面齒輪傳動過程中嚙合角變化教學問題探究

郭 輝，張淑艷，閆耀龍

（1.西北工業大學 機電學院，陜西 西安 710072；2.西安建筑科技大學 理學院，陜西 西安 710055）

面齒輪傳動是一種新型角度傳動形式（如圖1所示），具有對安裝誤差敏感性低、互換性好、傳動比大等優點[1]。奧迪公司將其應用于Quattro四驅越野車中央差速器中，起到了自動分配前后軸力矩的作用；而用在直升機主減速器上也能起到降低重量、提高承載能力的作用，因此，具有重要的應用前景和價值[1-2]。“齒輪嚙合原理”是高等學校中機械設計及理論和機械工程專業研究生的一門重要專業課程[3-4]，主要講授空間齒輪展成加工原理和常用齒輪副的嚙合特點等內容。將面齒輪傳動引入“齒輪嚙合原理”課程中，可以開拓學生的思路和視野，并提高研究分析能力。

圖1 面齒輪傳動形式以及齒形

如圖 1(b)所示，面齒輪的齒形很特殊，主要表現在其內徑端容易根切，外徑端容易發生齒頂變尖。產生這一現象的原因主要是面齒輪沿齒向其齒廓壓力角連續變化，內徑壓力角小，而外徑端壓力角大。因此，它不同于常見的以漸開線為齒廓曲線的齒輪，包括直齒、斜齒以及錐齒輪等[5]。筆者發現很多學生甚至某些從事齒輪研究的教師對此現象也不甚理解，因為常見的齒輪在齒寬方向不同位置處分圓（錐）壓力角是相同的。另外一點，面齒輪的齒厚在齒寬方向上是變化的，但不同于錐齒輪，它并沒有大端模數和小端模數的概念。為了闡明這些問題，本文基于圖形法并結合空間嚙合原理對其進行詳細的討論和分析。

1 面齒輪的齒面方程

為了研究面齒輪的齒形特點，首先給出面齒輪的空間齒面方程，這里以正交直齒面齒輪為例。圖2為漸開線示意圖，圓柱漸開線齒輪的齒面方程（齒廓I徑矢）為

圖2 漸開線圓柱形齒輪齒形

式中，θs和ls分別是漸開線齒面的齒廓參數和齒向參數；ηs是漸開線起始角度位置參數；rb是基圓半徑。

圖3為圓柱齒輪（插齒刀刀具）展成加工面齒輪的坐標系統。其中R1和R2是面齒輪的內外半徑；γm是面齒輪傳動的軸交角；rps是刀具齒輪的分度圓半徑。插齒刀與面齒輪以恒定角速度ωs和ω2做轉動，且ωs/ω2=N2/Ns。N2和Ns分別為面齒輪和插齒刀的齒數。

圖3 面齒輪展成加工坐標系統

面齒輪與圓柱齒輪做單參數共軛嚙合，因此，面齒輪的齒面是圓柱齒輪齒面在面齒輪自身坐標系中的包絡，根據嚙合原理可得面齒輪的齒面方程為

式中，M2s(ψs)是從刀具固連坐標系Ss到面齒輪固連坐標系S2的坐標轉換矩陣。ψs是刀具齒輪的轉角；f2s(θs,ls,ψs)=0為嚙合方程[3]。

2 面齒輪傳動的瞬時回轉軸線

面齒輪的齒面是由漸開線圓柱齒輪（產形輪）展成加工而來[6]。如圖4所示，對于相交軸面齒輪副，直線O2I是兩者間的瞬時回轉軸線（兩構件上速度相同點的集合），可以看出線O2I上的任意點M和產形輪軸線Zs的距離是變化的，這和錐齒輪傳動是類似的。然而由于漸開線齒面的法線始終與齒輪的基圓柱相切，并且齒面瞬時嚙合點的公法線必須經過瞬時回轉軸線O2I，所以齒面上不同齒寬位置處的嚙合角是不同的，而且面齒輪齒面上半徑越大的位置嚙合角越大。

圖4 面齒輪傳動的瞬時回轉軸及嚙合角

瞬時回轉軸線O2I和產形輪軸線Zs間的夾角可以由式（3）確定：

對于任意截面Γ，兩構件的瞬時回轉中心為點M，根據齒廓嚙合定理中的威利斯定律[3]，齒廓公法線需通過M點。同時漸開線的法線始終切于基圓，其嚙合角為αQ。

嚙合點嚙合角的余弦值為

式中，rbs為刀具齒輪的基圓半徑；rps為刀具齒輪的分度圓半徑；rms為嚙合節點M與刀具齒輪軸線Zs的距離；RM為截面Γ處面齒輪的半徑。

由式（4）可以看出，隨著rms的增大，αQ將增大。另一方面面齒輪的輪齒齒頂分布在一個平面上（當軸交角為90°時），在截面I或者II上齒面一點的速度近似是水平方向（平行于圓柱齒輪的端面），就像齒條一樣，因此其齒形接近為壓力角等于αQ的齒條齒形。關于這一點，當面齒輪齒數越大越精確。這樣就解釋了面齒輪輪齒上不同截面處的齒形壓力角均不同的原因。

實際上面齒輪的齒形和漸開線圓柱齒輪的齒形有類似特點。漸開線齒輪的齒廓壓力角從齒根向齒頂逐漸增大，其線速度逐漸增大，而法線始終切于基圓；面齒輪從內徑到外徑處線速度逐漸增加，壓力角也在逐漸增大。圖5給出了兩個截面中面齒輪的齒形，其中截面I是面齒輪分度圓截面位置，截面II是最大外徑處。從圖5來看，可以清楚地看出兩個截面上面齒輪齒形角的不同以及其成因。

圖5 不同半徑截面處的面齒輪齒形特點

3 壓力角計算算例

本文所設計的面齒輪及其刀具基本參數如表1所示。

表1 面齒輪副設計參數

由式（4）計算，面齒輪齒廓壓力角在半徑為160 mm、170 mm和190 mm處分別為13.02°、23.51°和34.87°。因此，可以看出，壓力角在30 mm的齒寬上改變了21.85°，變化非常顯著。而齒形角很大時齒頂自然相交，齒形角很小時也就容易發生根切，如圖1(b)所示。對比錐齒輪傳動（例如直齒錐齒輪），從理論上講錐齒輪的齒面是一平面發生線繞基圓錐面滾動而形成的，因此，在齒寬不同位置處基圓半徑不同（基圓錐），也就保證了分錐面上不同齒寬位置處齒形角是相同的。而與面齒輪相嚙合的齒輪是圓柱齒輪，沒有基圓錐，只有基圓柱，這是兩者不同的根本原因。

4 總結

本文通過嚙合原理中的威利斯定理推導了面齒輪傳動中不同位置處的嚙合角表達式，進而解釋了齒面齒形角沿齒向逐漸變化的規律特點。面齒輪的齒面可以近似看作是不同壓力角的齒條齒形的空間組合，當面齒輪齒數越大近似精度越高。本文的研究和討論給機械設計及理論的研究生和本科生清楚地展示了面齒輪的齒形特點的成因，可使知識的掌握更加充分，而理解更加方便。