基于多任務差分進化的飛行器近似優化方法

陳 晅，朱華光，龍 騰，葉年輝，史人赫

（1. 北京理工大學，北京，100081；2. 北京宇航系統工程研究所，北京，100076）

0 引 言

作為一類復雜的系統工程，飛行器設計過程中通常需要針對不同工況及任務需求進行系統方案優化，且不同優化任務之間往往存在一定的相關性與相似性（例如，不同工況下的最優氣動外形設計）。為了實現相似優化任務的高效協同求解，多任務優化的概念應運而生[1]，核心思想是利用相似任務間的優化知識遷移對多個優化任務同時求解。近年來，國內外學者針對多任務優化理論與方法開展了廣泛研究[2～4]。

隨著數值計算技術和計算機仿真技術的發展，計算流體力學、有限元分析等高精度建模方法在飛行器設計優化中得到廣泛應用。為了降低高耗時仿真模型分析成本，代理模型方法在工程設計領域得到了廣泛應用[5]。近年來，基于代理模型的進化算法（Surrogate Assisted Evolution Algorithm，SAEA）[6～8]成為了工程優化領域的研究熱點。在國內外研究方面，Long等[9]提出了一種基于知識遷移抽樣的代理模型輔助差分進化算法，通過序列遷移優化高效求解新優化任務。然而，如何實現飛行器不同優化設計任務的協同高效求解，仍是當前飛行器設計優化理論研究與工程實踐中需要解決的重要問題。

為提高多個相似飛行器優化設計任務的綜合優化性能并降低優化總成本，提出一種基于多任務差分進化的近似優化方法（Multitasking Differential Evolution Based Approximation Optimization Method，MTDE-AOM），并通過標準數值測試和翼型多任務優化工程案例對MTDE-AOM的優化性能進行驗證。

1 徑向基函數方法介紹

徑向基函數（Radial Basis Function，RBF）是一種插值型代理模型，該代理模型方法可表示為徑向函數線性加權形式[10]：

式中φ（·）為核函數。采用逆多二次函數作為RBF核函數；w為權重系數矢量，可以由下式求解得到[11]

式中ns為構造代理模型的樣本規模。

2 MTDE-AOM介紹

2.1 飛行器多任務優化問題建模

飛行器多任務優化問題數學模型如式（3）所示：

式中x(i)為第i個任務的設計變量；nv為設計變量維度；fi為第i個優化任務的目標函數；與分別為第i個任務的設計變量下界和上界；為第i個任務的第j個約束函數；為第i個任務的約束函數的數量nT為優化任務數量。對于約束優化問題，采用罰函數法構建增廣目標函數，將其轉換為無約束問題進行求解。

2.2 MTDE-AOM流程

MTDE-AOM算法流程如圖1所示，具體步驟如下。

圖1 MTDE-AOM方法流程 Fig.1 Flowchart of MTDE-AOM

a）初始參數設置，包括初始種群規模Np、最大迭代次數Gm、初始縮放因子F0、交叉概率CR；定義多任務優化問題，包括任務數量nT、問題維度nv，各優化任務目標函數、約束函數以及設計空間等。令當前進化代數G=1。

b）采用拉丁超方試驗設計方法在歸一化設計空間中獲取Np個初始樣本點xdata，計算初始樣本點xdata關于各任務的增廣目標函數值Fi(xdata)并添加到樣本數據庫中。

c）進化代數G=1時，將作為所有優化任務共享父代種群；當進化代數G≥2時，將更新后的子代種群作為新父代種群。其中，父代個體xj可表示為對共享父代種群進行變異和交叉操作[11,12]。

1）對于父代個體jx，通過變異操作生成變異個體vj，vj可以表示為從而獲得變異種群采用Rand/1變異策略實現變異操作。此外，使用自適應縮放因子更新方法[13]在優化過程中動態調節縮放因子大小，具體如式（4）所示：

式中F0是初始縮放因子；Gm是最大迭代次數；G是當前進化代數。

2）對種群個體xj和vj進行交叉操作生成試驗個體并獲得試驗種群

d）使用樣本數據庫中所有樣本構造各任務增廣目標函數的RBF代理模型并預測試驗種群個體各任務的響應值

e）使種群個體針對每個任務分別進行選擇 操作[12,13]，經選擇后獲得nT個子代種群每個子代種群個體數為Np，第i個優化任務的子代種群可以表示為

f）對式（3）中的目標函數與約束函數構造RBF代理模型，并采用序列二次規劃算法求解，將獲得的各優化任務局部最優解添加到子代種群中。

g）采用多任務樣本遷移機制，即通過聚類分析獲取各優化任務優質子代個體，共同組成下次迭代共享父代種群，具體如下：

1）使用k-means算法對當前子代種群xgen進行聚類，對于第i個優化任務的種群，聚類個數為Np/nT個。將該類別個體中的最優個體表示為

式中表示第i個優化任務對應的子代種群經過聚類操作以后的第m個類別的所有個體；表示該類別的個體數量；表示第i個優化任務第m個類別的最優個體。本步驟中，通過聚類分析篩選出各優化任務優質子代個體。

2）保留第i個優化任務每個類別的最優個體，并將其加入該優化任務的新子代種群中，將Tn個優化任務的子代種群合并，組成個體總數為pN的新子代種群，并更新樣本庫。

h）判斷是否達到最大種群進化代數，若沒有達到，令G=G+1,返回步驟c；否則，優化過程結束，輸出各優化任務的最優解。

3 標準數值測試算例

為了驗證MTDE-AOM算法的多任務優化性能，選取了文獻[9]中6個標準數值測試算例，與標準多任務差分進化算法（Multitasking Differential Evolution，MTDE）[4]及標準差分進化算法（Differential Evolution，DE）[11]進行對比，對MTDE-AOM的收斂性和優化效率進行驗證。

3.1 算例描述與參數設置

MTDE-AOM算法的參數設置如表1所示，MTDE算法各參數與MTDE-AOM保持一致，DE算法的種群規模為 2Np，其余參數與表1一致。各算法分別對各算例連續優化20次，統計優化結果中可行解的最優解、均值、最差解、標準差進行對比。

表1 MTDE-AOM算法參數設置 Tab.1 Parameter Configuration of MTDE-AOM

對于約束優化算例，MTDE-AOM、MTDE和DE算法參數設置與表1一致，最大模型調用次數設為

3.2 優化結果及分析

各優化算法的優化結果對比如表2所示，各算法的平均模型調用次數如表3所示。優化結果表明，對于SC問題，3種優化算法均能夠收斂至各優化任務的最優解附近。隨著優化問題維度增加，MTDE與DE算法的全局收斂性變差。以EP20優化問題為例，對于優化任務1，MTDE-AOM優化結果最優性與MTDE、DE算法相比分別提升50.21%和97.37%；對于優化任務2，MTDE-AOM的優化結果最優性分別提升12.31%和95.91%。由MTDE與DE算法對比結果可知，采用多任務樣本遷移機制能夠加快進化種群優化收斂。在優化效率方面，相比于MTDE方法，MTDE-AOM由于引入了RBF代理模型做近似優化，有效降低了真實模型調用次數，其平均計算成本降低了25.40%～41.23%。對于G09約束問題，相比于MTDE，在模型調動次數基本相同的情況下，最優性分別提升7.95%和10.36%，相比于DE，最優性提升7.30%和14.63%。

表2 MTDE-AOM、MTDE和DE標準算例優化結果對比 Tab.2 Comparison of MTDE-AOM, MTDE, and DE on Numerical Benchmarks

表3 平均模型調用次數對比 Tab.3 Comparison of Average Number of Function Evaluations of Benchmarks

4 翼型多任務優化工程案例

4.1 翼型多任務優化問題

為進一步驗證提出的MTDE-AOM的工程實用性，將該方法應用于翼型氣動多任務優化問題[9,14]。對多種工況下的不同基準翼型進行優化，改善翼型的升阻力特性，優化模型如式（7）所示：

式中C lCd為翼型升阻比；tmax為翼型的最大相對厚度；t0與Cd0分別為基準翼型的最大相對厚度與阻力系數。各優化任務的設計工況與基準翼型如表4所示。

表4 設計工況與基準翼型表 Tab.4 Design Conditions and Benchmark Airfoils

4.2 優化結果對比分析

采用MTDE-AOM和DE算法求解式（7）所示翼型氣動多任務優化問題，最大模型調用次數 NFEmax均設置為1500。

表5給出了在兩個工況下使用MTDE-AOM和DE兩種算法優化前后翼型的參數對比。圖2給出了優化前后翼型外形的對比，各優化任務優化后的翼型升阻比分別提升了102.26%和10.27%，對于任務1，與初始翼型相比，優化翼型最大厚度略有降低，上翼面中部變平，減小阻力，下翼面后部內凹程度變大，因此有效地提升了翼型升力。對于任務2，翼型整體向上隆起，下翼面向內凹陷，因此優化后翼型彎度變大，從而有效提升了亞聲速翼型升力。

表5 翼型優化結果 Tab.5 Result of Airfoil Optimization

圖2 翼型優化前后對比 Fig.2 Comparison of Initial and Optimized Airfoils

5 結束語

為提升相似的飛行器系統優化任務求解性能，定制一種多任務樣本遷移機制，從而利用進化過程中各優化任務的優質個體信息，實現多個相似設計優化任務協同優化。優化結果表明，MTDE-AOM算法與MTDE、DE算法相比，在全局收斂性、計算效率以及魯棒性等方面具有優勢。未來將提出的算法應用到飛行器裝備系統技術指標多任務優化工程實踐。