基于觀測器的飛行器魯棒故障診斷與容錯控制方法

彭 宇，林瑞仕，高曉穎，屈玉苗，白 駿

（北京航天自動控制研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著現代工業控制系統的復雜性與集成度日益提高，可靠性和安全性成為衡量系統性能的重要指標，因此對于容錯控制的研究具有深遠的現實意義。容錯控制是建立在故障檢測和估計的基礎上，附加控制律以確保系統的穩定性。近二十年來，基于觀測器的故障估計和容錯控制一直受到廣泛的關注，并已成功應用到一些實際系統中[1～5]。

自適應故障估計觀測器具有能夠將狀態信息和故障信息同時估計出來的優點，適用于多數實際系統狀態變量不完全可測的情況。近年來，學者針對該領域進行了深入的研究[6～13]，文獻[7]引入適當的坐標變換，有效放松了系統嚴格正實（SPR）條件，拓寬了自適應故障估計觀測器的適用范圍，并通過提出一種比例加積分的故障估計算法提高了故障估計的準確性和快速性，但是在動態系統的建模中沒有考慮未知輸入擾動的影響。文獻[8]設計的故障估計觀測器抑制了干擾對系統的影響，具有良好的魯棒性，但是在定義Lyapunov函數時選取了特殊的Lyapunov矩陣，造成了系統信息的缺失，具有一定的保守性，降低了故障估計的準確性。文獻[9]提到了基于故障估計觀測器的狀態反饋容錯控制器設計，依據魯棒H∞控制理論構造LMI約束抑制干擾向量對系統性能的影響，但是在求解LMI時忽略了變量之間的關系，無法得到正確的狀態反饋矩陣K，所以文獻[9]轉而設計了動態輸出反饋容錯控制器來確保系統的穩定性。

針對上述分析，本文在自適應故障估計算法的基礎上，將狀態估計誤差和故障估計誤差組成增廣系統，并構造LMI約束抑制干擾對觀測器設計的影響。在故障估計的基礎上進一步設計了狀態反饋容錯控制器，采用Lyapunov穩定性理論證明了系統的穩定性。最后通過仿真實驗驗證了所提出方法的有效性。

1 系統描述

考慮有未知輸入擾動及故障模式下的線性時不變（LTI）動態系統，其狀態空間描述如下：

式中x（t），u（t）分別為狀態向量、控制輸入向量，x（t） ∈Rn，u（t） ∈Rm；y（t）為量測輸出向量，y（t） ∈Rp；d（t） ∈Rd為未知輸入擾動向量（包括外界干擾和系統內部噪聲），d（t） ∈Rd且為L2范數有界即d（t） ∈L2［ 0 ,T）；f（t）為系統故障向量，f（t） ∈Rr；A，B，C，D，E均為適當維數已知確定矩陣，B，E均是列滿秩矩陣。

為了檢測和估計故障，對系統式（1）、式（2）構造相應的全階故障估計觀測器如下：

根據式（1）式（4）作如下定義：

則可得到誤差動態方程如下：

式中ex（t）為狀態估計誤差，ex（t） ∈Rn；ey（t）為輸出估計誤差，ey（t） ∈Rp；ef（t）為故障估計誤差，ef（t）∈Rr。

2 自適應增廣故障估計觀測器的設計

定義故障估計對時間的導數如下：

式中R為待設計的增益矩陣。

注1：從式（10）可知，故障估計的導數（t）即估計故障的變化趨勢由故障估計本身（t）和系統輸出估計誤差ey（t）組成，具有自適應調節的功能。

本文考慮的是時變故障，即（t）≠0，則故障估計誤差對時間的導數如下：

將式（8）和式（11）組成一個增廣系統：

由式（12）可知，除了待設計的增益矩陣L和R以外，其他系數矩陣均為已知確定的。因此，故障估計觀測器的設計問題可以描述為：設計最優的觀測器增益矩陣使得增廣誤差系統式（12）漸近穩定，并且使狀態估計誤差ex（t）和故障估計誤差ef（t）盡量達到最小。

注2：根據全維觀測器的漸近等價條件[14]可知，本節設計的增廣故障估計觀測器存在的充分必要條件為被觀測系統是可觀測的。

定理1：考慮系統式（12），對于給定的標量 0γ＞和α＞0，如果存在對稱正定矩陣和矩陣使得式（13）、式（14）成立，則增廣故障估計觀測器可使得狀態估計誤差和故障估計誤差以α穩定裕度指數收斂，并且滿足

證明：首先定義一個Lyapunov函數為

取其對時間的導數：

將式（16）代入式（18）可得：

由式（17）可知 0J＜即＜0Π，應用Schur補引理可得到式（13）成立。根據李亞普諾夫判據推廣形式即特征值分布理論[14]可得，若式（14）成立，狀態估計誤差和故障估計誤差是穩定的并以α穩定裕度指數收斂。

證畢

注3：在這里，假設故障及其對時間的導數均為L2范數有界即f（t）,（t） ∈L2［0,T），因此增廣向量組（t）為L2范數有界。從定理1可以看出，通過選取適當的標量γ，可以使得狀態估計誤差和故障估計誤差盡量達到最小。

注4：從文獻[8]中可以看出，傳統自適應故障估計觀測器設計方法中選取的Lyapunov函數為

從定理1的證明中可以看出，本文設計的算法將未知待求矩陣L和R組成一個增廣矩陣，誤差增廣系統式（12）中其他系數矩陣均為已知，使得Lyapunov矩陣可以作為一個整體代入計算，即選取的Lyapunov函數為

式中P11，P12，P22為中適當維數的子矩陣。這樣充分利用了系統信息，降低了設計的保守性。

注5：從式（14）可以看出，定理1利用α穩定裕度來改善狀態估計誤差和故障估計誤差的收斂速度。

通過定理1給出的算法可以求得自適應增廣故障估計觀測器增益矩陣L和R，從而同時得到系統狀態估計向量（t）和故障估計向量（t）。

3 容錯控制器的設計

本節將基于第2節獲得的系統狀態和故障的實時估計信息設計容錯控制器，使得系統在出現故障時仍可確保穩定性。考慮實際系統的狀態變量一般都是不可測的，因此容錯控制方法采用基于故障估計觀測器的反饋控制，而反饋控制通常分為狀態反饋控制和輸出反饋控制。

文獻[9]提到了基于故障估計觀測器的狀態反饋控制器設計，依據魯棒H∞控制理論構造LMI約束抑制干擾向量η（t）對系統性能的影響，但是在設計的LMI中同時出現了定義的新變量W=KP，K和P，使得在運用MATLAB中LMI工具箱求解的過程中將三者當作各自獨立的變量，忽視了W=KP，無法得到正確的狀態反饋矩陣K，因此給容錯控制器的設計帶來一定的困難。因此，文獻[9]設計了動態輸出反饋容錯控制器來確保系統的穩定性。

為了克服上述設計過程中的難點，本文運用一種新的構造LMI約束和變量處理方法，解決了基于故障估計觀測器的狀態反饋容錯控制器的設計問題。首先給出以下假設。

假設1：rank（B,E） =rank（B）。

由文獻[8]可知，假設1相當于存在一個矩陣B*∈Rm×n使得

式中K∈Rm×n為狀態反饋矩陣。

在這里，將式（20）代入式（1）可得：

將式（19）代入式（21）可得：

定理2：考慮系統式（22），對于一個給定的標量β＞0，如果存在對稱正定矩陣Q∈Rn×n和矩陣M∈Rn×n使得如下LMI成立，則基于故障估計觀測器的狀態反饋控制可使系統式（1）狀態魯棒穩定，并且滿足

式中ψ11=QA+ATQ-M-MT；M=QBK。

證明：首先定義一個Lyapunov函數為

取其對時間的導數：

將式（25）代入式（27）可得：

由式（26）可知J＜0即Ω＜ 0，應用Schur補引理可得到式（23）成立。因此系統式（1）狀態x（t）魯棒穩定，并且滿足

證畢

注6：從第2節可得到，狀態估計誤差ex（t）和故障估計誤差ef（t）是收斂的，即干擾向量η（t）為L2范數有界，所以通過選取適當的標量β，經過LMI約束可以最大限度的減小干擾向量η（t）對系統性能的影響。

注7：從式（23）可知，通過對LMI的求解可以得到兩個變量的值，即M和Q。根據定義式=M QBK可知：

在這里，由于B是列滿秩矩陣，B的左逆存在且唯一，即B+=（BTB）-1BT，所以在式（28）等號兩邊同時乘以B+，可得狀態反饋矩陣K=B+Q-1M。另外，由文獻[7]可知，式（20）中的B*可取為B+，即B*=B+。

4 仿真算例

考慮系統式（1）、式（2），給定系統參數如下：

本文考慮的是執行器故障，這類故障通常發生在控制輸入通道。在這里假設干擾分布矩陣為D=［0.01 0.01 0.01 0.01］T，則可以構造滿足式（12）中的增廣系數矩陣，和。通過計算可得，是可觀測的，滿足增廣故障估計觀測器存在的充分必要條件。

第2節中的算法分析及說明：根據定理1，設H∞性能指標γ=0.325和穩定裕度α=0.2，運用MATLAB中LMI工具箱的求解器feasp，可得滿足式（13）、 式（14）的解和，由可解得：

即自適應增廣故障估計觀測器增益矩陣為

第3節中的算法分析及說明：根據定理2，設H∞性能指標β=1.0001，求解LMI可得Q和M，然后通過式解得：

再將B*E=［ 0 .5787］代入式（20）即可得到基于故障估計觀測器的狀態反饋控制u（t）。

下面將通過對兩種故障類型的仿真分析闡述本文所提出算法的有效性。這里假設控制輸入u（t）是幅值為0.06的常值信號，未知輸入d（t）是功率為0.005，采樣時間為0.01 s的白噪聲信號。

a）突變性故障。

定義執行器發生的故障f（t）如下：

圖1給出了故障f（t）的估計曲線。圖2給出了有故障時系統在容錯控制作用下的輸出響應曲線。

圖1 故障估計曲線 Fig.1 Fault Estimation Curve

圖2 系統在容錯控制作用下的輸出響應曲線 Fig.2 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

b）漸變性故障。定義執行器發生的故障f（t）如下：

圖3給出了故障f（t）的估計曲線。圖4給出了有故障時系統在容錯控制作用下的輸出響應曲線。

圖3 故障估計曲線 Fig.3 Fault Estimation Curve

圖4 系統在容錯控制作用下的輸出響應 Fig.4 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

從以上仿真結果可以看出，本文設計的自適應增廣故障估計觀測器可以快速準確的估計時變故障，同時在出現故障時，設計的狀態反饋控制器可以使系統保持很好的穩定性。

5 結束語

本文基于自適應故障估計觀測器，將系統狀態估計誤差與故障估計誤差增廣成一個系統來求取觀測器增益，將狀態信息和故障信息同時估計出來，并利用故障估計信息附加控制律構造狀態反饋容錯控制系統。本文利用了魯棒H∞控制理論構造LMI約束以及新的變量處理方法，有效的解決了傳統自適應故障估計觀測器難于處理存在未知擾動的不確定性系統和無法準確、快速估計時變故障等問題。