基于CAPSO-RBF的磁懸浮系統控制研究

賈涌檳，李丹菁

(上海應用技術大學電氣與電子工程學院，上海 201418)

0 前言

磁懸浮技術是讓被控對象保持在一個懸空且相對靜止的狀態下，處在這種狀態下的被控對象沒有與其他物體發生接觸，所以就避免了因摩擦造成的損耗，很大程度上降低了維護成本。因此，無論在國防、制造業、交通，還是其他各個領域，磁懸浮技術都有著很大的發展空間。

磁懸浮球系統因結構簡單、成本低、易于實現等特點成為磁懸浮技術領域廣泛的研究實驗平臺，但磁懸浮系統由于非線性和滯后性等特性使得系統的穩定性較差，易受外界因素干擾。因此，設計一個可靠并且高效的控制器使磁懸浮系統有較好的穩定性和快速性是該領域研究重點。

磁懸浮球系統控制策略主要分為傳統控制和智能控制，傳統控制主要有PID控制、模糊控制、自適應控制以及混合控制等[1-2]，其本質都要建立控制對象的數學模型，然后設計一個數學形式的控制器以達到控制目的；而智能控制是利用仿生算法或者模擬人腦的邏輯思維模式去控制系統，主要采用神經網絡，而不同的神經網絡各有利弊[3]。在徑向基函數(Radial Basis Function，RBF)神經網絡研究方面，文獻[4]用RBF改進了在線辨識的自適應PID控制算法；文獻[5]設計并實現了神經網絡結合模糊滑?？刂葡到y，該系統具有速度跟蹤性能與魯棒性；文獻[6]設計并實現了RBF神經網絡自適應狀態反饋控制器。在粒子群算法優化神經網絡研究方面，文獻[7]基于粒子群優化(Particle Swarm Optimization，PSO)結合梯度下降算法優化RBF磁浮列車溫度補償模型參數；文獻[8]證明了云自適應算法能有效優化RBF網絡；文獻[9-10]在圖像領域，通過云自適應粒子群優化(Cloud Adaptive Particle Swarm Optimization，CAPSO)算法減少了運算量，提高了搜索精度；文獻[11]在電力作業風險態勢感知上采用了云自適應粒子群優化脈沖神經網絡的方法。在控制領域中，文獻[12-13]采用改進的CAPSO算法優化BP神經網絡；文獻[14]設計并實現了自適應粒子群優化算法用于修正炮彈分數階控制器。采用云自適應粒子群算法的神經網絡控制器設計方面缺乏理論依據，并且磁懸浮球系統具有非線性特點，因此，如何設計利用云適應粒子群算法的神經網絡控制器成為一個難題。

本文作者針對磁懸浮球系統，設計云自適應粒子群優化后的RBF神經網絡控制器。該方法采用一個PD控制器作為RBF神經網絡的“教師”控制器，RBF神經網絡控制器對整定后的PD控制器的輸出進行學習，再結合云自適應粒子群算法優化RBF網絡3個參數以對控制精度進行補償，達到由CAPSO-RBF控制器主導控制效果，使被控對象實現更快速、準確、穩定懸浮的目的。

1 磁懸浮系統的數學模型

1.1 磁懸浮系統的硬件組成與參數

實驗裝置分為裝有數據采集卡的PC機和磁懸浮球裝置兩個部分。其中，磁懸浮球裝置包括電磁鐵、光電位置傳感器、電源、功率放大器、補償器、鋼球、LED等部件，其系統硬件實體如圖1所示。

圖1 磁懸浮球裝置系統硬件實體

磁懸浮球裝置參數的具體數值如表1所示。

表1 磁懸浮球裝置參數

1.2 系統模型建立

建立系統的物理模型需要忽略一些影響不大的干擾因素并考慮系統物理變量之間的實際問題，再進行理想化假設以便建立出切合實際的物理模型。假設：磁通全部穿過外部；磁通分布均勻；氣隙磁阻抗相對匯合；鋼球所受的電磁力集中在質心。

假設只存在兩個力，一個是電磁鐵的吸引力，另一個是被控對象的重力，其動力學方程為

(1)

其中：x為鋼球重心離磁鐵下端表面的距離，m；m為鋼球質量，kg；F(i,x)為電流經過線圈產生的電磁力，N。

根據基爾霍夫定律、能量守恒定理，被控對象受到電磁鐵的力為

(2)

其中：μ0=4×10-7H/m，μ0為空氣磁導率；KfA為小球截面的導磁面積，m2；N為電磁鐵線圈匝數；x為電磁鐵磁極表面到被控對象重心的間距，m；i為電磁鐵繞組中的瞬時電流，A。因μ0、A、N為常數，故可定義一個常系數K:

(3)

由式(2)可以看出磁懸浮系統為非線性系統。

在研究磁懸浮的一些特性后，因為磁懸浮系統的控制目的是讓被控對象在一定范圍內受力平衡，所以可以將其非線性部分利用小偏差法進行線性化處理。

又因為磁懸浮系統的控制屬于彈性控制，可以在被控對象保持穩定懸浮的點(i0,x0)處對其進行線性化處理。將式(2)按泰勒級數展開并保留前幾項得：

F(i,x)=F(i0,x0)+Fi(i0,x0)+

Fx(i0,x0)(x-x0)

(4)

其中:

(5)

故完整描述此系統的方程如下:

(6)

其中：Ki是鋼球穩定點處電磁引力F對電流i的剛度;Kx是穩定點處電磁引力F對空氣間隙x的剛度。

設此實驗裝置的輸入為功放的輸入Uin，系統輸出為Uout，則系統方程式(6)經過拉氏變換后代入邊界方程得開環傳遞函數：

(7)

其中：Ks為光位置傳感器的增益；Ka為功率放大器的增益。磁懸浮系統的狀態方程為

(8)

將實際參數代入式(8)后系統的狀態方程為

(9)

2 RBF神經網絡

2.1 徑向基函數神經網絡的模型

RBF神經網絡由三層組成，如圖2所示，用“基”構成隱含層，輸入不需要通過權值連接可直接映射到隱含層。當RBF的中心點確定后映射關系隨之確定。輸出是隱含層單元輸出的線性加權和，所以隱含層到輸出層的映射是線性的，此處的權即為網絡權值。利用核函數的思想，網絡由輸入到輸出的映射是非線性的，而網絡輸出與網絡權值是線性關系，從而使網絡學習速率加快并且避免落入局部最優問題。

圖2 RBF神經網絡結構

2.2 徑向基函數神經網絡的輸出

設網絡輸入x的維數為M，輸出y的維數為L，輸入樣本對的長度為N。

因為RBF神經網絡的輸入層到隱含層的映射x→ui(x)是非線性的，使用高斯函數為激活函數的RBF網絡隱含層第i個節點輸出可表示為

(10)

式中：ui為第i個隱含層節點的輸出;δi為對應的標準化常數;隱含層的節點數量為q，x=[x1,x2,… ,xM]為輸入樣本;ci為對應隱含節點的高斯中心向量,c=[ci1,ci2,… ,ciM]T，節點輸出的范圍為(0,1)，當x=ci時ui=1，RBF神經網絡隱含層到輸出層ui(x)→yk的線性映射即為

(11)

2.3 RBF神經網絡監督控制

采用一個PD控制器作為RBF神經網絡控制器的“教師”。首先讓RBF神經網絡控制器對PD控制器的輸出進行學習，再結合CAPSO優化RBF網絡，最后達到由CAPSO-RBF控制器主導控制的效果。系統結構如圖3所示。

圖3 基于CARBF神經網絡控制的磁懸浮系統結構

圖3中，r(k)為神經網絡的輸入，高斯函數為RBF神經網絡隱含層的激活函數。經調試，隱含層采用4個隱含單元，設CAPSO-RBF神經網絡控制器的輸出為un(k)。隱含層隱含單元的輸出為hi：

(12)

其網絡連接權值為wi(k)(i=1,2,3,4)，則RBF網絡的輸出為

(13)

控制率為

u(k)=up(k)+un(k)

(14)

其中:w=[w1,w2,w3,w4]T，需要學習的參數有3個：中心向量c，標準化常數σ，網絡權值w。

經整定,PD控制器的控制參數取kp=20、kd=0.28時,能使磁懸浮球懸浮。

3 基于云自適應的粒子群算法RBF神經網絡控制

3.1 粒子群算法

粒子群算法是模擬鳥群捕食而發展起來的基于群體協作隨機搜索的算法，用于解決優化問題，每個需優化問題的解相當于搜索空間里的一只鳥，稱為“粒子”。而所有的粒子都有一個被優化函數所定義的適應度，適應度越大越好，并且每個粒子都有一個速度來決定它們的方向和距離，再通過迭代更新自己的位置。

(15)

其中:d表示向量的維數;ω表示慣性權重;k表示迭代次數；c1和c2表示學習因子。

采用粒子群優化算法對RBF控制器的中心向量、標準化常數、網絡權值3個參數進行尋優，進一步提高RBF神經網絡控制器的整體性能。

3.2 云自適應粒子群算法

傳統的粒子群搜索算法中的慣性權重和學習因子參數設置更新簡單，會導致整個網絡優化速度減慢、尋優精度降低，更或者使算法陷入局部最優。本文作者利用動態自適應思想優化慣性權重、學習因子，以解決以上問題。

(16)

(17)

學習因子c1、c2為改變粒子群算法中粒子之間信息交換的能力，進行動態自適應調節,可提高算法尋優速度。

c1=c1max-k(c1max-c1min)/K

(18)

c2=c2max-k(c2max-c2min)/K

(19)

其中:[cmin，cmax]為學習因子c的取值范圍;K為迭代總次數。

在尋優前期要保證尋優速度，設定c1>c2；到尋優后期,算法接近收斂,設定c1

采用云自適應算法優化的粒子群算法在全局尋優能力上得到提升，收斂速度更快且避免了陷入早熟收斂和局部最優所導致的精度下降問題。

3.3 云自適應粒子群算法優化RBF控制器

傳統的徑向基函數神經網絡是采用聚類算法得到基函數，然后通過最小二乘法得到連接權重，這種方法導致前兩個參數和連接權重失去內在聯系。為解決這類問題，本文作者采用云自適應粒子群算法對學習PD控制器輸入后的RBF神經網絡控制器的中心向量、標準化常數、連接權重3個參數進行編碼歸一優化。

設粒子種群規模為20，迭代次數為250次。其中，適應度函數控制RBF神經網絡的預測精度，把每個粒子個體誤差作為適應度函數f(x)，計算公式如下：

(20)

基于云自適應粒子群算法優化(CAPSO)的RBF神經網絡監督控制器設計流程如圖4所示。

圖4 設計流程

4 設計仿真

在仿真實驗中選擇3種輸入信號測試系統的信號跟蹤性能，分別為8 mm階躍輸入、周期為1 s峰值為8 mm的方波、周期為1 s峰值為8 mm的正弦波。PSO-RBF與CAPSO-RBF 2種控制算法的測試結果如下：

(1)8 mm階躍輸入

圖5所示為2種方法的階躍響應結果。可知：加入了云自適應粒子群算法的神經網絡控制器的磁懸浮控制系統響應速度非?？欤?00次時誤差穩定在7%。并且在0.15 s左右就達到了穩定狀態，在快速性上比PSO-RBF快了2倍，并且沒有超調。

圖5 階躍響應結果與收斂結果

(2)周期為1 s峰值為8 mm的方波

圖6所示為2種方法的方波輸入響應結果。可知：云自適應粒子群算法控制的系統在對方波信號的跟蹤方面也表現得十分出色，當方波從+8 mm階躍到-8 mm時無超調量，穩定時間也縮短為0.6 s，迭代60次時誤差已經小于7%，但準確性指標稍欠缺。

圖6 方波輸入響應與收斂結果

(3)周期為1 s峰值為8 mm的正弦波

圖7所示為2種方法的正弦波輸入響應結果。可知：云自適應粒子群算法控制的系統對正弦波輸入的響應較好，輸出完全跟隨輸入，使得系統保持在穩定狀態。

圖7 正弦波輸入響應與收斂迭代次數

云自適應粒子群算法結合RBF網絡的梯度下降算法全局收斂速度快的優點，能夠有效提高系統控制效果。對比3種算法在相對穩定下的控制性能，結果如表2所示?？芍杭尤朐谱赃m應算法后的RBF神經網絡控制效果最好。

表2 3種算法控制性能比較

5 結論

針對磁懸浮球系統，本文作者設計了基于云自適應粒子群算法優化的RBF神經網絡監督控制器。其中，粒子群算法對RBF網絡的3個參數進行了量綱一化，云自適應算法改善了粒子群算法的早熟問題。采用原有RBF神經網絡梯度下降法、粒子群算法、云自適應粒子群算法進行訓練仿真并與所提方法進行對比。結果表明：加入2種智能算法耦合的RBF神經網絡控制器憑借優秀的學習與自適應能力，使得磁懸浮球系統在動態性能和穩態性能上有較大的提升。