矩陣逆的教與學

劉曉冀，王宏興，嚴 慧

(1.廣西民族大學 數學與物理學院，廣西 南寧 53006；2.湖北師范大學 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

0 引言

矩陣在基礎數學、應用數學、計算數學、運籌學與控制論、概率論與數理統計等各個數學分支都有著廣泛的存在，是諸多學科研究領域不可或缺的工具之一，是線性代數、高等代數等課程的主要組成部分。1858年，英國數學家阿瑟·凱萊(Arthur Cayley，1821-1895)在《矩陣論的研究報告》中引入矩陣逆的概念。在高等代數課程教學中，一般安排2個課時講解矩陣逆的定義、計算和基本性質。值得注意的是，矩陣逆的相關理論及其應用貫穿整個高等代數課程主要章節。授課教師對逆的理解和綜合應用是高質量完成該知識點課堂教學的關鍵。本文主要簡介矩陣逆、逆的性質與計算、逆與其他知識點的關系、廣義逆及其應用等。

1 逆的基本性質

定義1 設A是n階方陣。若存在n階方陣B，使得AB=BA=En，其中En是n階單位矩陣，則稱A是可逆矩陣，B是A的逆，記為A-1.

矩陣逆的定義形式簡潔優美且內涵豐富。由上述定義，我們就可以得到可逆矩陣若干具有廣泛應用的性質，如：設A是n階可逆方陣，則對任意的n維列向量b，x=A-1b是矩陣方程Ax=b的唯一解；(AB)-1=B-1A-1；(A-1)-1=A；A的行列式的值不等于0等。值得強調的是可逆矩陣及其相關問題在各個章節都有討論，如：

1) 記f(x)=xt+a1xt-1+…+at-1x+at，t∈+其中at≠0.若f(A)=0則A是可逆的，且

著名的Cayley-Hamilton公式是其一個特例；

2)矩陣A可逆等價于其行列式的值不等于0；A-1的行列式的值等于原行列式值的倒數；伴隨矩陣法是求矩陣逆的方法之一；

3)n階可逆矩陣A的秩等于n；Ax=0只有零解；

4)實數域正定二次型對應的正定矩陣A是可逆的，其順序主子式都大于0，且存在實可逆矩陣D使得A=DDT；

5)線性空間基變換對應的過渡矩陣是可逆的；n階可逆矩陣A的列向量生成的空間是維數為n的線性空間；

6)可逆的線性變換與對應的逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣；恒等變換、非零的數乘變換都屬于可逆變換；可逆矩陣的特征值都不為零等。

眾多特殊矩陣是可逆矩陣，如初等變換對應的初等矩陣、快速傅里葉變換對應的傅里葉矩陣等。部分特殊矩陣的逆與原矩陣有很好的關系，這些特殊矩陣應用廣泛，也是鞏固相關知識點的優質例題：如酉矩陣、友矩陣等。

2 求矩陣的逆

在求矩陣逆的時候首先要判定矩陣是可逆的。關于矩陣可逆的判定方法很多，如利用行列式、向量組、線性變換、核空間的維數、初等矩陣、等價性、矩陣方程的可解性、特征值、正定矩陣等。當然還有一些其他的方法，如：特殊矩陣：分塊對角矩陣可逆等價于每個對角塊可逆：

即

我們也可以用初等變換法、伴隨矩陣法等方法求矩陣的逆。在高等代數學習中，矩陣分解也是一個有趣的方法。如：設A是一個n階可逆矩陣，U和V是n×r矩陣，X是r階可逆的，則A+UXV*可逆等價于X-1+V*A-1U可逆。且

(A+UXV*)-1=A-1-A-1U(X-1+V*A-1U)-1V*A-1

上述等式被稱為Sherman-Morrison-Woodbury公式。分塊矩陣的逆也是研究的重點之一：

關于四分塊矩陣逆的表示有許多，特別是在部分元素是特殊矩陣時，其逆的表達式十分有趣，更多細節參考文獻[1，2]。當A是可逆矩陣時，可以給出Ax=b的精確解。這使得矩陣逆在理論上具有極為重要的意義。隨著矩陣階數的增加，應用一般方法求給定矩陣逆非常困難(復雜度為O(n3))，這就需要針對具體問題和特殊矩陣提出相應快速有效的計算方法，這也是后續矩陣計算重點研究的內容之一[3,4]。

3 廣義逆

在上述定義1中，我們看到可逆矩陣是方陣。在實際的應用中，眾多矩陣不是方陣。此時，這些矩陣不能討論其是不是可逆。

首先，把方陣的逆推廣到行(列)滿秩矩陣，引入右(左)逆。設A是m×n矩陣，若存在m×n矩陣B使得AB=Em，則稱A是右可逆的，B是A的右逆；若存在n×m矩陣C使得CA=En則稱A左可逆的，C是A的左逆。例如，設A=[1 0]，則B[1x]對任意的x都有AB*=E1.顯然，這里的B不是唯一的。由定義1可以得到，可逆方陣的左逆和右逆都是存在的且相等。在高等代數教材中有：方陣是可逆的等價于其是左(或右)逆存在。這也是我們在求方陣A的逆時，有時候只考慮AX=Em(或者XA=En)的理論依據。從這里也可以看到，逆推廣到廣義逆是自然的。高等代數中關于左(右)逆的學習為后續廣義逆的學習做了重要的鋪墊。下面介紹矩陣的Moore-Penrose逆。

1920年，E. H. Moore利用正交投影算子在復矩陣中定義了該逆。著名的數學物理學家、諾貝爾物理學獎獲得者R. Penrose在1955年給出了如下刻畫。

定義2 設A是m×n矩陣，則存在唯一的矩陣X滿足

AXA=A,XAX=X,(AX)*=AX,(XA)*=XA

稱之為A的Moore-Penrose逆，記為A.

在矩陣A是可逆方陣時，A-1是唯一滿足定義2中四個等式的矩陣。Moore-Penrose逆在矩陣計算、數理統計、控制論等領域有著廣泛的應用，是矩陣理論及其應用研究中不可或缺的工具之一。如x=Ab是不相容矩陣方程的極小范數最小二乘解，且該解唯一。Moore-Penrose逆的理論及其應用研究一直備受關注：2021年Fritzsche和M?dler給出四分塊矩陣Moore-Penrose逆的新的表達式；Bajo應用多項式計算矩陣的Moore-Penrose逆；Zhuang、Lin和Toh 研究Moore-Penrose逆的算法及其應用等，更多關于其研究見參考文獻[5～7].

下面我們介紹另一類重要的廣義逆：Drazin逆。該逆是1958年M. P. Drazin在研究結合環和半群時引入的。由于其具有較好的譜性質及其在馬爾科夫鏈、奇異微分方程等問題中的應用受到廣泛關注。

定義3 設A是n階方陣，k是滿足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小正整數，記為Ind(A)=k，則存在唯一的矩陣X滿足

AXAk=Ak,XAX=X,AX=XA

稱之為A的Drazin逆，記為AD.特別是在Ind(A)=1時，我們稱之為A的群逆，記為A#.

最后我們介紹最近受到關注的一類新型廣義逆：core逆。

2010年，Baksalary和Trenkler在參考文獻[8]中引入該逆。Wang和Liu在參考文獻[9]中給出core逆的如下刻畫：

定理4 設A是n階方陣，Ind(A)=1，則存在唯一的矩陣X滿足

AXA=A,AX2=X,(AX)*=XA

稱之為A的core逆，記為A⊕.

矩陣分解是研究廣義逆的一個強有力工具。我們應用矩陣秩分解給出上述廣義逆的若干表示。以下定理5和定理6來自參考文獻[9，10，11].

定理5[滿秩分解] 設A是m×n矩陣，rank(A)=r，則存在A1和A2使得A=A1A2，其中A1是m×n列滿秩矩陣，A2是r×n行滿秩矩陣。

定理6 設A是m×n矩陣，rank(A)=r，A=A1A2是滿秩分解，則

若m=n，Ind(A)=1，則

A#=A1(A2A1)-2A2

在方陣逆的研究中我們可以看到(AB)-1=B-1A-1、A-1(A+B)B-1=A-1+B-1等結果是容易驗證成立的。一般情況下，這些結果不能推廣到廣義逆。如A{1,2}B{1,2}?AB{1,2}，其中A{1,2}={X|AXA=A,XAX=X}，直到1998年，才被Alvaro R. De Pierro和Musheng Wei應用廣義奇異值分解解決[18,19]。

更多關于經典廣義逆和新型廣義逆的性質、計算和結論可參考文獻[10～12，20～22等]。

4 結論

逆是一個非常廣義的概念，存在于數學的各個分支，如數學分析中的逆映射、概率論中的逆事件。本文討論的是矩陣的逆，并簡述了矩陣的逆和廣義逆的若干相關性質及其應用。把廣義逆理論介紹給本科生是可行的，如東南大學陳建龍教授等把廣義逆、矩陣分解等最新的研究成果融入線性代數課程建設中，取得理想的效果[11]。期待本文內容能夠為部分教師備課和學生學習提供幫助。另外，以逆作為主線可以開展本科高等代數(線性代數)課程思政，如逆與線性代數各個章節的關系、逆與廣義逆的關系、國內學者在廣義逆理論研究的突出成果等都是開展課程思政的切入點。

Teaching and learning of matrix inverse

LIU Xiao-ji1，WANG Hong-xing1，YAN Hui2