具有輸入飽和的機車牽引傳動系統自適應跟蹤控制

劉芳璇，謝程程

(西安鐵路職業技術學院，陜西，西安 710028)

0 引言

在牽引工況下,機車電機產生的牽引動力通過減速齒輪傳至輪對,并利用輪軌黏著產生牽引力驅動機車。機車運行時,輪對踏面承受車體靜載荷和動態沖擊載荷致使負載折算后牽引電機轉子轉軸所受外部擾動影響增強,齒輪磨耗程度增加,影響牽引傳動的可靠性和電機的轉速控制精度,應通過削弱外部擾動提升電機的運行品質。

常見的削弱擾動的方法是針對擾動的類型合理設計觀測器,并結合控制器進一步降低觀測誤差對系統輸出的影響,最終使得系統閉環跟蹤誤差有界收斂。張剛[1]和丁穩房等[2]設計了添加比例——積分(PI)鎖相環的滑模觀測器,旨在消除高頻抖動。但該文對鎖相后擾動觀測結果缺乏分析,且采用PI控制無法確保跟蹤觀測實際擾動;牛綠原[3]和姜建國等[4]設計了基于Sigmoid函數的自適應模糊滑模觀測器,并將其引入電機轉速閉環用來估計轉速與轉子位置,但其模糊規則難以根據時變擾動隨時調整,致使轉速估計存在較大誤差。

實際工況中,電機的工作電壓受限于標準電壓。同時,為了避免電子元件過壓超載導致系統失控,應在控制器輸出端設置飽和控制器。飽和控制器雖能限制電壓幅值,而飽和非線性卻會導致控制量的輸出特性在飽和限幅以外的部分被截斷,只有飽和限幅以內的部分則不受影響[5]。此外，隨著對牽引傳動系統性能要求的逐步提升,僅針對閉環輸出誤差設計的PI控制器已難以應對高階耦合非線性。

根據上述分析,本文針對機車牽引傳動系統設計控制器,通過引入飽和輔助控制系統、構造轉速誤差面和虛擬控制律并采用微分跟蹤器和反推法設計電壓控制器;構建非線性擾動觀測器分別估計轉子軸和負載軸的時變擾動,對估計誤差采用自適應模糊逼近,并將此逼近值引入控制器以補償擾動估計誤差。本文所設計的控制器可使受控系統快速跟蹤參考輸入并精確估計外部擾動的實時變化,兼顧動態響應快速性和時變擾動魯棒性。

1 自適應跟蹤控制器設計

1.1 機車牽引傳動系統模型

為推導牽引傳動系統的數學模型,特對牽引電機做如下假設[6]。

(1) 不計銅耗和鐵耗。

(2) 忽略鐵芯飽和效應。

(3) 不考慮齒隙傳動伺服補償。

圖1為牽引傳動系統示意圖。

圖1 機車牽引傳動系統

系統的數學模型為

(1)

式中，θL、θM、WL、WM分別為負載軸和電機軸的轉動角度和轉速，JL、BL、JM、BM分別為負載軸和電機軸的轉動慣量和粘滯摩擦阻尼，Kθ和KT分別為電機轉矩系數與電機常數，U為控制電壓，R為等效電阻，ρ為齒數比，dL、dM分別為負載軸和電機軸的外部擾動。

選取狀態變量如下:x1=θL,x2=ωL,x3=θM,x4=ωM,將式(1)化為狀態方程,得:

(2)

本文的控制目標是為系統設計自適應跟蹤控制器,在系統控制量存在飽和及外部存在干擾的情況下,能夠確保系統輸出盡快跟蹤期望的參考軌跡,且系統閉環信號有界。

1.2 具有輸入飽和的自適應控制器設計

飽和限幅前后系統控制量存在關系如下[9]:

(3)

式中，V、U分別為飽和限幅前后控制量,uM為飽和限幅。

設計飽和輔助控制系統為

(4)

式中，ΔU=sat(V)-V為飽和限幅差,λ1、λ2、λ3、λ4為輔助變量,σ1、σ2、σ3、σ4為非負增益。

對λ1分別求算其二至四階導數,有:

定義:

-(σ1+σ2+σ3+σ4)λ4

假設參考軌跡xd及其各階導數存在。定義x1的跟蹤誤差e1為

e1=x1-xd-λ1

(5)

式中，xd為期望軌跡。

(6)

式中，k1>0為待定增益。

(7)

式中，ζL和χL為輔助變量,L1>0為輔助增益。

(8)

(9)

式中，k3>0為待定增益。

(10)

式中，ζM和χM為輔助變量,L2>0為輔助增益。

設計NDO輸出至控制器部分的控制量為

(11)

同時注意控制器內部關系:

U=V+ΔU=Vat-Vf+ΔU

(12)

(13)

設計Δ1的估計律為

設計自適應模糊控制器為

(14)

式中，k4>0為待定增益。

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 閉環穩定性證明

引理1 (Young’s不等式[11])

(19)

式中，p>1,q>1,并且(p-1)(q-1)=1。

引理2 (微分跟蹤器[12])

(20)

引理3[13]對任意σ>0和?∈R,下述不等式成立:

(21)

式中，γ為常數且滿足γ=e-(γ+1),i.e.,γ=0.278 5。

證 定義Lyapunov泛函為

(22)

對式(22)求導,并進行化簡可得:

(23)

根據引理1得:

(24)

(25)

其中，

2 仿真結果及分析

在SIMULINK仿真環境(MATLAB_R2018a)中對機車牽引傳動系統采用具有輸入飽和的自適應跟蹤控制器進行仿真研究。仿真框圖見圖2。

圖2 具有輸入飽和的牽引傳動系統仿真模塊框圖

設定輸入指令為xd=1-cos(5·t)。負載軸和轉子軸分別承受沖擊載荷為

(26)

機車牽引傳動系統參數見表1。

表1 機車牽引傳動系統參數標稱值

圖3為系統輸出x1對輸入指令xd的跟蹤誤差及其對數數量級曲線。分析可知,x1能夠在0.1 s內(圖3子圖1)迅速且精確跟蹤xd,其跟蹤誤差均在e-20～e-5范圍內變化,即跟蹤誤差對數數量級變化范圍集中在-20至-5,對數數量級越小說明x1對xd的跟蹤性能越強。圖3子圖2呈現的是2至5 s內的跟蹤情況,顯然,從2.5 s和3.8 s開始,跟蹤效果有所降低,其原因為系統控制量受飽和限幅影響,由于限幅以外控制量的輸出特性被截斷,導致系統輸出無法有效跟蹤輸入指令。同樣地,在圖3子圖3中,雖然跟蹤誤差在±0.01內變化,但在第5.8 s和第7 s這兩個時刻處的跟蹤誤差明顯較大。考察圖6可知,系統控制量在對應時刻均存在飽和現象。

圖3 輸入指令跟蹤曲線

圖4分別為負載軸和轉子軸的擾動估計誤差及其對數數量級曲線。由兩幅子圖可知,負載軸和轉子軸的擾動估計值均能夠在0.01 s內實現對實際值的跟蹤,其跟蹤誤差分別收斂于±0.3和±0.6。參照對數數量級曲線可知,誤差分別穩定在e-15～e0(dL)和e-12～e0(dM)范圍內。這表明,本文所設計的NDO可有效且精確估計外部擾動。

和

圖5為微分跟蹤器對虛擬律的跟蹤誤差及虛擬律的微分曲線。由于直接求取虛擬控制律微分的解析表達式會引入大量計算,增加控制器的構建難度,故采用微分跟蹤器對虛擬律進行整體微分。對比分析圖5(a)和圖5(b)的子圖1,易知在0.1 s短暫的振蕩后,微分跟蹤器的輸出能夠實現對虛擬律的跟蹤,其跟蹤誤差分別在±0.15和±10范圍內規律變化(圖5子圖2)。考慮縱坐標數量級,認為微分跟蹤器能夠精確跟蹤虛擬律,由引理2可知跟蹤器輸出的虛擬律的微分能夠有效逼近虛擬律微分的解析解。對比分析兩幅圖的子圖3和子圖4,可知虛擬律的微分在2.5 s和3.8 s及5.8 s和7 s附近存在小幅波動現象,其產生時間與圖6中時刻相同,說明飽和限幅亦會影響虛擬律的微分。

(a) α2、χα2、εα2和

圖6為系統飽和限幅前、后控制量曲線。仿真中設定飽和限幅為±220。分析圖6及其子圖可知,由于飽和限幅對控制量超出幅值的有用信息進行了強制切除,導致圖3及圖5中跟蹤及微分曲線突變;而控制量在飽和限幅內,則不會被截斷,其曲線光滑平整,對應輸出和虛擬律跟蹤誤差(圖5子圖2)及微分曲線抖振較小。

綜上可知,對于采用自適應跟蹤控制的牽引傳動系統,其閉環輸出快速穩定跟蹤輸入指令;NDO精確跟隨外部擾動;微分跟蹤器精確跟蹤虛擬律變化并有效輸出虛擬律的微分;在飽和限幅內,系統控制量光滑無抖振。

3 總結

本文針對具有輸入飽和的機車牽引傳動系統,設計了基于NDO和微分跟蹤器的自適應反推控制器。針對控制量輸入飽和,設計了飽和輔助控制系統;針對系統負載軸和轉子軸所受的時變擾動,設計了NDO對其分別跟蹤觀測,觀測誤差進行自適應模糊估計,并由此推導出觀測誤差的自適應律。由仿真結果知,本文設計的控制器具備優勢如下:

(1) 采用微分跟蹤器輸出虛擬律的微分解決傳統反推控制中對虛擬律求導產生的計算膨脹問題;

(2) 飽和輔助控制器中引入控制量限幅差補償跟蹤性能受飽和限幅的影響,實現限幅內快速收斂;

(3) 采用自適應模糊估計觀測誤差,降低擾動對系統跟蹤性能的影響。