同構(gòu)法在解析幾何中的應(yīng)用舉例*

福建省莆田第一中學(xué) 林 敏

在解析幾何的相關(guān)問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)形式類似、變量不同的方程，如果只關(guān)注單一方程的求解，運(yùn)算將會(huì)變得較為冗長(zhǎng)而復(fù)雜，這時(shí)我們不妨采用同構(gòu)的思想，將形式相同的方程統(tǒng)一起來(lái)，從整體上分析他們所體現(xiàn)的規(guī)律，再根據(jù)其規(guī)律尋找運(yùn)算結(jié)果，化繁為簡(jiǎn)，獲得較為簡(jiǎn)潔的代數(shù)結(jié)果，對(duì)應(yīng)更為直接的幾何規(guī)律.

當(dāng)今的教育改革之下，教育的目標(biāo)直指素養(yǎng)的形成，需學(xué)生明確重要的基礎(chǔ)知識(shí)，理解最簡(jiǎn)潔核心的數(shù)學(xué)原理，形成最切實(shí)有效的數(shù)學(xué)思想.這就需要教育者引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力，透過(guò)現(xiàn)象探求本質(zhì)，學(xué)會(huì)思考和分析.

1 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的切線的相關(guān)問(wèn)題

分析：題目中給出的條件為過(guò)D作C的兩條切線，解決問(wèn)題的一條思維路徑是設(shè)出過(guò)點(diǎn)D的直線方程，利用直線和拋物線相切的位置關(guān)系，得到A，B兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的表示，然后獲得直線AB的方程，這樣就能夠根據(jù)方程的形式得出所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).但是直接表示出來(lái)還是較為復(fù)雜的，所以應(yīng)當(dāng)注意變量之間的關(guān)系，利用同構(gòu)形式巧妙解決問(wèn)題.第二條思維路徑是從切點(diǎn)入手，表示出該點(diǎn)處的切線的方程，兩條切線都過(guò)同一個(gè)點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)適合兩條直線的方程，利用解與方程關(guān)系的轉(zhuǎn)化獲取直線AB的方程，進(jìn)而得到定點(diǎn)坐標(biāo).

解析1側(cè)重使用切線的斜率進(jìn)行運(yùn)算，找出斜率滿足的方程，“設(shè)而不求”，從同構(gòu)的角度，獲得了兩斜率滿足的關(guān)系式，表示出目標(biāo)直線的方程，進(jìn)而得到直線所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo).該題中由于此拋物線可看作函數(shù)的圖象，所以可借助于函數(shù)求導(dǎo)來(lái)解決相關(guān)切線的問(wèn)題，再利用同構(gòu)即可解決問(wèn)題．

解析2也可以從切點(diǎn)入手，先利用導(dǎo)數(shù)得到曲線在點(diǎn)A和B處的切線方程，然后將點(diǎn)D代入兩切線方程之中，得到上面的兩個(gè)式子，再利用方程與解的關(guān)系轉(zhuǎn)換為直線AB的方程形式.利用這種同構(gòu)的想法，可以快速得到曲線的切割線方程，解法簡(jiǎn)潔明了．

規(guī)律總結(jié)：根據(jù)上面同構(gòu)的想法，可以總結(jié)出圓錐曲線的切割線的統(tǒng)一結(jié)論，它們都是數(shù)學(xué)中形式對(duì)稱而優(yōu)美的式子，比如對(duì)于拋物線y2=2px(p>0)，過(guò)點(diǎn)(x0,y0)作它的兩條切線，切點(diǎn)所在直線的方程即為y0y=px+px0，可以看作把點(diǎn)的坐標(biāo)融入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程從而得到切割線的方程，給人以美的感受.當(dāng)然，對(duì)于橢圓和雙曲線，也有對(duì)應(yīng)的結(jié)論，這里就不再贅述了．

熟練應(yīng)用：

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓外一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程．

分析：本題也涉及到圓錐曲線的切線問(wèn)題，且需由切線垂直推導(dǎo)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，解題思路和上題類似，先探尋切線斜率滿足的關(guān)系式，再根據(jù)垂直關(guān)系獲得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程．

(Ⅱ)①先考慮特殊位置，即兩切線一條斜率為0，另一條斜率不存在時(shí)，P的坐標(biāo)為(±3,±2).

②一般情形下，切線斜率都存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的直線方程為y-y0=k(x-x0)，與橢圓方程聯(lián)立消y，得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0.

綜上可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13．

2 利用同構(gòu)解決圓錐曲線的內(nèi)接三角形相關(guān)問(wèn)題

例2(2021全國(guó)甲卷理第20題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l:x=1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切．

(Ⅰ)求C，⊙M的方程；

(Ⅱ)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

分析：本題中涉及到拋物線內(nèi)接三角形共內(nèi)切圓的證明，由于在拋物線上取了三個(gè)點(diǎn)，所以涉及到的變量比較多，此時(shí)一定要抓住主變量和從變量，利用地位平等的變量滿足關(guān)系的同構(gòu)形式去解決問(wèn)題．

解析：(Ⅰ)拋物線C的方程為y2=x；⊙M的方程為(x-2)2+y2=1.

在本題的解決過(guò)程中，抓住坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系，注重運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的同構(gòu)形式，充分利用同構(gòu)，將解與方程進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化利用，最終比較簡(jiǎn)潔地處理了問(wèn)題，又能夠給人以對(duì)稱整齊的感受，可謂數(shù)學(xué)的精妙所在.所以，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中一定要注意觀察，總結(jié)規(guī)律，不可一味地陷入盲目的復(fù)雜運(yùn)算中無(wú)法自拔，一定要多從思維的深刻性上下功夫，才能達(dá)到學(xué)精的目的．

熟練應(yīng)用：

圖1

(Ⅰ)求圓G的半徑r；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：直線EF與圓G相切．

分析：與例2類似，圓固定，點(diǎn)動(dòng)，證明相切的位置關(guān)系，但是情境由拋物線變?yōu)闄E圓之后，運(yùn)算上會(huì)稍復(fù)雜，可以嘗試完成該題．

3 利用同構(gòu)解決圓錐曲線有關(guān)參數(shù)的問(wèn)題

圖2

例3如圖2所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O1、圓O2都與直線l:y=kx及x軸正半軸相切，若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個(gè)交點(diǎn)為P(2,2)，求直線l的方程.

分析：題中給出兩個(gè)圓的半徑之積，參考韋達(dá)定理，考慮半徑之和，則需構(gòu)造兩半徑滿足的方程，即找出r1與r2的某種統(tǒng)一之處，體現(xiàn)圖形的對(duì)稱性與方程形式上的統(tǒng)一．

反思：兩圓交于同一定點(diǎn)，且結(jié)構(gòu)相似，圓的方程是二次結(jié)構(gòu)，將定點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩圓的方程，統(tǒng)一起來(lái)即得同一方程的兩根即為兩個(gè)變量，也就是這其中蘊(yùn)含著兩個(gè)變量間完整的關(guān)系.若作差得到兩圓公共弦所在的直線方程，則破壞了圓方程的結(jié)構(gòu)，將定點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程也只是得到一個(gè)孤立的式子，不能全面反映所需信息，導(dǎo)致此題無(wú)法繼續(xù)求解，而利用同構(gòu)式則可柳暗花明.

同構(gòu)的思想是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種參考和媒介，學(xué)生對(duì)同構(gòu)的認(rèn)知與應(yīng)用反應(yīng)出學(xué)生能否用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，能否用數(shù)學(xué)的方法去解決遇到的問(wèn)題，是素養(yǎng)的體現(xiàn).當(dāng)然本文只是同構(gòu)法在一個(gè)方面的呈現(xiàn)，更多同構(gòu)的應(yīng)用還有待挖掘.