磁路互補(bǔ)型橫向磁通切換直線電機(jī)電磁推力計(jì)算與特性分析

付東山 吳康伊 鄭 萍 王祥瑞 伍小杰

磁路互補(bǔ)型橫向磁通切換直線電機(jī)電磁推力計(jì)算與特性分析

付東山1吳康伊1鄭 萍2王祥瑞1伍小杰1

（1. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 徐州 221116 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院 哈爾濱 150001）

有鐵心永磁直線電機(jī)由于齒槽、邊端效應(yīng)及電樞電流諧波等，不可避免地會(huì)產(chǎn)生較高的電磁推力波動(dòng)，電磁推力波動(dòng)直接影響直線電機(jī)運(yùn)行精度和平穩(wěn)性。該文對(duì)具有磁路互補(bǔ)特征的橫向磁通切換直線電機(jī)展開電磁推力特性研究，通過等效磁路法分析其磁場(chǎng)分布規(guī)律，得出該電機(jī)次級(jí)具有等磁位的電磁特性；基于氣隙磁動(dòng)勢(shì)-磁導(dǎo)分析方法，揭示互補(bǔ)磁路條件下，該有鐵心電機(jī)消除齒槽推力波動(dòng)，實(shí)現(xiàn)有鐵心電機(jī)無齒槽效果的機(jī)理；基于該電機(jī)磁場(chǎng)分布特征，建立其許-克變換氣隙磁場(chǎng)計(jì)算模型，提出定位力、電樞繞組磁阻力及永磁推力等電磁推力快速準(zhǔn)確的計(jì)算方法，獲得該電機(jī)各電磁推力特性；對(duì)樣機(jī)進(jìn)行了空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和電磁推力的測(cè)試實(shí)驗(yàn)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果，驗(yàn)證了理論分析模型及計(jì)算方法的有效性和準(zhǔn)確性。

直線電機(jī) 橫向磁通 磁通切換 磁路互補(bǔ) 電磁推力 許-克變換

0 引言

永磁直線電機(jī)（Permanent Magnet Linear Motor, PMLM）具有高速度、高精密、大行程和高動(dòng)態(tài)特性等優(yōu)點(diǎn)，在各類高精密工業(yè)伺服場(chǎng)合有重要應(yīng)用價(jià)值[1]。但有鐵心永磁直線電機(jī)齒槽效應(yīng)、端部效應(yīng)以及電樞電流諧波等引起的推力波動(dòng)會(huì)隨著電機(jī)輸出的電磁推力無緩沖地施加到負(fù)載上，影響高精密直線伺服精細(xì)平滑運(yùn)動(dòng)，干擾其平穩(wěn)運(yùn)行。

永磁直線電機(jī)本體在推力波動(dòng)抑制方面主要包括電機(jī)結(jié)構(gòu)型式調(diào)整、結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、新型拓?fù)涞取?/p>

在電機(jī)結(jié)構(gòu)型式調(diào)整方面，主要通過極槽配合、初/次級(jí)分段、斜極或錯(cuò)位、磁極調(diào)整、額外輔助齒等方式減小電機(jī)定位力和抑制推力波動(dòng)。文獻(xiàn)[2]提出非整數(shù)極的三段式初級(jí)結(jié)構(gòu)，通過非整數(shù)極提高電樞繞組電動(dòng)勢(shì)正弦性、減小電樞繞組電流諧波產(chǎn)生的推力波動(dòng)，通過分段式結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)各段結(jié)構(gòu)定位力相互制約達(dá)到削弱總定位力；文獻(xiàn)[3]采用初、次級(jí)分段和V型磁極錯(cuò)位結(jié)構(gòu)削弱端部磁阻力產(chǎn)生的推力波動(dòng)；文獻(xiàn)[4]針對(duì)Halbach交替極永磁直線電機(jī)采用雙邊錯(cuò)齒結(jié)構(gòu)，不斷抑制齒槽力，也提高繞組正弦度；文獻(xiàn)[5]采用磁極錯(cuò)位的結(jié)構(gòu)削弱法向齒槽力諧波；文獻(xiàn)[6]采用初級(jí)鐵心錯(cuò)位結(jié)構(gòu)和極槽配合的方法消減端部力和抑制推力波動(dòng)；文獻(xiàn)[7]采用端部添加輔助齒結(jié)構(gòu)降低氣隙磁場(chǎng)諧波和改善繞組電感不對(duì)稱，實(shí)現(xiàn)推力波動(dòng)的降低。

上述通過結(jié)構(gòu)型式調(diào)整抑制推力波動(dòng)的方法有一定效果，但改變電機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)，常常忽略其他結(jié)構(gòu)參數(shù)及其耦合的變化對(duì)推力波動(dòng)帶來的影響，同時(shí)結(jié)構(gòu)的改變會(huì)增加電機(jī)的體積或增加電機(jī)的加工 難度。

在電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，通過結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化，降低電機(jī)推力波動(dòng)。文獻(xiàn)[8]采用磁極結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化氣隙磁場(chǎng)，降低推力波動(dòng)；文獻(xiàn)[9]基于代理模型的優(yōu)化算法，采用加點(diǎn)準(zhǔn)則等方式實(shí)現(xiàn)全局優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終實(shí)現(xiàn)推力波動(dòng)降低的同時(shí)提高推力密度；文獻(xiàn)[10]通過Kriging模型輔助的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化，對(duì)敏感參數(shù)進(jìn)行提取，實(shí)現(xiàn)推力優(yōu)化設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[11]針對(duì)推力波動(dòng)不同分量產(chǎn)生原因，分別采用邊端齒結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化和繞組匝數(shù)電感優(yōu)化實(shí)現(xiàn)抑制邊端力和改善繞組電感不對(duì)稱效果。

上述結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過尋找全局最優(yōu)等方法，可得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)推力密度和推力波動(dòng)的相對(duì)最優(yōu)解，然而由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的約束，其優(yōu)化范圍有限，推力波動(dòng)的抑制程度有限。

為了提升直線電機(jī)性能，不斷有新型直線電機(jī)拓?fù)涮岢?，其中部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有削減定位力的優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)[12]提出平板型磁通切換橫向磁通永磁直線電機(jī)結(jié)構(gòu)，對(duì)比磁通切換電機(jī)發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)具有低定位力的特點(diǎn)，但該文同時(shí)指出該結(jié)構(gòu)存在漏磁嚴(yán)重、推力偏低的問題；文獻(xiàn)[13]提出永磁體磁路并聯(lián)互補(bǔ)的初級(jí)永磁橫向磁通直線電機(jī)，通過使用分段錯(cuò)開的次級(jí)鐵心，使每個(gè)永磁體的磁路呈并聯(lián)且互補(bǔ)，從而減少了推力波動(dòng)，該電機(jī)兩個(gè)繞組分別對(duì)應(yīng)永磁體不同磁路，繞組交替與永磁體作用，繞組利用率不高，此外每個(gè)永磁體均需單獨(dú)占用一個(gè)初級(jí)勵(lì)磁齒，降低了電機(jī)推力密度；文獻(xiàn)[14]基于文獻(xiàn)[13]，將永磁體置于初級(jí)槽口實(shí)現(xiàn)偏置勵(lì)磁，將直流勵(lì)磁線圈纏繞在初級(jí)勵(lì)磁齒上，提出混合勵(lì)磁橫向磁通直線電機(jī)，該電機(jī)依然保持互補(bǔ)磁路結(jié)構(gòu)，具有低定位力，但增加了額外勵(lì)磁線圈，占用電樞繞組繞制空間，同時(shí)帶載能力較弱。

上述采用電機(jī)本體結(jié)構(gòu)的改變和優(yōu)化的方法，在推力波動(dòng)減小方面具有一定效果，但上述文獻(xiàn)對(duì)直線電機(jī)推力特征研究較少，文獻(xiàn)[15]采用能量法，通過對(duì)磁共能來求取電磁推力。文獻(xiàn)[16]采用安培定律法，通過等效永磁體在電樞磁場(chǎng)運(yùn)行產(chǎn)生安培力進(jìn)而求取電磁推力。上述推力的求取方法簡(jiǎn)單便捷，但只初步求取了電樞繞組和永磁體間相互作用的推力，精度不高，沒有求取電機(jī)定位力和電樞繞組磁阻力。如何快速準(zhǔn)確求取電機(jī)定位力、電樞繞組電流產(chǎn)生的磁阻力、永磁體和電樞繞組間相互作用力等電磁推力，是直線電機(jī)分析推力、減小推力波動(dòng)的一個(gè)關(guān)鍵問題。

針對(duì)上述問題，本文在文獻(xiàn)[17]前期研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)斜氣隙圓筒型橫向磁通切換永磁直線電機(jī)進(jìn)行磁場(chǎng)分布與電磁推力特性分析。首先，通過磁場(chǎng)分布分析發(fā)現(xiàn)，永磁體勵(lì)磁時(shí)次級(jí)鐵心處磁位均保持不變。因此電機(jī)次級(jí)鐵心既可以采用文獻(xiàn)[17]提出的硅鋼片疊壓制成，也可將整個(gè)或部分次級(jí)采用導(dǎo)磁碳鋼制成，從而降低制造成本，提高次級(jí)的機(jī)械強(qiáng)度，解決圓筒型直線電機(jī)次級(jí)過長(zhǎng)、固定困難的問題。其次，進(jìn)行氣隙磁場(chǎng)調(diào)制分析，證明通過合理選取次級(jí)極距和次級(jí)齒厚度，可實(shí)現(xiàn)該電機(jī)永磁體磁通回路互補(bǔ)，具有可以極大地削減定位力、消除齒槽效應(yīng)的特點(diǎn)。然后，針對(duì)該電機(jī)三維磁路結(jié)構(gòu)，采用有限元計(jì)算耗時(shí)、磁路法求解復(fù)雜的問題，本文提出該電機(jī)基于許-克變換（Schwarz- Christoffel transformation）的氣隙磁場(chǎng)快速計(jì)算模型，建立定位力、電樞繞組磁阻力、永磁推力快速計(jì)算的方法，并對(duì)推力特征進(jìn)行分析。最后，對(duì)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)進(jìn)行了空載感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和各電磁推力的測(cè)試實(shí)驗(yàn)，通過對(duì)比仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了基于許-克變換快速推力計(jì)算方法的有效性和準(zhǔn)確性。

1 電機(jī)磁場(chǎng)分布規(guī)律

1.1 電機(jī)結(jié)構(gòu)與運(yùn)行原理

圖1給出本文研究的斜氣隙圓筒型磁通切換橫向磁通永磁直線電機(jī)（Oblique Air-gap Tubular Transverse Flux Switching Permanent Magnet Linear Motor, OATTFS-PMLM）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。初級(jí)單元沿著運(yùn)動(dòng)方向依次排列形成初級(jí)結(jié)構(gòu)，每個(gè)初級(jí)單元包含若干個(gè)初級(jí)鐵心和永磁體，永磁體和兩邊相鄰的初級(jí)鐵心齒共同形成初級(jí)磁極，繞組纏繞在初級(jí)磁極上。相同凸極次級(jí)鐵心沿著運(yùn)行方向鏡像翻轉(zhuǎn)交替排列并固定在次級(jí)固定軸上組成次級(jí)結(jié)構(gòu)。

圖1 OATTFS-PMLM結(jié)構(gòu)

永磁體勵(lì)磁磁通回路如圖2a和圖2b所示，從圖2中可以看出，初級(jí)單元與不同次級(jí)鐵心對(duì)齊時(shí)，永磁體在電樞繞組中產(chǎn)生的磁鏈方向相反，當(dāng)初級(jí)動(dòng)子移動(dòng)時(shí)通過初級(jí)繞組的磁鏈就會(huì)發(fā)生變化而產(chǎn)生交變感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)初級(jí)繞組中通入交變電流時(shí)，電樞磁場(chǎng)與永磁體磁場(chǎng)相互作用，推動(dòng)動(dòng)子向前移動(dòng)。由于該電機(jī)具有橫向磁通電機(jī)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，易于實(shí)現(xiàn)多極結(jié)構(gòu)，因此在相同供電頻率下，能夠達(dá)到更低的速度，并具有較高的力密度，適用于低速大推力直接驅(qū)動(dòng)場(chǎng)合。

圖2 OATTFS-PMLM的磁路

1.2 磁場(chǎng)分布

等磁位線如圖3所示。圖3中，電流源或永磁體等磁源對(duì)稱分布時(shí)，磁源產(chǎn)生的磁位矢勢(shì)方向垂直于對(duì)稱中間線。此時(shí)，單位強(qiáng)度的磁極從無窮遠(yuǎn)處沿著中間線移動(dòng)至中間線上任意位置，為反抗磁場(chǎng)而做的功始終為零，因此圖中的中間線為等磁位線且與無窮遠(yuǎn)處磁位相同。

圖3 等磁位線

基于此建立電機(jī)等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，為了分析簡(jiǎn)單，在建立磁網(wǎng)絡(luò)模型時(shí)忽略鐵心磁阻，所建立的磁網(wǎng)絡(luò)模型包括氣隙磁導(dǎo)、永磁體內(nèi)磁導(dǎo)、漏磁導(dǎo)、永磁體磁動(dòng)勢(shì)。在只有永磁體激勵(lì)、初級(jí)單元與不同次級(jí)單元對(duì)齊時(shí)的磁場(chǎng)分布情況如圖4所示[17]，圖中pm、、、、、分別為永磁體內(nèi)磁導(dǎo)、初級(jí)單元齒與次級(jí)鐵心Ⅰ齒間的氣隙磁導(dǎo)、初級(jí)單元與次級(jí)鐵心Ⅰ間不與繞組相交鏈的磁回路而形成的漏磁導(dǎo)、初級(jí)單元與次級(jí)鐵心Ⅱ齒間的氣隙磁導(dǎo)、初級(jí)單元與次級(jí)鐵心Ⅱ間不與繞組相交鏈的磁回路而形成漏磁導(dǎo)、不經(jīng)過次級(jí)鐵心的等效漏磁導(dǎo)。

圖4 OATTFS-PMLM永磁體激勵(lì)下的磁路情況

將每個(gè)永磁體沿中間線分開為兩部分，每部分等效為磁勢(shì)源和磁導(dǎo)串聯(lián)。電機(jī)的磁網(wǎng)絡(luò)模型如圖5所示，初級(jí)單元分別與次級(jí)鐵心Ⅰ和Ⅱ?qū)R時(shí)的磁網(wǎng)絡(luò)模型如圖5a和圖5b所示。電機(jī)在運(yùn)行時(shí)，初級(jí)單元與不同次級(jí)鐵心對(duì)齊并有一個(gè)交替的過程，需要考慮電機(jī)運(yùn)行過程中初級(jí)單元與不同次級(jí)鐵心交替作用的情況，將圖5a、圖5b所示磁網(wǎng)絡(luò)模型合并為如圖5c所示的電機(jī)磁網(wǎng)絡(luò)模型。由于電機(jī)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，各個(gè)齒的相關(guān)參數(shù)相同，圖中只標(biāo)注一個(gè)齒的參數(shù)。

圖5 OATTFS-PMLM永磁體激勵(lì)下的磁網(wǎng)絡(luò)模型

對(duì)電機(jī)磁網(wǎng)絡(luò)模型采用節(jié)點(diǎn)電壓法分別計(jì)算不同節(jié)點(diǎn)的磁位情況，其中參考磁位點(diǎn)設(shè)為圖5c中節(jié)點(diǎn)9，該參考點(diǎn)位于永磁體中間線上，其磁位與無窮遠(yuǎn)處磁位相同。相關(guān)節(jié)點(diǎn)磁位為

從式（1）可知，該電機(jī)無論初、次級(jí)相對(duì)位置如何變化，次級(jí)磁位均保持不變并和無窮遠(yuǎn)處磁位相同。

因此，次級(jí)鐵心Ⅰ和次級(jí)鐵心Ⅱ之間沒有磁位差，不存在次級(jí)鐵心間因磁位差相互影響而導(dǎo)致漏磁的現(xiàn)象。因此可以根據(jù)對(duì)機(jī)械強(qiáng)度等的需要，將次級(jí)鐵心和次級(jí)固定軸分別采用硅鋼疊片和導(dǎo)磁碳鋼制成，也可以將次級(jí)整體采用導(dǎo)磁碳鋼制成，而不影響電機(jī)的磁路分布，降低制造成本，提高次級(jí)的機(jī)械強(qiáng)度，解決圓筒型直線電機(jī)次級(jí)過長(zhǎng)，固定困難的問題。

圖1中次級(jí)鐵心齒的極距p和鐵心齒縱向厚度pt可以相等，即p=pt，此時(shí)，永磁磁通回路通過次級(jí)鐵心形成互補(bǔ)磁路，即成為磁路互補(bǔ)型橫向磁通切換直線電機(jī)，該電機(jī)在運(yùn)行過程中初、次級(jí)鐵心齒間重合面積始終保持不變，消除齒槽引起的定位力，實(shí)現(xiàn)有鐵心電機(jī)無齒槽的效果。

2 基于氣隙磁動(dòng)勢(shì)-磁導(dǎo)的定位力分析

前面基于OATTFS-PMLM運(yùn)行原理，分析了該電機(jī)的磁場(chǎng)分布規(guī)律，得到電機(jī)不同位置的磁位分布情況，具有磁路互補(bǔ)特點(diǎn)，消除了齒槽引起的定位力。本節(jié)將運(yùn)用氣隙磁動(dòng)勢(shì)-磁導(dǎo)對(duì)該電機(jī)定位力進(jìn)行分析，從數(shù)學(xué)模型上闡明在磁路互補(bǔ)情況下定位力的消除機(jī)理。

2.1 OATTFS-PMLM氣隙等效磁導(dǎo)與磁動(dòng)勢(shì)

OATTFS-PMLM電機(jī)的三維視圖如圖1所示，初、次級(jí)均可等效為凸極結(jié)構(gòu)，因此初級(jí)永磁磁動(dòng)勢(shì)受到次級(jí)凸極齒的調(diào)制作用，產(chǎn)生相應(yīng)的氣隙磁通密度諧波。次級(jí)鐵心Ⅰ和次級(jí)鐵心Ⅱ磁位相同，互不干擾，次級(jí)鐵心Ⅰ和次級(jí)鐵心Ⅱ中磁通經(jīng)過的氣隙是相互分開獨(dú)立的。因此，基于次級(jí)鐵心與初級(jí)分別作用的不同氣隙，將次級(jí)磁導(dǎo)模型分為兩個(gè)不同部分。

該電機(jī)次級(jí)不同鐵心凸極結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)不同氣隙磁導(dǎo)模型如圖6所示。

圖6 OATTFS-PMLM次級(jí)氣隙磁導(dǎo)模型

OATTFS-PMLM永磁體磁動(dòng)勢(shì)模型如圖7所示。圖中，st為初級(jí)單元厚度，p為永磁體在氣隙的等效磁動(dòng)勢(shì)。永磁體產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)在不同氣隙中，其方向不同，該電機(jī)初級(jí)單元間相互獨(dú)立，可分析單個(gè)初級(jí)單元，然后根據(jù)電機(jī)初級(jí)單元個(gè)數(shù)和初級(jí)單元間相位差進(jìn)行疊加。

圖7 OATTFS-PMLM永磁體磁動(dòng)勢(shì)模型

2.2 OATTFS-PMLM定位力機(jī)理分析

OATTFS-PMLM定位力是電機(jī)繞組不通電時(shí)位于初級(jí)永磁體和次級(jí)鐵心凸極齒相互作用產(chǎn)生的。從磁場(chǎng)能量變化的角度出發(fā)，可將定位力理解為：由于次級(jí)鐵心凸極齒的存在，氣隙磁導(dǎo)呈周期性分布，初、次級(jí)相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能變化，進(jìn)而產(chǎn)生定位力。下面基于能量法對(duì)定位力進(jìn)行推導(dǎo)。

電機(jī)氣隙中存儲(chǔ)的磁場(chǎng)能量為

式中，1、2分別為次級(jí)鐵心Ⅰ和次級(jí)鐵心Ⅱ?qū)?yīng)的氣隙體積；為初級(jí)與次級(jí)之間的相對(duì)位置，=0設(shè)定為初級(jí)與次級(jí)鐵心Ⅰ對(duì)齊的位置；0為氣隙磁導(dǎo)率；()、ag1(,)、ag2(,)分別為氣隙磁動(dòng)勢(shì)分布、不同次級(jí)鐵心Ⅰ和次級(jí)鐵心Ⅱ?qū)?yīng)的氣隙磁通密度的分布；ag1(,)、ag2(,)分別為對(duì)應(yīng)氣隙的次級(jí)磁導(dǎo)模型。

單個(gè)初級(jí)單元永磁體產(chǎn)生的氣隙磁動(dòng)勢(shì)模型如圖7所示，由于該磁動(dòng)勢(shì)模型為一個(gè)方波，在不同氣隙中，磁動(dòng)勢(shì)呈相反方向，幅值相同。因此在不同氣隙中，磁動(dòng)勢(shì)二次方根相同。

電機(jī)的定位力可表示為

將式（4）～式（7）代入式（8），可得

由于電機(jī)次級(jí)鐵心同磁位，相互間沒有影響，次級(jí)鐵心齒厚度pt取值范圍為[0,p]，由式（9）可知，鐵心齒厚度pt接近次級(jí)鐵心間距p時(shí)，定位力逐漸減?。划?dāng)pt與p相等時(shí)，定位力為零。另外，該電機(jī)初級(jí)單元間相互獨(dú)立，初級(jí)單元厚度選取靈活，從式（9）可以看出，當(dāng)初級(jí)單元厚度st=p時(shí)，電機(jī)定位力為零。

由上述理論分析可以看出，OATTFS-PMLM綜合了橫向磁通和磁通切換結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)初、次級(jí)結(jié)構(gòu)相互獨(dú)立，通過合理選取初級(jí)厚度st或次級(jí)鐵心齒厚度pt，可以形成磁路互補(bǔ)結(jié)構(gòu)進(jìn)而達(dá)到消除電機(jī)無齒槽效應(yīng)、削減定位力，實(shí)現(xiàn)有鐵心電機(jī)無齒槽力的效果。

3 基于許-克變換的電機(jī)電磁計(jì)算

基于前述對(duì)OATTFS-PMLM磁場(chǎng)分布規(guī)律以及定位力的理論分析，得出該電機(jī)具有次級(jí)等磁位，各次級(jí)鐵心間磁場(chǎng)相互獨(dú)立，可形成互補(bǔ)磁路結(jié)構(gòu)，消除齒槽效應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)。但由于永磁體位于初級(jí)鐵心之間，其在氣隙處的磁動(dòng)勢(shì)隨氣隙磁導(dǎo)的變化而變化，為進(jìn)一步精確快速計(jì)算電機(jī)內(nèi)部磁場(chǎng)，得到電磁推力計(jì)算式，采用許-克變換方法建立該電機(jī)電磁場(chǎng)計(jì)算模型，獲得電機(jī)氣隙磁導(dǎo)。

3.1 電機(jī)氣隙磁場(chǎng)許-克變換分析模型

許-克變換分析是基于邊界的磁場(chǎng)分析方法，通過已知的簡(jiǎn)單磁場(chǎng)來研究待定的復(fù)雜磁場(chǎng)[18]。采用許-克變換進(jìn)行磁場(chǎng)分析時(shí)，需找出一個(gè)簡(jiǎn)單且分布已知的磁場(chǎng)，然后建立待確定場(chǎng)與已知場(chǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再把已知磁場(chǎng)的分布通過對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到確定場(chǎng)上，從而得到待確定場(chǎng)分布情況。已知磁場(chǎng)的分布區(qū)域通常是半平面、條狀、矩形等，待確定場(chǎng)分布區(qū)域通常是多邊形。許-克變換是一種特殊的保形映射，能夠?qū)肫矫?、條狀、矩形等映射為一個(gè)多邊形。映射關(guān)系()、-1()可以通過Matlab SC Toolbox采用數(shù)值積分的方式求出[19]。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，分別對(duì)電機(jī)不同氣隙進(jìn)行求解建模。將電機(jī)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同求解氣隙，并將其中一個(gè)等效求解氣隙模型等效為二維結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 OATTFS-PMLM氣隙等效模型

為了采用許-克變換分析方法計(jì)算電機(jī)初、次級(jí)不同相對(duì)位置時(shí)的氣隙磁導(dǎo)，首先將電機(jī)初、次級(jí)不同相對(duì)位置時(shí)氣隙等效模型進(jìn)行許-克變換和許-克逆變換，使-Plane氣隙等效模型映射為-Plane的矩形，從而計(jì)算出初級(jí)齒上單位激勵(lì)下氣隙磁場(chǎng)分布情況，進(jìn)而得到氣隙等效模型的氣隙磁導(dǎo)，如圖9所示。

圖9 w-Plane映射到z-Plane的許-克變換

Fig.9 SC mapping between different domains in SC method

通過許-克逆變換，得到等效氣隙域中電流源映射到矩形區(qū)域域中的位置，計(jì)算單位電流映射到矩形中產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布。基于矩形中的磁場(chǎng)分布，通過許-克變換求得電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布情況進(jìn)而求取相關(guān)磁通等參數(shù)。

3.2 氣隙磁導(dǎo)計(jì)算

在域中電流I在 (,) 處產(chǎn)生的矢量磁動(dòng) 勢(shì)[19]為

式中，D為矩形的高；(,) 為電流在域中的坐標(biāo)。

由疊加定理可得，域中線電流和ai產(chǎn)生的矢量磁動(dòng)勢(shì)為

由式（12）～式（15）知在域中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

平面中的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以通過下式計(jì)算。

式中，eq為氣隙磁場(chǎng)等效厚度。將式（18）代入式（11）中便可得到初、次級(jí)不同相對(duì)位置下氣隙磁導(dǎo)。

3.3 基于氣隙磁導(dǎo)的電磁特性計(jì)算

為了計(jì)算電機(jī)電磁特性，將電機(jī)永磁體激勵(lì)等效為直流勵(lì)磁繞組，永磁體的磁動(dòng)勢(shì)pm可以等效為

式中，F(xiàn)為等效勵(lì)磁繞組匝數(shù)；F為等效勵(lì)磁電流。

因此，將電機(jī)內(nèi)部電磁可以等效為永磁體的等效勵(lì)磁繞組、電樞繞組相互作用產(chǎn)生，通有固定電流的永磁體等效勵(lì)磁繞組F在電樞繞組A中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，即為空載反電動(dòng)勢(shì)，可表示為

式中，F(xiàn)A為勵(lì)磁繞組和電樞繞組的互感；AF為互感磁導(dǎo)；A為電樞繞組的匝數(shù)；為電機(jī)的動(dòng)子位置；為電機(jī)動(dòng)子運(yùn)行速度。

電機(jī)的輸出力是在等效勵(lì)磁繞組和電樞繞組共同作用下產(chǎn)生的，其值為

式中，A為電樞電流；A為電樞繞組的磁動(dòng)勢(shì)；F為等效勵(lì)磁繞組的自感磁導(dǎo)；A為電樞繞組的自感磁導(dǎo)。

式（20）、式（21）表明，在激勵(lì)一定的條件下，電機(jī)反電動(dòng)勢(shì)以及電機(jī)輸出推力主要與電機(jī)相應(yīng)繞組的自感磁導(dǎo)以及各繞組間互感磁導(dǎo)決定。考慮電機(jī)對(duì)稱性及電機(jī)動(dòng)子單元極數(shù)，等效勵(lì)磁繞組的自感磁導(dǎo)F、電樞繞組的自感磁導(dǎo)A、互感磁導(dǎo)AF分別可由圖5及式（1）～式（3）和式（10）得到。

基于許-克變換分析了OATTFS-PMLM的磁場(chǎng)模型，得到快速分析計(jì)算電機(jī)氣隙磁導(dǎo)的方法。基于氣隙磁導(dǎo)，推導(dǎo)出電機(jī)定位力、繞組磁阻力和永磁等電磁推力計(jì)算模型。

3.4 電磁推力特性分析

從式（21）可知，該電機(jī)推力可分解為三部分，式中，第一項(xiàng)為永磁磁動(dòng)勢(shì)與永磁等效繞組的自感磁導(dǎo)相互作用產(chǎn)生的電磁推力，此項(xiàng)為電樞繞組為零時(shí)電機(jī)永磁體產(chǎn)生的磁阻力，即為永磁體作用下電機(jī)定位力；第二項(xiàng)為電樞繞組電流產(chǎn)生的電樞磁阻力，該力與電機(jī)的電樞電流方向無關(guān)，始終指向電樞線圈電感最大的位置；第三項(xiàng)為電樞繞組和永磁體相互作用產(chǎn)生的電磁推力，該電磁推力的大小和方向與電樞繞組電流方向、永磁體充磁方向均有關(guān)，該力稱為洛倫茲力[20]。將電機(jī)的推力分解為定位力、繞組磁阻力和永磁推力，使該電機(jī)電磁特性計(jì)算模型直接、清晰地表達(dá)了不同推力與電機(jī)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，為分析電機(jī)提供了理論指導(dǎo)。

為了分析該電機(jī)各電磁推力特性，考慮電機(jī)初級(jí)結(jié)構(gòu)相互獨(dú)立，采用單個(gè)初級(jí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。電機(jī)主要結(jié)構(gòu)參數(shù)[17]見表1，相關(guān)參數(shù)標(biāo)注如圖1所示。永磁體產(chǎn)生的定位力、電樞繞組中通入5A直流電時(shí)電樞繞組產(chǎn)生的電樞磁阻力、電樞繞組中通入5A直流電時(shí)與永磁體相互作用產(chǎn)生的洛倫茲力，以及上述三項(xiàng)電磁推力的合力（電磁推力）如圖10所示。從圖10中可以看出，定位力、電樞磁阻力在一個(gè)輸出周期內(nèi)呈周期變化，并且周期相同，該電機(jī)的定位力、電樞磁阻力主要產(chǎn)生推力波動(dòng)。

表1 OATTFS-PMLM主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖10 OATTFS-PMLM的電磁推力

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 樣機(jī)結(jié)構(gòu)

為驗(yàn)證上述理論分析、電磁計(jì)算模型的正確性和準(zhǔn)確性，搭建樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，采用有限元仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)試的方法進(jìn)行驗(yàn)證分析。電機(jī)三維有限元模型如圖11所示[17]。有限元模型和實(shí)驗(yàn)樣機(jī)主要參數(shù)見表1，相關(guān)參數(shù)標(biāo)注如圖1所示，初級(jí)鐵心極距s為25mm，每相初級(jí)單元數(shù)為2。本文實(shí)驗(yàn)樣機(jī)見文獻(xiàn)[17]。

圖11 3D有限元分析模型

樣機(jī)各基本結(jié)構(gòu)如圖12所示，初、次級(jí)均采用鐵心疊片制成，分別如圖12a所示，初級(jí)鐵心和次級(jí)鐵心均采用相同的鐵心結(jié)構(gòu)，次級(jí)鐵心單元沿著運(yùn)動(dòng)方向鏡像排列。鐵心疊片結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，加工制作簡(jiǎn)單。

電機(jī)動(dòng)子裝配如圖12b所示，采用非導(dǎo)磁框架固定電機(jī)初級(jí)鐵心和永磁體，繞組纏繞在動(dòng)子磁極上，初級(jí)模塊進(jìn)行塑封處理后與次級(jí)鐵心進(jìn)行組裝，形成圖12c所示的樣機(jī)結(jié)構(gòu)。

圖12 樣機(jī)的結(jié)構(gòu)及裝配

4.2 實(shí)驗(yàn)測(cè)試

圖13為搭建的OATTFS-PMLM樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。滾珠絲桿上的滑塊通過力傳感器與電機(jī)動(dòng)子連接，力傳感器信號(hào)通過儀表放大器與示波器連接。

圖13 OATTFS-PMLM樣機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

電機(jī)電樞繞組開路，推動(dòng)電機(jī)動(dòng)子以1m/s的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)，測(cè)得三相電樞的反電動(dòng)勢(shì)波形如圖14所示，同時(shí)給出相同條件下許-克變換模型和有限元計(jì)算的反電動(dòng)勢(shì)波形。許-克變換、有限元、實(shí)驗(yàn)測(cè)試得反電動(dòng)勢(shì)峰值分別為7.7V、7.8V、7.3V，波形較為吻合。存在偏差的原因?yàn)閷?shí)際鐵心磁導(dǎo)率以及模型等效的理想化處理等。圖14表明OATTFS- PMLM許-克變換模型計(jì)算電磁場(chǎng)的有效性，并驗(yàn)證了電機(jī)原理的正確性。

圖14 OATTFS-PMLM的電樞繞組開路時(shí)反電動(dòng)勢(shì)波形

通過滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)，絲杠滑塊連接力傳感器緩慢勻速推動(dòng)電機(jī)初級(jí)做直線運(yùn)動(dòng)，由于動(dòng)子勻速運(yùn)動(dòng)且速度低，因此可以認(rèn)為初級(jí)在一個(gè)極下的任意位置均處于準(zhǔn)平衡狀態(tài)。此時(shí)保持電機(jī)電樞繞組開路，通過力傳感器測(cè)得電機(jī)波動(dòng)的定位力和軌道固定的滑動(dòng)摩擦力，提取其中定位力并與有限元和許-克變換模型計(jì)算值進(jìn)行比較。相關(guān)定位力波形如圖15所示，在實(shí)驗(yàn)測(cè)得的定位力消除了特定諧波分量，主要是因?yàn)槎ㄎ涣Ψ档陀趯?dǎo)軌的摩擦力，測(cè)量誤差干擾較大。誤差不僅是由于導(dǎo)軌摩擦產(chǎn)生的噪聲干擾，還與測(cè)試精度有關(guān)。許-克變換模型將氣隙分開考慮，簡(jiǎn)化了計(jì)算，與有限元相比節(jié)省計(jì)算時(shí)間，在分析定位力時(shí)具有一定參考意義。

在推動(dòng)電機(jī)動(dòng)子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，單獨(dú)給電機(jī)的一相通入5A的直流電，得到電機(jī)靜態(tài)推力。靜態(tài)推力曲線如圖16所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)得電機(jī)最大靜推力為42.8N，有限元計(jì)算所得最大靜推力為42.9N，許-克變換模型計(jì)算最大靜推力為44.1N，由圖16可見，實(shí)驗(yàn)曲線與三維電磁場(chǎng)有限元計(jì)算以及模型計(jì)算的結(jié)果基本吻合，表明了模型計(jì)算的準(zhǔn)確性。

圖16 靜態(tài)推力曲線

采用d=0的控制方法，施加有效值為5A的電樞電流，驅(qū)動(dòng)電機(jī)運(yùn)行，三維有限元和許-克變換模型得到電機(jī)輸出推力情況如圖17所示，許-克變換模型計(jì)算電機(jī)輸出推力平均值為105N，三維有限元計(jì)算的推力平均值為99.5N，導(dǎo)致誤差的原因主要為許-克變換模型將鐵心導(dǎo)磁理想化，同時(shí)簡(jiǎn)化電機(jī)模型。兩者計(jì)算所得電機(jī)推力波形吻合度較高。推力波動(dòng)實(shí)驗(yàn)表明許-克變換模型具有較高的準(zhǔn)確性。

圖17 OATTFS-PMLM的推力波形

5 結(jié)論

本文針對(duì)一種新型斜氣隙圓筒型橫向磁通切換直線電機(jī)進(jìn)行了電磁推力特性分析，介紹了該新型直線電機(jī)的基本結(jié)構(gòu)和運(yùn)行原理，并對(duì)其磁場(chǎng)分布特性定位力進(jìn)行分析，建立了電機(jī)的基于許-克變換的快速求解電磁分析模型并對(duì)推力特性進(jìn)行分析，利用有限元和樣機(jī)實(shí)驗(yàn)對(duì)該分析模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證并分析了電機(jī)的基本特性，得出如下結(jié)論：

1）該電機(jī)結(jié)構(gòu)中，次級(jí)結(jié)構(gòu)磁位不隨初級(jí)和次級(jí)相對(duì)位置變化而變化，始終保持不變并等于無窮遠(yuǎn)處磁位，因此可以將次級(jí)作為一個(gè)整體采用導(dǎo)磁碳鋼制成，而不影響電機(jī)的磁路分布，降低制造成本，提高次級(jí)的機(jī)械強(qiáng)度，解決圓筒型直線電機(jī)次級(jí)過長(zhǎng)時(shí)，固定困難的問題。

2）采用氣隙磁導(dǎo)-磁動(dòng)勢(shì)進(jìn)行定位力分析，揭示該結(jié)構(gòu)電機(jī)具有消除齒槽引起的定位力的優(yōu)勢(shì)，可實(shí)現(xiàn)有鐵心電機(jī)無齒槽的效果。

3）建立該電機(jī)基于許-克變換的氣隙磁導(dǎo)計(jì)算模型，實(shí)現(xiàn)電機(jī)氣隙磁導(dǎo)快速精確計(jì)算，分別確立電機(jī)的定位力、電樞繞組磁阻力、永磁推力快速計(jì)算方法，為分析電機(jī)電磁推力特性，進(jìn)一步優(yōu)化電磁推力，提供理論指導(dǎo)。

4）進(jìn)行樣機(jī)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了計(jì)算模型及分析電機(jī)電磁推力特性的正確性和準(zhǔn)確性。

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Analysis of Electromagnetic Thrust Characteristics of Magnetic Circuit Complementary Transverse Flux Switching Linear Motor

11211

（1. School of Electrical Engineering China University of Mining and Technology Xuzhou 221116 China 2. School of Electrical Engineering and Automation Harbin Institute of Technology Harbin 150001 China）

Owing to cogging effect, end effect and armature current harmonic, the high electromagnetic thrust ripple is inevitable in permanent magnet linear motor with an iron core, which directly influences the accuracy and smoothness of a linear machine in operating. This paper studies the electromagnetic thrust characteristics based on a flux-switching transverse flux permanent magnet linear motor with a complementary magnetic circuit. Firstly, the magnetic field distribution is analyzed by the equivalent magnetic road method, and the electromagnetic characteristics of the equal magnetic potential in the secondary of the motor are verified. Secondly, based on the air-gap magnetomotive force-permeability analysis method, the cogging thrust is suppressed under the complementary magnetic circuit condition, which realizes the non-cogging effect in the permanent magnet linear motor with the iron core. Then, the Schwarz-Christoffel transform model is proposed to analyze the electromagnetic thrust characteristics based on the air-gap magnetic felid distribution, and an analytical expression of electromagnetic thrust is derived. At last, experiments about no load-induced electromotive force and electromagnetic thrust are carried out to verify the proposed theoretical analysis model.

Linear motor, transverse flux, flux switching, complementary magnetic circuit, electromagnetic thrust, Schwarz-Christoffel transform

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.220840

國(guó)家自然科學(xué)基金國(guó)家重大項(xiàng)目課題（51991385）和江蘇省研究生科技與實(shí)踐創(chuàng)新計(jì)劃（SJCX22_1173）資助。

2022-05-16

2022-07-24

付東山 男，1990年生，博士，講師，研究方向?yàn)殡姍C(jī)系統(tǒng)及其控制。

E-mail: fuds@cumt.edu.cn

伍小杰 男，1966年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏﹄娮优c電力傳動(dòng)。

E-mail: xjwu@cumt.edu.cn（通信作者）

（編輯 郭麗軍）