一種用于非線性憶阻模型的通用窗函數特性研究

楊寧寧,何佳婧,吳朝俊,王 鵬

(1.西安理工大學 電氣工程學院,陜西 西安 710048;2.西安工程大學 電子信息學院,陜西 西安 710048;3.西京醫院 兒科,陜西 西安 710032)

除電阻、電容和電感外,憶阻器是第四種無源基本電路元件,反映了電荷-磁通間的相互作用。蔡少棠教授基于電路基本變量組合的完備性原理提出了這一概念,并進一步討論了其基本特征和應用[1-2]。但直到2008年,惠普(HP)公司實驗室的Strukov 等才在《Nature》 上首次報道了憶阻器的實現性[3],研制出了納米級的憶阻器件。至此,國內外各個領域掀起了對憶阻器的研究浪潮,并在短短幾年之內取得了豐碩的成果。

憶阻器作為一種新型納米級元件,可被廣泛應用于非易失性存儲器、數字邏輯電路和人工神經網絡領域等[4-6],尤其是在人工神經網絡方面,它所具有的低功耗、納米級、易于集成、記憶特性和CMOS 工藝兼容性等優異性能,為實現存算一體的神經網絡硬件系統提供無限可能,因此,對憶阻器的特性研究顯得極為重要。由于實物憶阻器在材料、制備工藝等方面要求嚴格,目前還沒有實現大規模的量產,故建立合適的、精確的憶阻模型成為憶阻器相關研究的重要基礎。力求更加符合實物憶阻器的情況,越來越多的學者正在研究憶阻器的特性,建立各種憶阻器模型,不斷完善憶阻器研究。

HP TiO2線性雜質漂移憶阻模型[3,7-8]和HP TiO2非線性窗函數憶阻模型[9-14]作為所有物理器件模型中研究最為廣泛的模型,均由HP 實驗室[3]提出。該實驗室提出的線性雜質漂移模型只建立了一個相對簡單的數學關系,該模型表明,在憶阻器元件的整個長度范圍內,憶阻摻雜區和未摻雜區分界面的離子漂移速度是恒定的。然而,由于該模型忽略了憶阻器的邊界效應,一些特性無法準確反映。因此在文獻[10-14]中,研究者們通過加入窗函數的方法來解決該問題,這種建模類型也被稱為非線性憶阻建模。Joglekar 等[10]提出的窗函數雖然解決了邊界效應的問題,但又出現了一個新的問題: 邊界鎖定。因此,Biolek 等[11]建立的窗函數通過考慮流經憶阻的電流i這一變量,解決了上述問題,但由于該模型中的參數僅能取到正整數,這又導致其窗函數的可調適應范圍受限。Prodromakis 等[12]通過引入一個新的控制參數提高了Biolek 窗函數的靈活性,但忽略了邊界鎖定問題。Zha 等[13]重新將電流參數考慮進去,解決邊界鎖定問題,同時保留Prodromakis 窗函數的主要優點。Wen 等[14]提出了一個泛化的窗函數,并給出了更為一般的形式。

雖然研究者們已經提出了許多窗函數模型,但上述模型還存在一個共同的問題: 窗函數所能提供的曲線類型較為單一,其變化速率均為先慢后快,這就不能很好地模擬各種實物憶阻器的數據。由于真實的憶阻設備的特性曲線是多種多樣的,所以需要一個更加靈活、可調范圍更廣且具有一般性的窗函數模型,以此來提高擬合精度。

為了解決上述窗函數中存在的問題,本文提出了一種改進型窗函數模型,它對幾個經典的窗口函數功能進行了優化和統一。同時考慮了非線性影響,克服了邊界效應及邊界鎖定問題,特別地,提出的窗函數可以得到兩種不同變化趨勢的速率曲線,具有更加廣泛的調整范圍,使其可以對真實憶阻器進行更為精細的擬合。本文的工作為憶阻器的模型研究及應用提供了理論基礎。

1 HP 線性憶阻模型

憶阻器是根據磁通量變化與電荷變化的比值[1]來定義的,它可以表示為:

式中:M為憶阻器的阻值,它具有和電阻相同的量綱,其值等于憶阻器兩端電壓與流經憶阻器的電流的比值。電流控制的憶阻器定義為[2]:

式中:v是憶阻器兩端的電壓;i是通過憶阻器的電流;M(t)是瞬時電阻值;x(t)是設備的內部狀態變量。

圖1 為HP 實驗室給出的基于氧空位遷移的憶阻模型示意圖[3],它是由一個夾在兩個金屬鉑電極間的TiO2半導體薄膜組成。

如圖1 所示,兩邊黑色部分為金屬電極,中間部分為TiO2薄膜,總厚度是D。該薄膜由左邊電導率高的高濃度摻雜區(Doped)和右邊電導率低的未摻雜區(Undoped)組成,兩部分的厚度分別為w、D-w。當在憶阻器的兩個端口施加電壓(電流)時,氧空位漂移,引起摻雜區寬度的變化。

圖1 HP TiO2憶阻器模型Fig.1 HP TiO2 memristor model

總電阻可以等效為兩個串聯部分的電阻之和,故總體上的憶阻值可以表示為:

式中:w為摻雜區寬度;Ron和Roff分別為w=D和w=0時的電阻值。

由圖1 中的模型可以發現,憶阻器件上流過的電流i(t)與摻雜區w的變化率呈線性關系,因此可以表示為:

式中:x為摻雜區域的歸一化寬度;μv為平均氧離子遷移率。

HP 線性憶阻器的數學模型極為簡單,得到了廣泛應用,但也正因為在建立模型時的種種簡化,導致其具有一定局限性。從式(5)中不難看出,在理想的憶阻器模型中,離子漂移呈線性特征。但由于實際憶阻器是納米級別,在電壓作用下容易受到電場力的作用,故離子漂移速度并非一成不變,而是呈現一個非線性變化狀態,且這種行為在憶阻器的邊界會更加明顯,即當摻雜區和未摻雜區間的分界面趨于憶阻器件邊緣(w=D或w=0)時,離子移動速率應為零。這種現象也被稱為邊界效應。因此,為了更好地模擬憶阻器的真實變化情況,引入一個窗函數,實現非線性建模是很有必要的。

2 不同窗函數介紹

正如前面所提到的,通過采用對分界面漂移速度加窗函數的方法來解決邊界效應問題。在式(5)右側乘以一個窗函數,得到HP TiO2非線性窗函數模型,即:

Joglekar 等[10]提出的窗函數可表示為:

式中:p是一個正整數,x∈(0,1)。當分界面移動到憶阻設備邊緣時,f(x)=0,即dx/dt=0,離子漂移速度為零,克服了邊界效應的缺點。此外,當p→∞時,該模型等效為一個理想的線性模型。但窗函數(8)會導致末端狀態問題,即當憶阻的摻雜區和非摻雜區的分界面漂移到邊界點(w=0 或w=D)后將永遠保持既有狀態,即使再給反向激勵也無法改變憶阻器的阻值[15]。

為了避免邊界鎖定問題,除了變量x和p,Biolek還將流經憶阻設備的電流i這一變量考慮進來,構建了如下窗函數[11]:

式中:p是一個正整數,x∈(0,1),stp(i)=。雖然Biolek 窗函數可以保證當邊界面漂移到憶阻器件的某一端時,憶阻器仍然正常工作,但式(9)中p只能取正整數,且缺少一個控制振幅的參數,所以它的可伸縮性受到一定限制。

為了提高靈活性,Prodromakis 等[12]提出了以下窗函數:

式中:p為正實數;j為引入的新控制參數,通過改變參數j來調整f(x)的幅度。但它忽略了電流i這一變量,故仍然存在邊界鎖定問題。

Zha 等結合了窗函數Biolek 和Prodromakis 的優點,提出了另一個窗函數[13]:

式中:p為正實數;j為控制參數。該窗函數克服了邊界鎖定問題,在靈活性方面也有一定優化。

從上述分析中可以看出,邊界效應、末端狀態問題、靈活性、非線性影響等是在構建一個窗函數時需要考慮的基本因素。同時上述所提到的窗函數都存在一個缺點,即其曲線變化速率是單一的,均為先慢后快。因此,它們不能夠滿足實際憶阻設備所具有的多樣化特性曲線,調整范圍受到限制,導致其擬合精度稍顯不足。

3 改進后的窗函數

Prodromakis 等給出了任意窗函數應滿足的基本條件[12]:

(a)考慮邊界條件,即分界面的運動區間位于[0,D] 之間;

(b)分界面在接近憶阻器邊緣時,離子漂移速度呈現明顯非線性;

(c)可擴展性,例如f(x)max可以取到[0,1] 中的任意值;

(d)靈活性強,可以利用內置控制參數調整模型;

(e)提供線性和非線性雜質漂移模型之間的連接;

(f)可避免邊界鎖定問題。

本文提出了一種一般化的窗口函數,以解決上一節中所提到的現有窗函數存在的問題,其表示為:

式中:p為正實數;j為控制參數;α和β為新引進的兩個擬合參數,α取[0,1] 中的任意實數,β取正實數。

從式(12)中不難發現,當選取特定參數時,可以得到上文中提到的幾個經典模型,其具體聯系如表1所示。

表1 經典窗函數模型的參數選擇Tab.1 Parameter selection of classical window function model

通過設置不同的參數,Biolek 和Zha 窗函數模型成為該改進窗函數的特殊形式,同時α和β這兩個參數的引進,也使得該模型在參數選擇上范圍更加廣泛,普遍適應性更強。

3.1 仿真與分析

本文采用MATLAB &Simulink 數值仿真的方法驗證新窗口函數的特性,其參數設置為Ron=100 Ω,Roff=16 kΩ,μv=10-14m2·(s·V)-1,D=10 nm。圖2 為f(x)曲線變化示意圖,當i>0 和i<0時,可以得到兩條不同曲線來分別描述Roff→Ron和Ron→Roff的變化過程。當j=1,α=1時,f(x)max=1。

圖2 f(x)曲線變化示意圖Fig.2 Schematic diagram of f(x) curves change

(a)解決邊界效應

設置參數j=1,p=5,α=1,β=4,在憶阻器兩端施加一個高振幅正弦電壓(v(t)=5sin(2πt))觸發硬開關。從圖3 中可以看到,狀態變量x在[0,1] 中變化,即分界面漂移區間位于[0,D] 之間,同時憶阻值M被限制在[Ron,Roff]間,意味著該模型沒有邊界效應問題。此外,當憶阻值為Ron時,x正好為最大值1;當憶阻值為Roff時,x正好為最小值0,這與之前所說的摻雜區寬度w越大,阻值越小;w越小,阻值越大的特性相符。

圖3 在高振幅輸入激勵下憶阻值M 和狀態變量x 的變化Fig.3 Variation of memristance M and state variable x with a high amplitude input voltage

(b)非線性雜質漂移特性

給憶阻器模型施加一個v(t)=sin(2πt)的正弦電壓,可以得到i-v曲線是一條緊磁滯回線,當分界面漂移到模型任意邊緣時,會呈現高度非線性。繼續觀察圖4 會發現,當其他參數一定時,α越大,β越大,其非線性程度越明顯。

圖4 不同參數下的i-v 曲線Fig.4 The i-v curves with different parameters

(c)可擴展性和靈活性

圖5 展示了四種常見窗函數曲線隨參數p的變化圖,其中將Prodromakis 和Zha 窗函數中的控制參數j固定為1。特別地,Biolek 和Zha 窗函數考慮了變量電流i,如圖所示,用實線和虛線分別表示i>0 和i<0 時曲線的變化趨勢,當邊界面移動到接近憶阻器件的一端時,電流改變方向,邊界會與另一條曲線延伸,實現兩個端點處的互通。

圖5 不同p 值下幾種經典窗函數的曲線變化圖。(a) Joglekar 窗函數;(b) Biolek 窗函數;(c) Prodromakis 窗函數;(d) Zha 窗函數Fig.5 Curves of several classical window functions with different p.(a) Joglekar window function;(b) Biolek window function;(c) Prodromakis window function;(d) Zha window function

固定j=1 和p=1,觀察當新引進的參數α和β變化時,其對所提出的窗函數曲線變化速率的影響情況。如圖6 和圖7 所示,相較于圖5 中窗函數曲線單一的變化趨勢(曲線速率均為先慢后快),新的窗口函數曲線變化類型更加豐富,表現出了更大的靈活性和更強的適應性,這使得在擬合變化多樣的實物憶阻器特性曲線時,結果更為精確。具體地,當α=1時,得到兩種速率的漂移曲線(圖6),其中β>1,該曲線變化速率是先快后慢,直到邊界時變為0;β<1,其變化速率是先慢后快。當β=0.5,β=2時,不同的α取值對曲線變化情況的影響如圖7,依然可以得到兩種不同速率的漂移曲線。

圖6 α=1, β 取不同值時新窗函數曲線變化圖。(a) β<1;(b) β>1Fig.6 The curve change diagrams of the proposed window function with α=1 and β varying.(a) β<1;(b) β>1

圖7 α 取不同值時新窗函數曲線變化圖。(a) β=0.5;(b) β=2Fig.7 The curve change diagrams of the proposed window function with different α.(a) β=0.5;(b) β=2

在實際電路中,會遇到一些特殊情況[16]需要f(x)max>1,此時可以通過調整參數j的值來實現。從圖8 中可以看到,在j的變化下,窗函數曲線范圍可以向上或向下進行縮放,得到不同尺度范圍的漂移曲線,間接實現了調整曲線速率的目的,也便于對模型進行修改。

圖8 j 取不同值時新窗函數曲線變化圖Fig.8 The curve change diagram of the proposed window function with different j

(d)線性和非線性摻雜漂移模型之間的轉換

從公式(12)和圖6 中可以看出,參數p和β取值越大,f(x)值越接近1,當p和β趨于無窮時,可以近似認為f(x)=1,此時非線性憶阻模型就變為線性模型,也就實現了線性和非線性摻雜漂移模型之間的轉換。

(e)克服邊界鎖定問題

新窗函數考慮了電流i的影響,因此當摻雜區與非摻雜區的分界面達到憶阻設備的邊緣時,施加反向電流可以驅使分界面朝相反方向運動。當向憶阻器的兩端施加足夠的正脈沖時,如圖9 所示,狀態變量x逐漸增大至1,然后保持不變,直到出現反向脈沖;當電壓變為負值時,x從1 逐漸下降至0,因此表明新的窗函數可以有效解決邊界鎖定問題。

圖9 狀態變量x 隨輸入電壓的變化Fig.9 Variation of the state variable x with the input voltage

(f)頻率依賴性

在憶阻器兩端施加幅值為2 V,頻率分別為5,25和50 Hz 的正弦交流電,i-v特性曲線如圖10 所示,由電流-電壓構成的緊磁滯回線面積隨頻率的增加而減小,并且當頻率f→∞時,i-v特性曲線會收縮成一條直線,此變化也表明了該窗函數對憶阻器的滯后特性并沒有影響。

圖10 在不同頻率下的i-v 特性曲線Fig.10 The i-v curves at different frequencies

3.2 各窗函數的性能對比

為了清楚地展示本文提出的窗函數的優點,將其與其他窗函數性能進行比較,如表2 所示。從表中及以上討論中可以看到,本文提出的一般化窗函數首先可以滿足文獻[12]中說到的所有基本條件,其次相對于其他窗函數來說,在靈活性和可調范圍上有了較大提高,使得其可以更加精細地擬合實驗憶阻數據,構建更加符合真實設備的憶阻模型。

表2 不同窗口函數的性能比較Tab.2 Performance comparison of different window functions

4 結論

本文提出了一種新的憶阻模型,經過仿真對比分析,表明所提出的窗口函數是有效和準確的。它能很好地解決邊界效應、邊界鎖定等問題,并且邊緣處的非線性漂移、線性與非線性雜質漂移模型之間的轉換、可拓展等功能也得以實現。其次新的窗函數是一個一般化的函數,可以對幾個窗函數的功能進行統一。更為重要的是,α和β這兩個控制參數的引進,使得模型的靈活性大大提高。相較于文獻[10-13]中的窗函數只能提供一種單一的速率曲線,本文提出的窗函數可以得到兩種不同變化趨勢的速率曲線,面對多樣化的實物憶阻器特性曲線,這一顯著的改進可以提高對憶阻器件的擬合精度,這也為之后將憶阻器應用于實際電路及更廣泛的動力學系統提供了理論基礎。