利用延遲反饋控制柔性圓柱渦激振動數(shù)值研究

鄒 琳，王 程，徐勁力，陶 凡，左紅成

(武漢理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，武漢 430070)

鈍體周圍非對稱的漩渦脫落在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生周期性的脈動壓力，從而引發(fā)渦激振動(vortex induced vibration，VIV)現(xiàn)象[1-3]。當漩渦脫落頻率接近結(jié)構(gòu)固有頻率時會發(fā)生大幅度的振動，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)疲勞損壞，也可以利用渦激振動產(chǎn)生新能源[4-5]。對于類似于海洋立管的柔性圓柱而言，由于展向具有柔性張力，渦激振動通常表現(xiàn)為更為復(fù)雜的駐波響應(yīng)特性、行波響應(yīng)特性和多模態(tài)振動特性等。

國內(nèi)外學(xué)者對柔性圓柱渦激振動展開了大量數(shù)值及試驗研究。早期數(shù)值研究主要是利用直接數(shù)值模擬方法求解N-S方程，以獲得柔性圓柱的渦激振動響應(yīng)，如Newman等[6]通過數(shù)值模擬方法研究了Re=100和Re=200下柔性圓柱的橫向流振動，發(fā)現(xiàn)振動模式為行波與駐波混合響應(yīng)模式；Lucor等[7]通過直接數(shù)值模擬研究了長徑比超過500的細長圓柱在線型和指數(shù)剪切流流作用下的振動響應(yīng)，研究認為指數(shù)剪切流速剖面會產(chǎn)生更大的振動頻率范圍，但和實際情況相比，圓柱單自由度振動具有一定的局限性。

Lie等[8]開展了剪切流作用下物理模型試驗，研究立管長細比高達3 000，分析發(fā)現(xiàn)立管的振動響應(yīng)是不規(guī)則的，具有一定的帶寬，并且強度也隨著帶寬的不同有所變化。國內(nèi)學(xué)者高云等[9]通過試驗研究，深入研究了柔性圓柱體在剪切來流下渦激振動響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)當折合速度較小時，響應(yīng)頻率會全程參與渦激振動，隨著折合流速的上升，響應(yīng)頻率則會間歇性參與渦激振動。宋磊建等[10]采用模型試驗的方法研究了均勻流下柔性立管的渦激振動響應(yīng)特性及渦激力載荷特性，研究發(fā)現(xiàn)均勻流下柔性立管的渦激振動響應(yīng)為位移和主導(dǎo)頻率不隨時間變化的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

對于大長徑比的柔性圓柱體，數(shù)值模擬全尺度的振動響應(yīng)存在一定的局限性[11-12]，而試驗方法研究成本相對較高[13-15]，因此有必要建立一種能夠快速預(yù)報響應(yīng)細長圓柱渦激振動的經(jīng)驗?zāi)Ｐ头椒M細長柔性體振動響應(yīng)主要特征。尾流振子模型是應(yīng)用較為廣泛的經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀Ｗ钤鏝oack等[16]利用范德波爾振子方程推導(dǎo)出能夠預(yù)測細長鈍體渦脫頻率和角度的經(jīng)驗?zāi)Ｐ停脦в袛U散項的范德波爾方程能夠準確預(yù)測出尾流脫落的定性特征。之后Balasubramanian等[17]在此基礎(chǔ)上利用帶有擴散項的范德波爾振子方程，用來預(yù)測均勻流和剪切流下直圓柱和錐形圓柱的漩渦脫落。Facchinetti等[18]利用尾流振子方程和結(jié)構(gòu)柔性振動方程，研究了三維柔性圓柱的渦激振動響應(yīng)，并與試驗結(jié)果對比指出耦合模型能夠準確預(yù)測渦激振動響應(yīng)的振動形態(tài)。高云等[19-20]通過尾流振子模型，對線型剪切來流下兩端鉸接的細長柔性圓柱的渦激振動響應(yīng)做了詳細的探究。

綜上所述，當前研究主要是對細長柔性圓柱的渦激振動響應(yīng)進行研究，如何控制三維柔性圓柱渦激振動的研究相對較少。因此，本文借助尾流振子模型，提出利用延遲反饋來實現(xiàn)柔性圓柱渦激振動主動控制，研究延遲時間τ和延遲增益kd對柔性圓柱振動幅值和振動頻率的影響，尋求控制柔性圓柱渦激振動的延遲反饋規(guī)律，為海洋立管等柔性鈍體的振動控制提供有益探索。

1 數(shù)學(xué)模型

柔性圓柱流固耦合作用下產(chǎn)生振動幅值主要受到柔性體張力的影響，本文考慮無限長張緊圓柱在受到均勻來流作用下的渦激振動響應(yīng)，忽略結(jié)構(gòu)的彎曲剛度，模型示意如圖1所示。

圖1 受到均勻來流的無限長張緊圓柱Fig.1 An infinite tension cylinder subjected to a stationary uniform flow

圖中,圓柱直徑為D，長度為L，兩端受到的軸向張力為N，在均勻來流Uf作用下產(chǎn)生振動，本文只考慮y方向的振動位移。參考文獻[21]，本文選取長徑比L/D=25進行討論。在延遲反饋控制的作用下，所選柔性圓柱部分的橫向位移Y可以表示為

(1)

式(1)的右端項P(Z,T)為作用在結(jié)構(gòu)上的流體力，可以表示為P(Z,T)=ρU2DCL0q(Z,T)/4，其中CL0為固定圓柱的參考升力系數(shù)[22]，q(Z,T)是用來描述尾流運動的尾跡變量。φ(Z,T)=10-3sin(50πt)為初始位置函數(shù)，圖2計算了不同初始位置函數(shù)φ(Z,T)下柔性圓柱縱向振動位移的均方值，說明數(shù)值計算結(jié)果與φ(Z,T)的選取無關(guān)。

圖2 不同初始位置函數(shù)φ(Z,T)下柔性圓柱縱向振動位移的均方值Fig.2 RMS values of dimensionless displacements at different initial location function φ(Z,T)

尾流的運動可以用非線性振子來表示，常見的表示形式為范德波爾振子，寫作

(2)

式中，A和ε為經(jīng)驗參數(shù)。引入無量綱參數(shù)y=Y/D，z=Z/D，t=TΩf，式(1)和式(2)可以寫作如下無量綱形式

(3)

(4)

2 數(shù)值方法及模型驗證

2.1 數(shù)值方法

(5)

式中，k_d為延遲項所對應(yīng)的索引，將式(5)代入式(3)、式(4)可以得到如下迭代格式

(6)

(7)

(8)

2.2 模型驗證

首先對數(shù)值離散方法的時間步長和空間步長進行無關(guān)性驗證。如表1所示，時間步長Δt取較大值0.02和0.03時，對于較小的空間步長Δz，數(shù)值計算結(jié)果發(fā)散。當Δt=0.005，Δz=0.05時，中間節(jié)點處最大振幅為1.849，而Δt=0.01，Δz=0.1時，最大振幅為1.847，降低約0.1%；當Δt=0.01，Δz=0.4時，最大振動幅值為1.785，降低約3.4%。因此在后續(xù)的數(shù)值計算中，取Δt=0.01，Δz= 0.1，整個數(shù)值仿真時間Tend=1 400。

表1 不同時間和空間步長下，中間節(jié)點處結(jié)構(gòu)振幅Tab.1 The vibration amplitude of cylinder at node under different space and time steps

為了驗證文中所選模型的正確性，取L/D=25，c=4,μ=1.785，St=0.16，與Newman等所用參數(shù)保持一致。不考慮延遲反饋作用下，結(jié)構(gòu)的振動位移云圖如圖3(a)所示，橫軸的無量綱時間為t/2πSt。可以發(fā)現(xiàn)，在時間段200～240內(nèi)，三維柔性圓柱的振動形式為駐波；當無量綱時間達到260時，振動形式由駐波逐漸向行波轉(zhuǎn)變，此后一直保持行波振動狀態(tài)，這一過程與Newman等DNS計算結(jié)果一致(如圖3(b)所示)，說明本文的計算模型是可行的。

圖3 渦激振動位移響應(yīng)對比(L/D=25，c=4,μ=1.785)Fig.3 Comparison of VIV displacement response with time and space (L/D=25，c=4,μ=1.785)

3 結(jié)果和討論

3.1 延遲時間τ對振幅和頻率的影響

從圖4(a)～圖4(d)均可以看出，在特定的延遲增益kd下，振幅隨著延遲時間τ呈周期性變化，且每個周期內(nèi)振幅最大值(定義為振幅峰值)保持不變，延遲時間τ并不能改變振幅峰值，其大小只與延遲增益kd有關(guān)，隨著kd的增加，振幅峰值要更加偏離未施加延遲反饋時的振動幅值0.647，當kd為0.05，0.10和0.15時，振動峰值分別為0.85，1.18和1.82。從圖4(a)可以看出，當延遲時間τ=0時，振動幅值分別為0.518，0.429和0.363，振動幅值隨延遲增益kd的增大而減小，均小于未受控時的振動幅值0.647，最大能夠降低43.9%。觀察圖4(b)～圖4(d)可以發(fā)現(xiàn)，當kd符號相反時，振動幅值變化曲線之間會相差半個周期的相位。隨著τ的增加，振幅最小值都大于τ=0時的振幅值，并且逐漸趨向于振幅峰值，而且隨著kd的增大，趨向的速度越來越快，如箭頭所示。綜上發(fā)現(xiàn)，不同的延遲時間τ耦合不同的延遲增益kd，可以實現(xiàn)不同柔性圓柱振動幅值的控制，這將有益于實現(xiàn)工程實踐中柔性鈍體的振動控制。

如圖5所示，振動頻率隨延遲時間也是呈周期性的變化，振動頻率隨著延遲時間τ的增加逐漸趨向于未施加延遲控制柔性圓柱振動頻率f=0.156 4，且通過圖5(b)～圖5(d)可以發(fā)現(xiàn)，延遲增益kd越大，趨向的速度逐漸越快，如箭頭所示。

3.2 延遲增益kd對振幅和頻率的影響

圖6(a)和圖6(b)的延遲時間τ分別是圖4(a)振幅取最大和最小時所對應(yīng)的延遲時間。從圖6(a)中可以看出，當kd由0逐漸增加時，振幅也逐漸增加，振幅只與kd有關(guān)。當kd從0逐漸減小，在τ取較小值(3.2，9.6和15.9)時，延遲增益對振幅的影響占主導(dǎo)，振幅隨kd減小而減小；當τ取值較大的情況下，延遲時間對振幅的影響占主導(dǎo)地位，振幅隨kd的減小呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢。在相同負值kd下，延遲時間越大振幅越大，這與圖4所示振幅最小值逐漸趨向于峰值的變化趨勢是一致的，而且kd越大趨向速度越快。由于延遲增益kd由正變負時變化曲線會相差半個周期的相位，因此圖6(b)中振幅隨kd的變化規(guī)律與圖6(a)中所描述的規(guī)律剛好相反。

圖4 延遲時間(τ)對振動幅值的影響Fig.4 The effect of delay time (τ) on the vibration amplitude

圖5 延遲時間(τ)對振動頻率的影響Fig.5 The effect of delay time (τ) on the vibration frequency

圖6 延遲增益kd對振動幅值的影響Fig.6 The effect of delay gain (kd) on the vibration amplitude

為了探究柔性圓柱在延遲反饋作用下的能量轉(zhuǎn)化，根據(jù)高云等的研究引入瞬時能量轉(zhuǎn)化公式

(9)

式中，v(z,t)，y(z,t)和q(z,t)分別為瞬時速度、位移和尾跡變量。瞬時能量W為正值表示流場向結(jié)構(gòu)傳遞能量，從而激發(fā)柔性圓柱振動；負值表示結(jié)構(gòu)向流場傳遞能量。

圖7(a)所示為柔性圓柱中間節(jié)點處系統(tǒng)振動變量的值，可以發(fā)現(xiàn)未施加延遲反饋時變量q的最大值為4.821，當尾跡變量q增加時，振動位移y也相應(yīng)增加。對于振動幅值較小的情況(τ=6.5)開始振動時間要小于振動幅值較大的情況(τ=3.2)，而且都要小于未施加延遲反饋時的開始振動時間，說明施加延遲反饋控制能夠降低系統(tǒng)的起振時間。圖7(a)中瞬時能量W變化曲線表明，W的最小值越小，對應(yīng)產(chǎn)生的振動幅值越大。例如對于τ=3.2而言，此時W最小值為-0.07，要小于τ=6.5時的-0.002，但前者對應(yīng)的振動幅值y更大。結(jié)合瞬時能量W的含義，負值越小表明結(jié)構(gòu)傳遞到流場中的能量越多，流場中能量增加會導(dǎo)致尾跡變量q值增大，從而又會反過來增加結(jié)構(gòu)的振動y，因此通過能量云圖7(b)可以看出，當τ=3.2時，由于能量在結(jié)構(gòu)和流體中相互傳遞，駐波向行波演變的時間會增加(白色虛線框?qū)?yīng)的時間)，對于抑制振動的情況(τ=6.5)，駐波向行波演變時間會減小。

上述可以發(fā)現(xiàn)瞬時能量W最小值對系統(tǒng)振動幅值增加或者減小有很大的影響。而結(jié)構(gòu)振動增強的能量來源是外部延遲反饋控制系統(tǒng)，控制系統(tǒng)的延遲時間τ決定系統(tǒng)當前振動狀態(tài)與τ時間之前振動狀態(tài)之間的耦合關(guān)系，這種耦合關(guān)系會降低或者增加結(jié)構(gòu)振動幅值。因此延遲增益kd決定了系統(tǒng)振動幅值的上限(振幅峰值)，延遲時間τ決定系統(tǒng)當前振動狀態(tài)與之前振動狀態(tài)的耦合關(guān)系，結(jié)合圖4(a)的結(jié)論，可以看出延遲時間τ并不能改變振幅峰值，峰值大小只與延遲增益kd有關(guān)。

圖7 當kd=0.15時，延遲時間(τ)對系統(tǒng)的影響Fig.7 The effect of delay time (τ) on VIV system when kd=0.15

圖8(a)和圖8(b)中的延遲時間分別是圖5(a)頻率取最大和最小時所對應(yīng)的延遲時間。從圖8(a)中可以看出，當kd由-0.15逐漸增加到0.15時，對于延遲時間τ=1.4，τ=7.4和τ=13.4而言，振動頻率隨kd的增加而增加；當τ=19.4和τ=25.6時，振動頻率先保持不變，kd進入正值以后頻率逐漸減小，在kd=0.12時頻率又突然增大，最終值和其他延遲時間保持相同。對于圖8(b)而言，振動頻率隨著kd增大都呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢。

圖8 延遲增益kd對振動頻率的影響Fig.8 The effect of delay gain (kd) on vibration frequency

從圖9可以發(fā)現(xiàn)，未施加延遲反饋控制時，振動幅值為0.647，行波傳遞周期為6.41，振動頻率為0.156(1/6.41)；當τ=4.7時，振動幅值增大為0.899，行波傳遞周期為6.71，振動頻率減小為0.149；當τ=1.4時，振動幅值減小為0.521，行波傳遞周期為5.95，振動頻率增大為0.168。相較于未施加延遲的情況，振動幅值和振動頻率變化呈相反的趨勢，振動幅值增大，振動頻率就會減小。

圖9 振動位移和行波頻率時間的關(guān)系(kd =0.15)Fig.9 The relationship between vibration displacement and frequency of travelling wave (kd =0.15)

3.3 理論解釋

對于耦合方程式(3)和式(4)，設(shè)方程組的解為諧波行波的形式，寫作

y(z,t)=y0ei(kz-ωt-φ),q(z,t)=q0ei(kz-ωt)

(10)

式中：結(jié)構(gòu)位移y和流體變量q都具有共同角頻率ω以及波數(shù)k；φ為變量之間的相位角，y0和q0為與時間無關(guān)的幅值。將式(10)代入式(3)和式(4)中，得到

(11)

式(11)對角項分別為結(jié)構(gòu)和流體的色散關(guān)系，寫作

(12)

(13)

為了得到實數(shù)角頻率ω和波數(shù)k，式(11)的行列式為0，由此得到流固耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系為

DFS(ω,k;τ,q0)=

DS(ω,k;τ)DF(ω,k;q0)+AMω2=0

(14)

令式(14)實部和虛部為0，分別得到

-(ω2+c2k2)(-ω2+1)-

(15)

(16)

分析式(15)和式(16)可以發(fā)現(xiàn)，振動角頻率ω、波數(shù)k以及尾跡變量q0與延遲參數(shù)kd和τ有關(guān)。首先不考慮延遲參數(shù)，得到角速度ω和q0隨波數(shù)k的變化，如圖10所示。可以發(fā)現(xiàn)，有無數(shù)個(ω，k，q0)組合滿足上述兩個方程，特定的組合與給定的邊界條件有關(guān)。對于無限長柔性圓柱而言，最大的振動幅值y0和尾跡變量q0會發(fā)生在ω=1處，此時波數(shù)k=0.25，q0=4.89。

確定的尾跡變量q0之后，根據(jù)式(15)和式(16)，ω和k與延遲參數(shù)相關(guān)。從圖11中可以發(fā)現(xiàn)，隨著τ的增加，頻率f=ω/2π逐漸趨向于0.159，這一變化規(guī)律與圖5中的變化規(guī)律一致，同時波數(shù)k也逐漸趨向于0.25。通過圖11(c)可以看出，當τ較大時，ω/k的值基本保持為4不變，這與Facchinetti等研究中的結(jié)論ω/k=c相一致。通過上述分析發(fā)現(xiàn)，當延遲時間τ不斷增加時，振動頻率f和波數(shù)k都趨向于未受控時的值，分別為0.159和0.25。

圖10 振動頻率ω和尾跡變量q0隨波數(shù)k的變化趨勢Fig.10 The variation of vibration frequency ω and wake variable q0 with wave number k

圖11 頻率ω、波數(shù)k以及ω/k隨延遲時間τ變化規(guī)律(kd=0.15)Fig.11 The variation of frequency ω,wave number k,and ω/k with delay time τ (kd=0.15)

4 結(jié) 論

本文以三維細長柔性圓柱為研究對象，基于結(jié)構(gòu)梁振動模型和尾流振子模型，利用二階中心有限差分方法求解耦合方程，通過引入時滯反饋控制，討論了在不同的反饋參數(shù)下(延遲時間τ和延遲增益kd)柔性圓柱渦激振動的幅值和頻率變化情況。主要得出如下結(jié)論：

(1)探究了延遲時間τ對系統(tǒng)振幅和頻率的影響，發(fā)現(xiàn)三維柔性圓柱振動幅值和頻率隨τ的增加呈周期變化；相反的延遲增益會使振幅變化曲線相差半個周期的相位角，而且系統(tǒng)能夠達到的振幅峰值隨著kd的增大而增大。

(2)探究了在特定τ下kd對系統(tǒng)振幅和頻率的影響，發(fā)現(xiàn)延遲增益kd決定了系統(tǒng)振動幅值的上限；且振動頻率和幅值的變化呈相反的趨勢，振動幅值增大，振動頻率越小。

(3)通過理論分析得出流固耦合系統(tǒng)的色散關(guān)系，發(fā)現(xiàn)振動頻率ω和波數(shù)k隨著延遲時間τ的增加最終會保持不變；振幅峰值只與延遲增益kd有關(guān)，kd越大振幅峰值越大。