一堂高等數學課融入思政元素和建模思想的教學探索
——以“定積分的定義”為例

肖其珍 劉宏亮* 歐陽自根 彭湘凌

1.南華大學數理學院（湖南省衡陽市 421001）

2.湖南財經工業職業技術學院公共課部（湖南省衡陽市 421002）

1 引言

習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上強調，要堅持把立德樹人作為高校思想政治工作的中心環節，要用好課堂教學這個主渠道，思想政治理論課要堅持在改進中加強，提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學生成長發展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協同效應[1]。在《高等學校課程思政建設指導綱要》[2]中也明確了課程思政的本質內涵是在傳授知識和培養能力的同時，將思政元素潤物細無聲地穿插貼合進去，逐漸熏陶學生形成正確的世界觀、價值觀和人生觀，同時，在落實立德樹人根本任務時，必須將價值塑造、知識傳授和能力培養三者融為一體、不可割裂。在此背景下，各高校積極開展專項研究與實踐，探索如何將思政元素融入到各類課程教學中，才能起到潤物無聲的育人效果[3-6]。

《高等數學》作為理工科學生必修的一門公共基礎課程，具有知識點多且抽象、授課持續時間長（通常為一年時間）、覆蓋學生面廣等特點，且通常安排的大學一年級就開始學習。通過學習和訓練，能夠很好地提高學生思維能力，為后續的專業課學習和解決專業地實際問題提供數學素養?；谝陨咸攸c，若該課程能融入思政元素將在高校的人才培養質量及學生的未來發展中起到舉足輕重的作用。因此，在課堂教學中不僅要注重基礎理論、基本方法及應用能力等方面的傳授與培養，而且要挖掘知識點或解題過程中所蘊含的思政元素，才能為立德樹人這一根本任務做出應有的貢獻[3]。

基于此，本文將以《高等數學》（上冊）[7]中的“定積分的定義”為例，結合實際情況，采用“講好中國故事”和“運用建模思想”相結合的教學模式，在講解過程中有意識地融入思政元素，讓學生更加主動，更有熱情地投入到新知識的學習當中。筆者授課對象為南華大學土木工程學院和資源環境與安全工程學院的大一學生，上課時間為周一、三、五上午1-2 節。同學們在高中階段對定積分的簡單計算有一定的基礎，具有初步分析和解決問題的能力，但對于定積分概念的深刻理解和應用能力還有不足。絕大部分學生學習態度較為認真，對應用數學知識解決實際問題極感興趣。因此，在具體的課堂教學過程中，我們通過“情境的創設-問題的提出-概念的凝練-練習與提高”等步驟，將數學理論和思想與實際背景相結合，注重激發學生的學習熱情，把培養學生分析問題、解決問題的能力和塑造學生正確“三觀”融入到課堂中來。

2 教學過程

2.1 情境的創設

通過PPT 展示某些地方的標志性建筑物（如深圳的地王大廈、廣州的“小蠻腰”廣州塔、北京故宮等）來吸引學生的注意力。話題一轉，問學生們南華大學的“標志性的植物”是什么？接著讓學生從窗戶看看教室正對面的南華廣場上被學生們稱為“棒棒糖”的樟樹（圖1），然后問“同學們能不能求出我們所看到的最大樹冠的投影面積（圖2）”，同時在黑板上快速地描繪出樹冠曲線坐標圖（圖3），且指出今天課程的主要目標就是利用定積分的知識來計算這一類圖形（不規則圖形）的面積。從而，引起了學生們的學習興趣和熱情。

圖1 “棒棒糖”樹

圖2 “棒棒糖”樹冠輪廓

圖3 樹冠坐標圖

2.2 問題的提出

類似于樹冠投影（不規則）的圖形，如果知道輪廓函數的表達式，如何求得其面積？這是現實生活中的常見問題，但與中學時期所接觸的規則圖形（如三角形，矩形等）有所不同。為了解決這個問題，先回顧矩形面積的計算公式，且黑板板書寫下S=a×b，接著，介紹曲邊梯形的概念，即：

定義1[7]：設y=f（x）在區間[a，b]上非負且連續。由直線x=a，x=b，y=0 及曲線y=f（x）所圍成的圖形（如圖4）稱為曲邊梯形，其中曲線弧稱為曲邊。

圖4 曲邊梯形

這時應當給學生強調矩形面積公式已無法用來求解圖4 中曲邊梯形的面積。那么如何準確計算出圖4 中曲邊梯形的面積呢？此時，有意識地引導學生往“近似”的思路去思考，也即，用底邊長度為｜b-a｜乘以曲線任意一點對應的高度f（x0）所獲得的矩形面積近似曲邊梯形面積。需指出，此時的誤差太大（如圖5所示）。但是如果先把曲邊梯形“劃分”成若干個（許多個）小的曲邊梯形（用n來表示小曲邊梯形的個數），而每一個小的曲邊梯形的面積用一個等底的矩形面積來近似，再把所有的小矩形面積相加，所得到的總的小矩形面積與圖4 大的曲邊梯形面積的誤差就會縮小，并且“劃分”越細，誤差越小（如圖6 所示）。即當n趨于無窮大時，小矩形面積之和將無限地趨向于大的曲邊梯形的面積。這時強調這一思想為古希臘“窮竭法”，但是早在魏晉時期我國著名數學家劉徽在其割圓術求圓周率時就體現出來了。正如劉徽在其著作《九章算術》中所言“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，可見其思想與古希臘窮竭法不謀而合。同時，通過PPT 動畫展示割圓術的過程，并且講述劉暉割圓術的思想來源于他在工地上看到石匠們加工方塊石頭變成圓柱體石頭的過程而獲得靈感。這樣，即可以讓學生們理解抽象的極限過程，即加深印象，又可以增加民族自豪感，激起學習的熱情。

圖5 矩形近似曲邊梯形

圖6 劃分近似求和示意圖

2.3 概念的凝練

引導學生從上述分析求解曲邊梯形的過程中，凝練出定積分的定義，過程如下：

（1）分割，即在區間[a，b]內隨機插入若干個分點，且記a=x1＜x2＜L＜xn-1＜xn=b，這樣區間[a，b]分成了n個小區間，記第i個小區間為[xi-1，xi]。

（2）近似，即在區間[xi-1，xi]內任意取一點ξi，以區間[xi-1，xi]的長度為底，以f（x）在點ξi的取值f（ξi）為高，求出小矩形面積Si=f（ξi）Δxi近似于小曲邊梯形面積Ai，即Ai ≈Si。

通過上面的分析過程，訓練了學生從具體到抽象的思維能力。此時，教師可以與學生分享上面的“分割”和“求和”的兩個步驟中所蘊含的哲學思想，也即分割方法體現出“化整為零”的思想，而求和過程又表現出“集零為整”的哲理，并且指出這一哲學思想其實在“曹沖稱象”的故事中就得到了運用。另一方面，“近似”的過程也蘊含著“以不變應萬變”的道家處變不驚的處世哲學，“取極限”的過程卻表現出“精益求精”的工作和學習態度。這樣通過和學生一起總結定積分的思想和方法，使學生對定積分的概念從認識上有了飛躍和升華，同時讓學生體會到通過數學的學習還可以了解中國數學史和數學家的故事，以及蘊含在數學推導過程中的哲學道理和生活智慧。

通過對上述過程的分析和凝練，給出定積分的定義和幾何意義。

2.3.1 定積分的定義

同時，強調以下三點：

（1）積分值僅與積分函數和積分區間有關，但與積分變量的字母無關，即：

由此與學生分享這里面蘊含的“通過現象看本質”的哲學思維。

（2）注意到區間分法和ξi取值的任意性，強調這是極限思想的體現。

（3）定積分是一個常數，是由極限存在唯一性決定的。

2.3.2 定積分的幾何意義

圖7 定積分幾何意義

2.4 練習與提高

例題：通過合理地假設條件，利用定積分的定義和幾何意義給出南華廣場上“棒棒糖”樹樹冠投影面積的表達式。

分析：利用數學建模的思想，不妨假設“棒棒糖”樹冠的投影在直角坐標系下的圖如圖3 所示。為了給出樹冠投影面積的表達式，下面利用定積分的定義和幾何意義來求解。首先，利用兩條平行于y軸的虛線找出投影的最大“寬度”，即找到虛線與投影邊界唯一的交點，如圖8 中的A點與B點所示，此時A點與B分別在x軸上的投影為a與b。于是，樹冠的投影面積就可以用兩個曲邊梯形的面積之差來表示，也即圖形ABCD的面積I就等于曲邊梯形AabBDA的面積減去曲邊梯形AabBCA的面積。假設弧ADB和弧ACB在區間[a，b]上為連續函數，其表達式分別為f（x）與g（x）。于是利用定積分的定義可求得曲邊梯形AabBDA和曲邊梯形AabBCA的面積分別為

圖8 構造曲邊梯形圖

因此，“棒棒糖”樹樹冠投影面積的表達式為

3 結語

課程思政是當前高校思想政治工作的新理念、新模式，是在講解原有的知識架構和內容的同時挖掘具有正能量的思政元素，融入到課堂教學當中以實現知識的傳授、能力的培養和價值觀的塑造的教學模式。但在具體的課堂教學中，由于各學科的特點不一，以致課程思政并無定法，目前也無章可循。本文以“講好中國故事”和“解決實際生活問題”的模式進行設計教學。首先以如何求出南華大學紅湘校區同學們最喜愛的“棒棒糖”樹樹冠投影的面積為情景鋪設，引起學生的好奇心，激發學習興趣和愛校情懷。在分析講解定積分定義的四個主要步驟中穿插了“中國故事”，以增強同學們的民族自豪感和愛國情感，同時分享了在“分割”和“求和”的過程中所蘊含的 “化整為零”和“集零為整”的哲理思想及解決問題的方法，在“近似”和“取極限”的過程中蘊含著“以不變應萬變”的道家處變不驚的處世哲學和“精益求精”的工作學習態度。通過和學生分享和總結定積分的思想和方法，使學生對定積分的概念更加深入地理解，同時塑造了學生正確的“三觀”。最后，通過結合數學建模的思想，展示了如何利用定積分的定義和幾何意義給出了“棒棒糖”樹樹冠的投影面積表達式的數學建模過程。這樣讓學生感受到的是數學知識的實用性，而不再是晦澀難懂的公式。在這一堂課程中，我們在學習定積分的過程中融入了思政元素，起到了塑造學生情感的效果。即便如此，課程思政無處不在，卻又法無定法，還需大家共同努力，才能夠真正達到“全程育人、全方位育人”的目的。