挖掘知識點，培養學生核心素養
——以蘇科版數學七（上）“補角”教學為例

■葛衛國 劉岳

一、教材分析

數學教材的編排是遞進式的，知識點在教材中是有縱橫聯系的。例如，“補角”這節內容，學生是在學習過直角、平角的基礎上，再通過一定的數量關系和圖形關系學習兩角互余、互補的概念、性質，以及用方程的思想來解決某個角的度數的問題，為以后研究角相等做好鋪墊。《義務教育數學課程標準（2022年版）》對補角的要求是：理解補角的概念，探索補角的性質，會求一個角的補角。

教師在研讀教材時，必須找準重點、難點和關鍵點，才能在教學過程中突出重點，解剖難點，找到突破點，否則會影響教學效果。本節課的重點、難點就是補角的概念和性質，關鍵點就是數形結合。

二、教學過程

1.情境引入，激發思維

師：我們已經學習過角、直角、平角、余角，大家回憶一下，什么叫作互為余角？如果我在直角里畫一條射線，那么形成的兩個角有什么數量關系？如果我在平角里畫一條射線，那么形成的兩個角存在什么樣的數量關系？

設計意圖：從學生已有的知識或者身邊的生活常識出發，讓學生通過類比聯想，觸類旁通，不知不覺地進入學習新知識的情境中。教師通過將圖形關系轉化成數量關系，讓學生明確事物之間是相互聯系、相互轉化的，體現數形結合的思想。

2.探究新知，發展思維

活動1：識補角

（1）在圖1、圖2中，∠α+∠β=___。

圖1

圖2

（2）在A組中有10°、55°、75°、100°、145°的角，在B組中有35°、80°、105°、125°、170°的角，對A組中的每一個角，請在B組中找出它的補角。

（3）一個平角，從角的頂點畫出兩條射線，形成三個角，分別標上∠1、∠2、∠3，那么∠1、∠2、∠3互為補角嗎？為什么？

設計意圖：教師通過例題初步讓學生認識補角的概念，強化余角和補角的區別，認識互余和互補兩個角之間的大小關系。通過計算，學生再次加深對余角、補角的認識。

活動2：求性質

（1）余角有何性質？模仿余角性質，請猜想一下補角的性質。

（2）如圖3，利用補角概念，求證：∠1=∠2。

圖3

（3）若∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2與∠4有什么數量關系？

設計意圖：猜想也是數學思考的一種方法。由類比猜想到驗證猜想，增強了學生自信心，也為新學知識打下良好的基礎。（2）（3）是由教材內容改編而來，對學生更有吸引力和挑戰性。學生在探索互余的性質后，類比遷移互補的概念及性質，很容易得出補角的兩個性質：同角的補角相等；等角的補角相等。教師通過這兩個性質引導學生用數學語言表達思考過程，并歸納性質，培養學生由具體問題到抽象出幾何命題的能力以及語言表達的能力，使學生養成類比質疑的好習慣，讓學生在學習、討論中不斷地發現問題、解決問題，從而認識事物的本質。

活動3：找補角

（1）一副三角板如圖4放置，請找出∠DAC的補角。

圖4

（2）如圖5，點O在直線AB上，∠AOC=30°，將一個含有30°角的直角三角尺的直角頂點放在點O處，較長的直角邊OM在射線OB上，較短的直角邊ON在直線AB的下方。圖中與∠BOC互補的角有____。

圖5

設計意圖：找一個角的補角，學生往往認為補角就是鈍角旁邊的角，卻忘記了只要兩個角的和加起來等于180度時，兩個角就互為補角。教師通過此活動再次強化學生對補角概念的理解，讓學生深刻掌握互補是兩個角之間的關系，與位置無關。

活動4：測補角

要測量兩堵墻所形成的∠AOB的度數（如圖6），而且不可入內測量，該如何測量？

圖6

設計意圖：在測量補角時，有的學生眼光只放在∠AOB的內部，無法得出結論。因此，教師要引導學生采用間接的方法，測量∠AOB的補角。（∠AOB的補角有兩個，它們是對頂角，測量任意一個都行，拓展學生的思維。）同時，教師要檢查學生使用量角器的方法是否正確。

活動5：算補角

已知一個銳角的補角等于這個銳角的余角的3倍，求這個銳角和它的補角。

設計意圖：學生用方程求解的前提是正確認識余角和補角之間的關系，抓住關鍵詞和關鍵句，列出方程再求解。

3.歸納方法，聚焦思想

師：解決補角問題的基本思路是什么？本專題涉及的數學思想方法有哪些？

設計意圖：教師通過提問的方式，讓學生自己總結解決補角問題的基本思想，再延伸到整節課涉及的數學思想方法。教師最后總結——在學習補角的概念中，用到了類比思想，在解答時用到了數形結合思想、分類討論思想、方程思想等。這些數學思想，是幫助學生解決問題的常用思想，而正確畫出圖形，是學生運用這些思想的最好橋梁。

三、教學反思

1.追求素養化課堂

在課堂教學中，教師要精選學科核心知識作為教學載體，根據知識屬性匹配課堂培育目標，幫助學生發展核心素養。因此，教師應該在深度解讀教材的基礎上，根據學生基本情況，對教材中的內容及呈現方式進行再重組、再優化，讓教材能更好地為教學服務，為學生服務。值得注意的是，深度解讀教材，不是指把課本內容拓寬加深后變得繁、難、偏、怪，而是要把課本沒有說完、說全的內容，通過鉆研把知識點講到位，講到邊，講得深刻，講得有味。

2.凸顯知識的完整性和遞進性

數學中每節知識點看似是獨立的，實際是有關聯的。每一節知識內部都存在邏輯關系以及完整性，我們不能把單元知識講解得支離破碎，而要讓知識形成完整體系。例如，“補角”這節內容，從概念到性質，再到運用，層層遞進，逐步展開，概念是起點，性質是升華，運用是高潮，凸顯了知識的遞進性。

3.發揮學生學習的主動性和智慧性

課堂上，教師要鼓勵學生各抒己見，發表創造性意見，營造良好的互動氛圍，讓學生參與簡單內容的講解和整理，擺脫“一味聽”的狀態，主動參與到課堂中來，積極挖掘學生的智慧，不斷增強探究的信心和能力，及時給予多元欣賞性評價，讓學生有機會“青出于藍而勝于藍”。

4.深度挖掘知識點中蘊含的思想方法

數學教學的目的，不是知識的本身，而是解決這類問題的方法。任何人都不可能把全部的數學題做完，也無法做完。雖然解題思路和解題方法不盡相同，但萬變不離其宗。教師只有引導學生找出知識點背后隱含的數學思想方法，才能不斷地發展學生的思維能力。