相對簡單,但在解題過程中,往往計算量較大,對考生的計算能力有較高的要求.而幾何法,思維含量大,旨在考查學生的觀察能力和邏輯推理能力等思想方法,但一旦想到,答案水到渠成.以上兩種方法各有千秋,在平時教學中,教師應多引導、多比較.

2.由解法2,可知相似矩形(多邊形)的知識,往往通過添加輔助線,利用邊、角關系,化歸為相似三角形、全等三角形等知識.在九上“相似多邊形”的教學中,很多教師為了趕進度,只要求學生機械記憶相似多邊形的邊、角性質,并配套一些簡單的題目加以鞏固,草草了事.這種教學方式,學生只能解決一些簡單的題目,并沒有把學生的思維向深度發展,一旦遇到綜合題,學生就束手無策了.因此,在平時教學中,教師應多研究教材,多總結思想和方法,多整合教學資源.

3.由解法3,不難發現條件“矩形BFOE∽矩形OGDH”多余.因此,我們可弱化條件,把此題改為:如圖1,E,F,G,H分別是矩形ABCD四條邊上的點,連結EG,HF交于點O,EG∥AD,FH∥AB,連結AC交EG,FH于點P,Q.下列一定能求出?BPQ面積的條件是( )

(A)矩形BFOE和矩形OGDH的面積之差

(B)矩形ABCD與矩形BFOE的面積之差

(C)矩形BFOE和矩形FCGO的面積之差

(D)矩形BFOE和矩形AEOH的面積之差

由解法3,利用幾何法已經得證.現通過代數法進行證明.

設OH=a,OG=b,OE=c,OF=d.

∵EP∥BC,∴?AEP∽?ABC,

∴S陰影=S矩形EBFO-S?EBP-S?BFQ-S?POQ

故答案依舊是A,說明原題中相似條件是多余的.

解題是數學教師的基本功,教師良好的解題能力將直接影響學生的解題水平和思維能力的培養.在平時教學中,教師不應就題論題,而應從多角度去分析問題,并及時總結思想方法,逐步培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力,讓學生真正脫離題海戰術,把核心素養落實到教學實處.